（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义05 三角函数的性质+随堂检测（解析版）

第页专题05三角函数的性质【考点预测】1、正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数的图象．=1\*GB3①画点在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．=2\*GB3②画（）的图象把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象．=3\*GB3③（）的图象由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）．正弦函数的图象叫做正弦曲线．=4\*GB3④五点作图法在函数，的图象上，有以下五个关键点：，，，，．画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”．（2）余弦函数的图象因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象．余弦函数，的图象叫做余弦曲线．余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，．2、正弦函数、余弦函数的性质（1）周期性一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．（2）奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．（3）单调性正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．（4）最大值与最小值正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．3、正切函数的图象正切函数的图象叫做正切曲线．4、正切函数的性质（1）定义域正切函数的定义域为（2）周期性正切函数是周期函数，最小正周期是．（3）奇偶性正切函数是奇函数．（4）单调性正切函数在每一个开区间（）上都单调递增．（5）值域正切函数的值域是实数集．【典型例题】例1．已知函数，，(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.【解析】（1），解不等式得：，所以函数的单调递减区间为.（2），即时，

，，即时，；（3）时，，，时，，，要使得，只需，.例2．已知函数，.(1)求的最小正周期；(2)有零点，求的范围.【解析】（1）由于，故其最小正周期为；（2）因为有零点，故有解，即有解，因为，所以，故.例3．已知函数.(1)请用五点法做出一个周期内的图像；(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.【解析】（1）列表00100（2）的取值范围是.例4．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：000(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.(2)求在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）根据五点法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的单调递减区间为，（2）由于所以所以所以当即时，函数的最小值为;当即时，函数的最大值为.例5．已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．条件①：的最小正周期为；条件②：为奇函数；条件③：图象的一条对称轴为．(1)求的解析式；(2)设函数，求在区间上的最大值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）选择①②：由条件①即已知，可得，所以，由条件②得，所以，即，解得，因为，所以，所以，经验证，符合题意；选择条件①③：由条件①即已知，可得，所以，由条件③得，解得，因为，所以，所以，选择条件：②③：由条件②得，所以，即，解得，因为，所以，所以，由条件③得，解得，此时不唯一，不符合题意.（2）由函数，因为，所以，所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.例6．已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．②函数的一条对称轴为且；(1)求函数的解析式；(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】(1)由题意可知，函数的最小正周期为，∴．选①，将函数向左平移个单位，所得函数为.由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，，符合题意；若，则，，不符合题意．所以，；选②：因为函数的一条对称轴，则（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，则，符合题意；若，则，则，不符合题意．所以，；(2)令，由得，，所以．其中满足，时为增函数，满足时为减函数，解方程得：，要使方程存在4个不相等的实数根，当，即在上存在两解，故取值范围应在或在或．即或或解得：或或故所求的的取值范围是【过关测试】一、单选题1．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由于且在区间上是严格增函数，所以，即的取值范围是.故选：B2．函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函数图象的对称中心是，令,得函数图像的一个对称中心是，故选：C.3．函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，令可的的递增区间为.故选：C4．关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】D【解析】对A，，，故A错误；对B，，，故B错误；对C，，，故C错误；对D，，此时，故D正确，故选：D5．若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.若在开区间内存在最小值，则，解得，故选:B.6．已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为【答案】C【解析】因为函数，设，，则，所以，，当时，；当时，.故选：C7．已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，函数，因为，可得，又函数的图象在区间上恰有3个最高点，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：C．8．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时，所以的最大值为，故选：B二、多选题9．已知直线是函数图象的一条对称轴，则（

）A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值【答案】AC【解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，又，所以，所以．，是偶函数，故A正确；令，解得:，所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；当时，，此时函数单调递减，故C正确；显然函数的最小值为，当时，，故D错误．故选：AC．10．已知函数，则下列结论正确的有（

）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】因为，所以，故A正确；由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；当时，，当时，，，所以函数的值域为，故C正确；由可得，则函数与有四个交点，作出函数与的大致图象，由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.故选：AC.三、填空题11．已知函数，若存在，有，则的最小值为______．【答案】【解析】∵的周期，由得.故答案为：.12．函数的值域为_____________．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.13．设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．【答案】【解析】函数，，，若在区间上单调，则，．，为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，只有当时，解得，，故答案为:四、解答题14．函数的部分图象如图所示．(1)写出的最小正周期及图中、的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）,令，，解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值；（2）当时，，此时所以函数的最大值是3，最小值是15．设.(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.【解析】(1)由题设，可得.(2)令，则，所以或且，则或且，由且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，所以、、，则，所以.16．已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．已知函数，______．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的单调递增区间．【解析】（1）选择条件①．∵为奇函数，∴，解得，．∵，∴，∴；选条件②．，∴，∴，或，，∵，∴，∴选条件③．（1）∵是函数的一个零点，∴，∴，．∵，∴，∴.（2）由，，得，，令，得，令，得，∴函数在上的单调递增区间为，．17．函数的最小值为，(1)当时，求；(2)若，求实数【解析】（1）当时，.所以，当时，取得最小值，即.（2），若，即时，则当时，有最小值，.若，即时，则当时，有最小值，.所以，若，得或由解得或（舍去），由解得（舍去）.所以18．已知点、是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，当时，的最小值为．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间．【解析】(1)角的终边经过点，所以，，，，因为，，由当时，的最小值为，所以，函数的最小正周期为，，则.(2)由可得，所以，函数的减区间为，由可得，所以，函数的增区间为.19．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．【解析】（1），令，所以，所以函数的单调递增区间为：（2）函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，由，当时，，设，则，且，若要使曲线与直线区间上有且仅有两个交点，则.三角函数的性质随堂检测LISTNUMOutlineDefault\l3如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(eq\f(4,3)π,0)成中心对称，那么|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)【答案解析】答案为：A解析：依题意得3cos(eq\f(8π,3)＋φ)＝0，eq\f(8π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，φ＝kπ－eq\f(13,6)π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是eq\f(π,6).故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数y＝sinωx在[-eq\f(π,3),eq\f(π,3)]上是增函数，则实数ω的取值范围是()A.[-eq\f(3,2),0)B.[－3,0)C.(0,eq\f(3,2)]D.(0,3]【答案解析】答案为：C解析：由于y＝sinx在[-eq\f(π,2),eq\f(π,2)]上是增函数，为保证y＝sinωx在[-eq\f(π,3),eq\f(π,3)]上是增函数，所以ω>0，且eq\f(π,3)ω≤eq\f(π,2)，则0<ω≤eq\f(3,2).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.－eq\f(π,6)D.－eq\f(π,3)【答案解析】答案为：D解析：由已知得f(x)＝2cos[eq\r(3)x+(φ＋eq\f(π,3))]为偶函数，由诱导公式可知φ＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z).当k＝0时，φ＝－eq\f(π,3).LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|≤eq\f(π,2))的部分图象如图所示，若方程f(x)＝a在[-eq\f(π,4),eq\f(π,2)]上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A.[eq\f(\r(2),2)，eq\r(2))B.[-eq\f(\r(2),2)，eq\r(2))C.[-eq\f(\r(6),2)，eq\r(2))D.[eq\f(\r(6),2)，eq\r(2))【答案解析】答案为：B；解析：由函数f(x)的部分图象可得，eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，∴函数f(x)的最小正周期为π，最小值为－eq\r(2)，所以A＝eq\r(2)，ω＝eq\f(2π,π)＝2，所以f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋φ)，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－\r(2)))的坐标代入得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋φ))＝－1，因为|φ|≤eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).若f(x)＝a在[-eq\f(π,4),eq\f(π,2)]上有两个不等的实根，即在[-eq\f(π,4),eq\f(π,2)]函数f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，结合图象(略)，得－eq\f(\r(2),2)≤a＜eq\r(2)，故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3函数y＝eq\r(cosx－\f(\r(3),2))的定义域为________.【答案解析】答案为：[2kπ－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)＋2kπ].解析：由题意得cosx≥eq\f(\r(3),2)，故2kπ－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z).LISTNUMOutlineDefault\l3函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.【答案解析】答案为：[－eq\f(1,2)－eq\r(2),1].解析：设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).所以y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq\r(2)时，ymin＝－eq\f(1,2)－eq\r(2).所以函数的值域为[－eq\f(1,2)－eq\r(2),1].LISTNUMOutlineDefault\l3将函数y＝eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx的图象向右平移θ(θ＞0)个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是________.【答案解析】答案为：eq\f(5π,6).解析：函数y＝eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝sin(x+eq\f(π,3))，图象向右平移θ(θ＞0)个单位长度后，可得sin(x-θ+eq\f(π,3))关于y轴对称，所以eq\f(π,3)－θ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)－kπ.因为θ＞0，当k＝－1时，可得θ的最小值为eq\f(5π,6).LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))A>0，ω>0，0<φ<eq\f(π,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＋f(2018)＝________.【答案解析】答案为：4035.解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·eq\f(1＋cos2ωx＋2φ,2)＋1＝eq\f(A,2)cos(2ωx＋2φ)＋1＋eq\f(A,2)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))A>0，ω>0，0<φ<eq\f(π,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))的最大值为3，∴eq\f(A,2)＋1＋eq\f(A,2)＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即eq\f(2π,2ω)＝4，∴ω＝eq\f(π,4).再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0<φ<eq\f(π,2)，∴2φ＝eq\f(π,2)，φ＝eq\f(π,4).故函数f(x)的解析式为f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\f(π,2)x＋eq\f(π,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))＋2＝－sineq\f(π,2)x＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＋f(2018)＝－eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))sineq\f(π,2)＋sineq\f(2π,2)＋sineq\f(3π,2)＋…＋sineq\f(2017π,2)＋sineq\f(2018π,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))＋2×2018＝－504×0－sineq\f(π,2)－sinπ＋4036＝－1＋4036＝4035.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2eq\r(3)sinxcosx(x∈R).(1)求f(eq\f(2π,3))的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【答案解析】解：(1)由sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－eq\r(3)sin2x＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z).LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq