333 排列第一课时

第六章

§6.2

排列与组合6.2.1排列学习目标XUEXIMUBIAO1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE问题1.从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤：第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.问题探究如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题2.从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决：第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；

第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；

根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为4×3×2=24因而共可得到24个不同的三位数，如图所示

不同的排列方法为4×3×2=24上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照

排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.一定的顺序名师点析理解排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的

完全相同.(2)元素的排列

也相同.元素顺序1.123与321是相同的排列.(

)2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(

)3.从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列． ()4.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(

)4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题． (

)5.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××××2题型探究PARTTWO例1

判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话.一、排列的概念解(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.如何判断一个具体问题是否为排列问题?提示:(1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.反思感悟典例解析例1.某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5=30.分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.典例解析例2.（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？典例解析解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60.（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×5×5=125.三、简单的排列问题例3

(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法.(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.反思感悟对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解.跟踪训练3

(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为A.15 B.30 C.12 D.36√解析对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种).(2)3盆不同品种的花排成一排，共有_____种不同的排法.解析共有3×2×1＝6(种)不同的排法.63随堂演练PARTTHREE123451.(多选)下面问题中，不是排列问题的是A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B.从40人中选5人组成篮球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合√√√解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙12345√解析从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.123453.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为A.5 B.10 C.20 D.60√解析不同的送书种数为5×4＝20.123454.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有____个.24123455.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有_______种不同的种法.1680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1680(种).1.知识清单：(1)排列的定义：顺序性.(2)“树形图”法列举排列.(3)排列的简单应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：排列的定义不明确.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有A.加法

B.减法

C.乘法

D.除法解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.基础巩固12345678910111213141516√√2.某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为A.20 B.15 C.10 D.512345678910111213141516√解析由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.123456789101112131415163.从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为A.2 B.4 C.12 D.24√4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为A.6 B.4 C.8 D.1012345678910111213141516√解析列树形图如下：故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.123456789101112131415165.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A.12种

B.18种

C.24种

D.36种√解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法.123456789101112131415166.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b为首的不同的排列，它们分别是_____________________________________________________________.12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析画出树形图如右：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.123456789101112131415167.写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？解列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.123456789101112131415168.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？解三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一.第一步，得首位数字，有6种不同结果；第二步，得十位数字，有5种不同结果；第三步，得个位数字，有4种不同结果.故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个).12345678910111213141516(2)可以排出多少个不同的三位数？解三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个).综合运用123456789101112131415169.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为A.9 B.12 C.15 D.18√解析本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个符合题意的四位数.10.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为A.54

B.45C.5×4×3×2 D.512345678910111213141516解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票.因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.√1234567891011121314151611.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有A.4种

B.5种

C.6种

D.12种√解析若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.1234567891011121314151612.现从8名学生干部中选出3名