2026年高考数学复习讲义（新高考）第1节　集合（原卷版）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第1节集合学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1元素与集合★★★☆☆考点2集合间的基本关系★★★☆☆考点3集合的基本运算★★★☆☆考点4集合的运算性质★★☆☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】考点1元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR考点2集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A).(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.考点3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}考点4集合的运算性质(1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.【解题技巧】1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.3.U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.()(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()2.(人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=.

3.(人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=.

4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是.

【考向核心题型】考点1集合的基本概念【典例】1.已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为.

【典例】2.若含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1,又可表示成{a2,a+b,0},则a2026+b2026【变式训练】1.(2025·银川、昆明联考)已知集合A={-1,0,1},B={x|x=mn,m∈A,n∈A},则集合B的真子集个数是()A.4 B.7 C.8 D.15【变式训练】2.(2025·北京西城区调研)已知集合A={x||x-1|<3},B={x|x2-3x-10<0},若a∉A,且a∈B,则a的取值范围是()A.(-2,4) B.(4,5)C.[4,5] D.[4,5)考点2集合间的基本关系【典例】3.设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则()A.M⊆N B.N⊆MC.M=N D.M∩N=⌀【典例】4.(2025·大连模拟)设集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值为.

【变式训练】3.(2025·北京人大附中检测)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},则{-1}⊆()A.∁UA B.∁UBC.(∁UA)∩B D.∁U(A∪B)【变式训练】4.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},当x∈Z时,集合A的非空真子集的个数为;当B⊆A时,实数m的取值范围是.

考点3集合的运算【典例】5.(2024·北京卷)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=()A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4}【典例】6.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A},则∁A(A∩B)=()A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}【典例】7.已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},且(∁RA)∪B=R,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞) B.[1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,1]【变式训练】5.(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=()A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}【变式训练】6.(2025·聊城质检)已知全集U=R,集合A={x|x(x-3)>0},B={x|log2(x-1)<2},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{x|3≤x<5} B.{x|0≤x≤3}C.{x|1<x<3} D.{x|1<x≤3}【变式训练】7.已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为()A.(-∞,1] B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)考点4集合的新定义问题【典例】8.(多选)(2025·开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=−2,0,12,1,B={x|(ax-1)·(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,A.-2 B.-12C.0 D.1【变式训练】8.(2025·广州调研)若集合A={x|3x2-8x-3≤0},B={x|x>1},定义集合A-B={x|x∈A且x∉B},则A-B=.

【知识拓展】容斥问题1.教材母题(人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下:(1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).【典例】(2024·吉林四校联考)某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.

【限时训练】（限时：60分钟）一、单选题1.(2025·1月八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=()A.{0} B.{1}C.{0,1} D.{-1,0,1,4}2.已知全集U={x|-1<x<5},集合A满足∁UA={x|0≤x<3},则()A.0∈A B.1∉AC.2∈A D.3∉A3.(2025·湖北十一校联考)已知集合M={x|x2+3x-10<0},N={y|y=x−1},则M∩N=A.[0,2) B.[1,2) C.[-5,2) D.(-5,2)4.(2025·江苏八市模拟)已知集合M={x|x=k+12,k∈Z},N=xxA.M⊆N B.N⊆MC.M=N D.M∩N=⌀5.设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B⊆A,则a=()A.2 B.1 C.-2 D.-16.(2025·德州、烟台模拟)已知集合U=R,集合A={x|x2+2x-3<0},B={x|0≤x≤2},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-3<x<0} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|2<x<3}7.设集合A={x|x<a2},B={x|x>a},若A∩(∁RB)=A,则实数a的取值范围为()A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1) D.(-∞,0]∪[1,+∞)8.(2025·西安质检)某校高一年级有1200人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知,选择其中一项活动的人数占总人数的60%至65%,选择另一项活动的人数占50%至55%,则下列说法正确的是()A.同时选择两项参加的学生可能有100人B.同时选择两项参加的学生可能有180人C.同时选择两项参加的学生可能有260人D.同时选择两项参加的学生可能有320人二、多选题9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则()A.(∁RA)∪B={x|0≤x<3}B.(∁RA)∩B={x|1<x<2}C.A∩B={x|2<x<3}D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集10.(2025·江西部分高中大联考)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|1<2x<4},则()A.A∪B=R B.A∩B=⌀C.∁UA⊆B D.B⊆∁UA11.已知I为全集,集合M,N⊆I,若M⊆N,则()A.M∪N=N B.M∩N=NC.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M=⌀三、填空题12.(2025·皖豫名校联盟联考)已知集合A={λ,2,