（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义04 函数的零点问题+随堂检测（解析版）

第页专题04函数的零点问题【考点预测】1、函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.（2）函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.2、用二分法求方程的近似解对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证.（2）求区间的中点.（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：=1\*GB3①若（此时），则就是函数的零点；=2\*GB3②若（此时），则令；=3\*GB3③若（此时），则令.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3、函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.【典型例题】例1．已知函数．(1)画出此函数的图像；(2)求不等式的解集；(3)若函数有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）因为，故其函数图象如下所示：（2）当时，令，即，解得，当时，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为：.（3）若函数有三个零点，即的函数图象有三个交点，数形结合可知，即可，解得，故实数的取值范围为：.例2．某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.(1)求的解析式；(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.【解析】（1）因为，代入①得，，所以，故，又由③得，，所以b=3；因此，经检验，，满足题干所给条件，所以；（2）因为方程恰有3个实数根，显然0为其一个实数根，所以方程恰有2个非0实数根，即方程恰有2个实数根，且两根非，由可得，，又由均不是此方程的根，则，所以，m的取值范围为.例3．已知定义在区间上的函数．(1)求函数的零点；(2)若方程有四个不等实根，且，证明．【解析】（1）令，解得，．所以函数的零点是和.（2）证明：易知对勾函数的图像如下图所示：则的图像如下：如图，要使有四个根，则，令，当，则，由韦达定理知：；当，则，由韦达定理知：．∴．例4．设函数，（，）.(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）函数有且只有一个零点，所以方程有且仅有一个根，当时，，即，满足题设；当时，，即，此时，满足题设；综上，时，零点为2；，零点为4.（2）因为对任意的，总，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得时，在上单调递增，且，所以的值域为.当时，在上单调递增，故，即，所以可得

解得；当时，，不满足题意；当时，在上单调递减，故，即，所以可得，解得；综上，m的取值范围为.例5．已知函数.(1)画出函数的图象，并写出的解析式；(2)设，（i）求出的零点，并直接写出函数的单调区间；（ii）若有四个不同的解，直接写出的取值范围.【解析】（1）因为，所以，函数的图象如下图所示：（2）（i）因为，图象如下图所示，令，可得，所以当时，，解得：；当时，，解得：；的零点为和.如图所示，在上单调递减；在，上单调递增.（ii）若有四个不同的解，即与的图象有四个交点，如下图所示，所以.的取值范围为：.【过关测试】一、单选题1．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，当时，，，，在内无零点，A错误；对于B，当从正方向无限趋近于时，，则；又，在内无零点，B错误；对于C，，，且在上连续，在内有零点，C正确；对于D，，，在内无零点，D错误.故选：C.2．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，且单调递增，即当时，，所以零点在内，故选：A3．已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，则a，b是的两个零点；函数的图象可以看成图象向下平移2个单位得到，且，，如图所示：故选：B.4．函数的零点所在区间为，则整数k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【解析】∵，，在R上为单调递增函数，∴零点所在区间为，∴．故选：A.5．函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】，或，，，或，时，不合题意，舍去，满足题意．因此方程有三个解，即函数有三个零点．故选：B．6．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，所以，解得．故选：B.7．已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】有实根，，解得：；；设，则；①当时，，，即，解得：，；②当时，由得：，；，，，又恒成立，，即，共有四个不等实根，；综上所述：集合的元素个数可能为或.故选：C.8．函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，即，解得；故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有四个交点，如下图所示：数形结合可知，.故选：D.二、填空题9．若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】当时，函数如图所示，此时，只有一个交点，不成立；当时，函数如图所示，此时，要使两个函数的图象有两个交点，则有，即.故答案为：10．已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】由于在上只有一个零点4，函数在上的两个零点为1和3，若,此时在上没有零点，函数在上的两个零点为1和3，满足题意，当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1和3，不满足题意，舍去当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1，满足题意，当时，此时在上有零点4，函数在上没有零点，不满足题意，舍去，综上：或，故答案为：11．已知函数若互不相等的实数满足，则的取值范围______.【答案】【解析】函数的图象如图所示：设，因为，因为偶函数关于轴对称，所以，当时，，时，，所以，即.故答案为：四、解答题12．已知函数，且点在函数的图象上.(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【解析】（1）因为点在函数的图象上，所以，解得，即，其图象如图所示：（2）将化为，因为方程有两个不相等的实数根，所以直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），由图象，得0<，即的取值范围是.13．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．(1)将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；(2)当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．【解析】（1）当时，；当时，，即；（2）当时，，所以当时，，当时，，当且仅当时取等号，即时取等号，∵，∴当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元．14．已知函数，，其中.(1)若的图象与直线没有公共点，求实数a的取值范围；(2)当时，函数的最小值为，求实数m的值.【解析】（1）由题意在上无解，即在上无解，由，，而，所以，所以实数a的取值范围为.（2）当时，则，所以，令，又，故（仅当时等号成立）所以在上的最小值为，又的图象开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递增，所以，解得，不满足，故无解；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，又，故，综上所述，.15．已知为偶函数，为奇函数，且满足.(1)求函数､的解析式；(2)已知函数，，求函数的值域；(3)若关于的方程在内恰有两个不等实根，求实数的取值范围.【解析】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，即，所以，，解得；（2）由题意，，因为单调递增，，所以值域为；（3）由题知方程在区间内恰有两个不等实根.显然不是该方程的根，令，则原方程可变形为，由，所以为偶函数，当时，单调递增，所以，则题意转化为方程在区间内有唯一实根（因为每一个在区间内恰有两个值与之对应）.设，显然在区间内单调递减，又时，，当时，，所以.综上所述，所求常数的取值范围是.16．已知函数对一切实数都有成立，且．(1)求的值和的解析式；(2)将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围；(3)若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【解析】（1）令，则，得，再令，则，得；（2），由及，得且，所以，设，令，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递减，所以；（3），令，且，则的图象如下，则由，得（*），记方程（*）的根为、，当或时，原方程有三个不同的实数解，如上图，记，所以或，解得或，所以时满足题设．函数的零点随堂检测LISTNUMOutlineDefault\l3用二分法求函数f(x)=x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2，－1]B.[－1，0]C.[0，1]D.[1，2]【答案解析】答案为：ALISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)=x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上()A.没有零点B.有无数个零点C.有两个零点D.有一个零点【答案解析】答案为：D解析：当x2＋4x＋4=0时，即(x＋2)2=0，x=－2.∵－2∈[－4，－1]，∴－2是函数f(x)=x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上的一个零点.LISTNUMOutlineDefault\l3函数y=lgx－eq\f(9,x)的零点所在的大致区间是()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)【答案解析】答案为：D；解析：因为f(9)=lg9－1＜0,f(10)=lg10－eq\f(9,10)=1－eq\f(9,10)＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y=lgx－eq\f(9,x)在区间(9,10)上有零点，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数，函数y=f(x)-a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4则x1x2＋x3＋x4的取值范围为()A.B.C.D.【答案解析】答案为：A解析：由函数可知关于x＝﹣1对称，所以，且，令，则有，所以，再由图可知，可求解.解析：根据题中所给函数解析式，画出函数的图像，可知要使函数有四个不同的零点，则有，并且有，且，可得x1＝﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，﹣2x2﹣x22＝﹣(x2＋1)2＋1，在﹣1＜x2≤0递减，可得的范围为[0，1)．令，则有，从而有，所以有，所以，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3若函数f(x)=x2－x＋a有两个零点，则a的取值范围是________.【答案解析】答案为：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))).解析：∵Δ=(－1)2－4×1×a=1－4a=0，而f(x)=x2－x＋a有两个零点，即方程x2－x＋a=0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即a<eq\f(1,4).LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)=x2－ax－b两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2－ax－1零点是_______.【答案解析】答案为：－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).解：由题意知，方程x2－ax－b=0的两根为2,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a=5，b=－6，∴方程bx2－ax－1=－6x2－5x－1=0的根为－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，即为函数g(x)的零点.LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间[－eq\f(1,2),eq\f(1,2)]内有零点，则实数a的取值范围为________.【答案解析】答案为：(－∞，0]解析：由f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＝－(eq\f(1,x)-1)2＋1.若f(x)在[－eq\f(1,2),eq\f(1,2)]内有零点，则f(x)＝0在区间[－eq\f(1,2),eq\f(1,2)]内有解，当－eq\f(1,2)≤x<0或0<x≤eq\f(1,2)时，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)≤0.所以实数a的取值范围为(－∞，0].LISTNUMOutlineDefault\l3若函数f(x)=|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.【答案解析】答案为：(0,2).解：由f(x)=|2x－2|－b=0，得|2x－2|=b.在同一平面直角坐标系中画出y=|2x