2026年高考数学复习讲义（新高考）第2节　常用逻辑用语（原卷版）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第2节常用逻辑用语学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1充分条件、必要条件与充要条件的概念★★☆☆☆考点2全称量词与存在量词★★☆☆☆考点3全称量词命题和存在量词命题★★☆☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】考点1充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p考点2全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.考点3全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)【解题技巧】1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.4.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题否定的真假.【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.()(2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.()(3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.()(4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.()2.(人教A必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(人教A必修一P30【典例】4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是.

4.(人教B必修一P28T4改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是.

【考向核心题型】考点1充分、必要条件的判定【典例】1.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【典例】2.(多选)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是()A.a=-1 B.a=bC.b=1 D.ab=1【变式训练】1.(2025·东北师大附中质检)已知p:1x<1,q:x2+x-6>0,则p是qA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【变式训练】2.在等比数列{an}中,“a1>0,且公比q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点2充分、必要条件的应用【典例】3.(2025·西安模拟)若“x2-5x+4<0”是“a-1<x<a+1”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.(2,3) B.[2,3]C.(-2,3] D.[-2,3]【变式训练】3.(2025·甘孜州模拟)设p:log2(x-1)<m,q:2x>1.若p是q的充分不必要条件,则mA.(-∞,0] B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]考点3全称量词与存在量词角度1含量词命题的否定及真假判断【典例】4.(2025·邵阳联考)命题“∃x∈R,x2-4x+6<0”的否定为()A.∃x∈R,x2-4x+6>0B.∃x∈R,x2-4x+6≤0C.∀x∈R,x2-4x+6<0D.∀x∈R,x2-4x+6≥0【典例】5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则()A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题角度2含量词命题的应用【典例】6.(2024·河南百校联考)已知p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:∃x∈R,x2-4x+a=0.若p为假命题,q为真命题,则a的取值范围为()A.[-3,4] B.(-3,4]C.(-∞,-3) D.[4,+∞)【变式训练】4.(多选)(2025·深圳质检)下列命题中,为真命题的有()A.∀x>0,x+1x≥B.∃x<0,x+1x>-C.∀x>0,x1+xD.∃x<0,x1+x【变式训练】5.(多选)已知命题p:∀x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命题q:∃x∈[1,3],不等式x2-ax+4≤0,则下列说法正确的是()A.命题p的否定是“∃x∈[0,1],不等式2x-2<m2-3m”B.命题q的否定是“∀x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0”C.当命题p为真命题时,1≤m≤2D.当命题q为假命题时,a<4【限时训练】（限时：60分钟）一、单选题1.命题“∃x>0,sinx-x≤0”的否定为()A.∀x≤0,sinx-x>0B.∃x>0,sinx-x≤0C.∀x>0,sinx-x>0D.∃x≤0,sinx-x>02.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是()A.a<4 B.a≤4C.a>4 D.a≥43.“a>b>0”是“ab>1”A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2023·天津卷)已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.当命题“若p,则q”为真命题,则“由p可以推出q”,即一旦p成立,q就成立,p是q成立的充分条件.也可以这样说,若q不成立,那么p一定不成立,q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知命题p:∃x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题,则实数a的取值范围是()A.-4<a<0 B.-4≤a<0C.-4<a≤0 D.-4≤a≤07.设p:关于x的不等式x2+ax+1>0对一切x∈R恒成立,q:对数函数y=log(4-3a)x在(0,+∞)上单调递减,那么p是q的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.设p:0<ln(x-2)≤ln3,q:(x-2m)(x-2m-3)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是()A.1,32 B.C.1,32 二、多选题9.下列命题的否定是假命题的是()A.∃m∈N,m2+1B.菱形都是平行四边形C.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实数根D.平面四边形ABCD的内角和等于360°10.已知幂函数f(x)=(4m-1)xm,则下列选项中,能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是()A.0<1a<1b B.a2>C.lna>lnb D.2a>2b11.(2025·温州模拟)下列选项中,与“1x>1”A.x<1 B.log0.5x2>log0.5xC.3x2<3x D.|x(x-1)|=x(1-三、填空题12.(2025·沈阳质测)“sinx=1”的一个充分不必要条件是.

13.(2025·南昌质测)已知p:-3≤x≤1,q:x≤a(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是.

14.为了证明“所有的素数都