（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义04 正弦定理和余弦定理+随堂检测（解析版）

第页第04讲正弦定理和余弦定理1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有1.2正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；；2.2余弦定理的推论；；3、三角形常用面积公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).4、常用结论在三角形中的三角函数关系①②③④⑤⑥若⑦若或高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题【例题1-1】在中，，则的解的个数是（

）A．0个B．2个C．1个D．1个或2个【答案】B【详解】如图，在中，因为，所以，所以，所以可以构成两个三角形，所以的解的个数是2个，故A，C，D错误.故选：B.【例题1-2】在中，，若解三角形时有两解，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】根据题意作图，如下图所示当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置，由图可知，两种临界条件分别为：（1）圆与c边所在直线相切，此时，三角形只有一个解，此时根据正弦定理，，可得；（2）圆过B时，，三角形只有一个解，此时；所以当时，三角形有两个解，所以x的取值范围为.故选：C.【变式1-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（

）A．B．C．D．或【答案】D【详解】如图，，为正三角形，则点在射线上.易得当在时，只有一解，此时；当在或右边时只有一解，此时.故或故选：D【变式1-2】（多选）在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（

）A．4B．5C．7D．10【答案】BC【详解】解：如图：要使有两个解，则，即，解得：，故选：BC角度2：利用正弦定理解三角形【例题2-1】在中，角的对边分别为，已知则（

）A．45°或135°B．135°C．45°D．60°或120°【答案】C【详解】由正弦定理得：得：，因为，所以，所以.故选：C【例题2-2】（多选）在中，已知，，的外接圆面积为，则（

）A．B．C．D．【答案】AD【详解】设的外接圆半径为，则，解得；在中，由正弦定理得：，又，则，再由正弦定理得：，因为，所以，则或，故选：AD.【变式2-1】在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（

）A．B．C．或D．【答案】B【详解】因为，由正弦定理，可得，又因为，所以，故，所以.故选：B.【变式2-2】在中，角的对边分别为，且，，则_________.【答案】【详解】由正弦定理得，即，，∵，∴，，，，∴，由正弦定理得，所以.故答案为：角度3：利用余弦定理解三角形【例题3-1】已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，求角．【答案】【详解】，，，整理可得，即，所以，，.【例题3-2】在中，内角的对边分别为，已知为锐角，且.(1)若，求实数的值；(2)若，求面积的最大值；(3)若，点为的中点，且，求边的长.【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）为锐角，且，，即，由余弦定理可知，即，又，即，所以，故实数的值为1.（2）由（1）得：，又，即，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，面积的最大值为.（3）在中，，，，，即①；在中，，，代入①化简得：，解得或（舍去），的长为.【变式3-1】在中，角所对的边分别为，已知，则角___________.【答案】【详解】由，得，所以，则，又，所以.故答案为：.【变式3-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则C＝______【答案】【详解】由余弦定理得，即，所以，又，所以，可得．故答案为：角度4：正余弦定理综合应用【例题4-1】已知锐角中，角，，的对边分别为，，．若，，，则（

）A．9B．8C．5D．4【答案】C【详解】∵，，∴，，∴．∵为锐角三角形，∴，∴．而，∴．由余弦定理可得，∴，∴，则．故选：C【例题4-2】中，，，，为边上一点，且，则的面积等于________.【答案】【详解】在中，，，，由余弦定理得：，即有，而，解得，由正弦定理得：，显然为锐角，则，，因为D为BC边上一点，且，则，所以的面积.故答案为：【变式4-1】在△ABC中，若，，△ABC的面积，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由已知，可得，，，.故选：D.【变式4-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且，，，则______．【答案】【详解】∵，根据正弦定理得，∴，又，∴，，再根据余弦定理得∴，解得．故答案为：．高频考点二：判断三角形的形状【例题5-1】已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（

）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形【答案】C【详解】因为，由正弦定理（为外接圆的直径），可得，所以．又因为，所以．即为等腰三角形.故选：C【例题5-2】若，且，那么是（

）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正余弦定理角化边得，化简得，所以，所以为等边三角形，故选：B【变式5-1】在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【详解】在△ABC中,,，故△ABC为直角三角形，，即，，故△ABC为等腰三角形，综上：△ABC的形状是等腰直角三角形.故选：D.【变式5-2】在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由正弦定理得：，，又，，，则；，，或，又，，，为等边三角形.故选：C.高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积【例题6-1】已知在非中，，，且，则的面积为（

）A．1B．C．2D．3【答案】C【详解】，，又不是直角三角形，，，即，又，，解得，，即，，，故选：C．【例题6-2】在中，已知的平分线，则的面积为_____________.【答案】【详解】如图：因为是的平分线，所以，不妨设，，由题意得，由余弦定理得：，，所以，解得，负值舍去，所以．所以，可得，所以．故答案为：.【变式6-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则该三角形的面积为（

）A．1B．2C．2D．【答案】D【详解】因为，所以，所以．由正弦定理得：，由余弦定理得，，所以，因为，所以．故选：D．【变式6-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，因为所以，，所以，因为，所以.（2）由（1）知，，因为，所以，因为，所以，所以.由正弦定理，得.所以.角度2：三角形面积的最值（范围）【例题7-1】在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________【答案】【详解】由余弦定理，，∵，∴.由余弦定理及基本不等式，，∴，当且仅当时取等号，∴当且仅当时，的面积的最大值为.故答案为：.【例题7-2】已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．(1)求的取值范围；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，则，所以或，即或，所以，因为为锐角三角形，可得，即，解得：，所以，，，故的取值范围为.（2）在中，由正弦定理可得，又，，，因为，当时，，

当时，，又，在上单调递增，当时，的面积最小，最小值为.综上所述，三角形面积的最小值为.【变式7-1】在锐角中，角所对的边分别为，它的面积等于且，则的面积的取值范围是_________.【答案】【详解】，，即，又，；由得：，；由正弦定理得：，，，；为锐角三角形，，解得：，，，则，.故答案为：.高频考点四：三角形周长（边）相关问题角度1：求三角形周长（边长）【例题8-1】在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.(1)求角的大小；(2)已知，的面积为，求边长的值.【答案】(1)；(2)．【详解】（1）在中，由正弦定理得：因为，所以，从而，又，所以，又，所以；（2）在中，，得，由余弦定理得：．所以．【变式8-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周长为.角度2：三角形周长（边长）的最值【例题9-1】若的内角，，的对边分别为，，，满足.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因为，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周长因为，则，所以，故求周长的取值范围为.【变式9-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1），由倍角公式得，由余弦定理，，化简得，则，由，得.（2）由正弦定理得︰，∴，，，，由，，∴，即（当且仅当时，等号成立），从而周长的取值范围是第05讲正弦定理和余弦定理随堂检测1．在中，若，则（

）A．B．C．2D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，则.故选：C.2．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A．2B．4C．6D．8【答案】D【详解】根据正弦定理有，得；故选：D.3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（

）．A．B．C．D．【答案】B【详解】.故选：B4．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】B【详解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形，故选：B5．在中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（

）A．B．1C．D．2【答案】B【详解】由余弦定理知：，由条件：，，即，

，

，

，时取最大值1；故选：B．6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由正弦定理得：，由余弦定理得：，即当且仅当时，即，，时取等号，,则，所以面积的最大值.故选：B7.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．【答案】【详解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圆面积为，得外接圆的半径1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面积，当且仅当时