（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义03 平面向量的数量积+随堂检测（解析版）

第页第03讲平面向量的数量积1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.②投影向量计算公式:当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；当为直角（如图（2））时，，所以；当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.当时，，所以；当时，，所以综上可知，对于任意的，都有.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：2.1数量积2.2模：2.3夹角：2.4非零向量的充要条件：2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）3、平面向量数量积的运算①②③4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形中，则②三角形形式：在中，为的中点，所以5、常用结论①②③高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析【例题1-1】已知在方向上的投影为，则的值为A．3B．C．2D．【答案】B【详解】设与的夹角为，故选：B.【例题1-2】在中，为边上上的中点，，．（1）___________．（2）为内一点，最小值为___________【答案】

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-2【详解】由题意知，，，则，由，得；因为是的中点，所以，所以，由，得，所以当即即与反向时，取到最小值，此时，当且仅当时，等号成立.故答案为：-5；-2.【变式1-1】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【详解】在方向上投影向量为，，.故选：A【变式1-2】在中，，，，为的外心，则（

）A．5B．2C．D．【答案】D【详解】在中，，，，又为的外心，是的中点，故选：D角度2：平面向量数量积的几何意义【例题2-1】已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点为该三角形的（

）A．内心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【详解】解：根据题意，，即，所以，则向量在向量上的投影为的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心．故选：B．【例题2-2】如图，已知正六边形边长为1，点是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【答案】【详解】解：由正六边形的性质得：，则，，，而表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为，故答案为：【变式2-1】如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．【答案】【详解】设正六边形边长为1，则与的夹角为，故在向量上的投影向量为，所以.故答案为：【变式2-2】在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.【答案】【详解】正六边形ABCDEF中，过点B作于，则，又即，故的取值范围为故答案为：高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：求数量积【例题3-1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．12B．4C．3D．1【答案】D【详解】由已知,所以故选:D.【例题3-2】在边长为2的正三角形中，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则设，则，因为，所以，解得，即，则，所以，故选：D【变式3-1】已知是边长为2的等边三角形，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，则.故选：A【变式3-2】已知，，其中．满足，则（

）A．B．C．9D．22【答案】D【详解】由已知，且，所以，所以或（舍去，），所以，又，所以，所以，故选：D.角度2：向量模运算【例题4-1】已知向量与的夹角为60°，，，则（

）A．12B．16C．D．4【答案】C【详解】与的夹角为60°，，，，故选：C.【例题4-2】已知向量，满足，，，则等于（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵，，，，∴，∴，∴.故选：B.【变式4-1】已知向量，若与方向相反，则=（

）A．54B．8C．D．【答案】B【详解】向量，与方向相反，则，解得，即，则，所以.故选：B【变式4-2】设平面向量，，若，则等于（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，∵，，，∴，解得，∴∴故选：A.【变式4-3】已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.【答案】【详解】，因为，所以，所以，所以.故答案为：.角度3：向量的夹角【例题5-1】已知向量满足，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为已知向量满足，可得，且，所以.故选：D.【例题5-2】已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，所以，设与夹角为，则，即与夹角的余弦值为.故选：B【变式5-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由，得，由，得，所以，解得，所以．故选：D．【变式5-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为(

)A．B．C．D．【答案】A【详解】，则，解得，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A．【变式5-3】已知向量满足，则与的夹角为___________.【答案】【详解】由，，故答案为：角度4：两向量成锐角（钝角）求参数【例题6-1】已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设，由，得，即①，因为，所以，又向量与的夹角为，所以，所以②，由①②解得或，又向量与向量的夹角为钝角，所以，所以，故，故选：A【例题6-2】已知，且向量与不共线.(1)若与的夹角为，求；(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)1；(2)【详解】（1）与的夹角为，，.（2）与的夹角为，，向量与的夹角为锐角，，且不能同向共线，，，解得且，即或，实数k的取值范围是【变式6-1】已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.【答案】【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，，，即，且，解得且，故答案为：【变式6-2】设两个向量满足，(1)求方向的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由已知，所以，所以，即方向的单位向量为；（2）由已知，，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且向量不与向量反向共线，设，则，解得，从而，解得.角度5：已知模求数量积【例题7-1】已知，是单位向量，若，则，的夹角是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：因为，是单位向量，所以，因为，所以，所以，即，所以，即，的夹角是.故选：B【例题7-2】若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．【答案】【详解】由已知有，∴，得，∴，当且仅当时取等号.即的最大值为.故答案为：【变式7-1】空间向量，，若，，，则与的夹角为（

）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【详解】由题意可得：，即，解得，∴，且，可得.故选：B.【变式7-2】已知向量，满足，，则，则______．【答案】【详解】因为，所以，又因为，，代入有：所以.故答案为：.角度6：已知模求参数【例题8-1】已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为（

）A．2B．C．1D．【答案】A【详解】解：,又，，，，，即，得或（舍去），故的值为2.故选：A.【例题8-2】已知单位向量，，与的夹角为.(1)求证；(2)若，，且，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)或.【详解】（1）因为，与的夹角为，所以，所以.（2）由得，即.因为，与的夹角为，所以，，所以，即.所以或.【变式8-1】已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】，即，即，即对任意的恒成立，则，解得，又因为，所以.故选：C.【变式8-2】已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.(1)求证：向量垂直于向量；(2)已知，求k的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)或(1)证明：因为，且､､之间的夹角均为，所以，所以向量垂直于向量；(2)，所以.因为，所以，解得或.高频考点三：向量的垂直关系【例题9-1】已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意可得，由，可得，即，即，即，故选：A【例题9-2】已知，，．(1)求与的夹角；(2)若，且，求实数的值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，即，所以，所以，又，所以．（2）因为，且，所以．即，解得．【变式9-1】已知向量，，若，则______．【答案】【详解】由题意可得，则，解得，故答案为：．【变式9-2】已知，.(1)若与的夹角为，求；(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：（2）解：∵向量与互相垂直，∴，整理得，又，，∴，解得.∴当时，向量与互相垂直.高频考点四：向量的投影（投影向量）【例题10-1】已知，，且，则在方向上的投影为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，，且，则有，即，解得，所以在方向上的投影为.故选：D【例题10-2】已知向量，则在方向上的数量投影为___________【答案】【详解】向量，，，所以在方向上的数量投影为；故答案为：【变式10-1】若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A．B．C．D．【答案】B【【详解】由题意得，，则向量在向量上的投影向量为，故选：B【变式10-2】已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.【答案】##0.5【详解】解：因为，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影为.故答案为：.平面向量的数量积随堂检测1．已知向量，，，且，则实数为（

）A．-4B．-3C．4D．3【答案】A【详解】，由于，所以.故选：A2．已知向量，满足，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，，，所以.故选：D.3．若向量与向量的夹角为，，，则（

）A．12B．6C．4D．2【答案】B【详解】解：因为，解得（舍），或，所以.故选：B4．已知，，，向量在方向上的投影是（

）A．12B．4C．－8D．2【答案】B【详解】记向量与的夹角为，所以在方向上的投影为.故选：B.5．已知向量，满足，，则（

）．A．B．C．D．【答案】A【详解】由，，两式相加，得，所以，，所以，所以.故选：A．6．已知点，，．则在上的投影向量为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，，．所以，，，所以向量与的夹角为钝角，因此量在上的投影向量与方向相反，而，，所以在上的投影向量为，故选：C7．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（

）．A．22B．24C．20D．18【答案】A【详解】解：因为，，所以，因为，，所以，因为直角梯形ABCD，所以，故，所以原等式.故选：A8．已知向量与的夹角为，，若，则____________．【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，又向量与的夹角为，，所以解得．故答案为：.9．已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．【答案】【详解】，，，，即，由，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：10.如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD=2DB，设，.(1)若，，且与的夹角为，求；(2)若向量与+k共线，求实