2026年高考数学复习讲义（新高考）第5节 复 数（原卷版）

第五章平面向量、复数第5节复数学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1复数的有关概念★★☆☆☆考点2复数的几何意义★★★☆☆考点3复数的运算★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】1.复数的有关概念★★☆☆☆(1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数⇔b=0a+bi为虚数⇔b≠0a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0(3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).(5)模:向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,2.复数的几何意义★★☆☆☆复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算★★★☆☆(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2,Z1【名师点拨】1.i的乘方具有周期性i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.2.(1±i)2=±2i,1+i1−i=i,1−i1+i=3.复数的模与共轭复数的关系z·z=|z|2=|z|2.【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.()2.(人教A必修二P69【典例】1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=.

3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数5i−2的共轭复数是.4.(北师大必修二P183【典例】5改编)计算:(-2-i)(3+i)=.

【考向核心题型】考点一复数的概念【典例】1(1)(2025·广州调研)复数z满足(1+i)z=i,i为虚数单位,则下列说法正确的是()A.|z|=1B.z在复平面内对应的点位于第二象限C.z的实部为1D.z的虚部为12(2)(2025·宜春质检)如果复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数,m∈R,i是虚数单位,则()A.m≠1且m≠-2 B.m=1C.m=-2 D.m=1或m=-2【变式训练】1(1)(多选)(2025·漳州模拟)若(1+i)a+bi=4i,a,b∈R,则()A.a=1 B.b=4C.a-b=-4 D.ab=0(2)已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是()A.复数z的虚部为-3B.z=12-3C.z2=z+1D.复数z的共轭复数为12-3考点二复数的四则运算【典例】2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)若zz−1=1+i,则A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i(2)(2025·郑州模拟)若z=i2026+21−i,A.22 B.5C.322 【变式训练】2(1)(2025·武汉调研)复数1+3A.-i B.i C.32-i D.32(2)(多选)(2025·湖南名校联考)已知复数z1,z2满足3z1+z2=-1-2i,z1+3z2=5+2i,则()A.z1=-1-i B.z2=2+iC.z1-z2=-3+2i D.z1z考点三复数的几何意义【典例】3(1)(多选)(2025·青岛适应性检测)已知复数z,下列说法正确的是()A.若z-z=0,则z为实数B.若z2+z2=0,则z=zC.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2D.若|z-i|=|z|+1,则z为纯虚数(2)(多选)(2025·泰安检测)已知复数z,w,则下列说法正确的是()A.若z=w,则z=wB.若z=3+i,w=-2i,则z+w在复平面内对应的点在第二象限C.若z2=1,则z=zD.若|z-2|=1,复数z在复平面内对应的点为Z,则直线OZ(O为原点)斜率的取值范围为−【变式训练】3(1)(2025·杭州模拟)复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-2) B.(-3,-2)C.(-2,+∞) D.(-∞,-3)(2)(多选)(2025·西安调研)已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.x-y-1=0 B.x+y+1=0C.|z|的最小值为22 D.|z|的最小值为【限时【变式训练】】（限时：60分钟）一、单选题1.(2025·1月八省联考)|2-4i|=()A.2 B.4 C.25 D.62.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(z+z)=()A.10i B.2iC.10 D.23.(2025·太原调研)在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,-1),则zi-A.-1-3i B.1-iC.1-3i D.-1+i4.(2025·成都诊断)已知复数z=11+i(其中i为虚数单位),则zA.-12 B.-1C.12 D.15.(2025·聊城模拟)若复数z满足z=i·z,则z可以为()A.1-i B.1+iC.1+2i D.1-2i6.(2025·合肥质检)若复数3+ai2−i的实部与虚部相等,A.1 B.3 C.-1 D.-37.(2025·吉林部分学校模拟)已知复数z满足z-2z=1-3i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.若3+4iz是纯虚数,则复数zA.-3+4i B.3-4iC.4+3i D.4-3i二、多选题9.(2025·杭州模拟)已知关于x的方程x2+tx+1=0(-2<t<2)的两复数根为z1和z2,则()A.z1=z2 B.z1·z2C.|z1|=|z2| D.z1z10.(2025·重庆诊断)若|z-1|=|z+1|,则()A.z∈R B.|z-1|=|z+1|C.z+z=0 D.z·z=z211.(2025·湘豫名校联考)一般地,对于复数z=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),在平面直角坐标系中,设|z|=|OZ|=r(r≥0),经过点Z的终边的对应角为θ,则根据三角函数的定义可知a=rcosθ,b=rsinθ,因此z=r(cosθ+isinθ),我们称此种形式为复数的三角形式,r称为复数z的模,θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z-1|≤r,r∈(0,1),Re(z)为z的实部,θ为z的辐角的主值,则()A.|z-22i|的最大值为r+3B.|z-22i|的最小值为3-rC.cosθ≤1−D.Re1z≥1Re(z)(1三、填