2026年高考数学复习讲义（新高考）第5节 三角函数的图象与性质（解析版）

第四章三角函数、解三角形第5节三角函数的图象与性质学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图★★★☆☆考点2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图★★★☆☆(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),π2,1,(π,0),3π2,−1,(2π(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,02.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)★★★☆☆函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{xx∈R,且x≠kπ值域[-1,1][-1,1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2[2kπ-π,2kπ]k递减区间2[2kπ,2kπ+π]无对称中心(kπ,0)kk对称轴方程x=kπ+πx=kπ无【名师点拨】1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=π2+kπ(k∈Z(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).3.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间kπ−π2,kπ+π【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()(2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.()(4)y=sin|x|是偶函数.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.(2)正切函数y=tanx在每一个区间kπ−π2,kπ+π2(k∈(3)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.2.(人教A必修一P214T10改编)函数y=cosx+π3,x∈0,π【答案】−【解析】由x∈0,π2得x+π3所以y=cosx+π33.(湘教必修一P186T5(1)改编)函数f(x)=12sin2x−π3,x∈【答案】5π12+kπ,11π【解析】由π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ,k解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ,k∈故f(x)的单调递减区间是5π12+kπ,11π4.(北师大必修二P62【典例】4改编)函数y=tanx−π4的定义域为【答案】x【解析】由x-π4≠π2+kπ,k∈Z,即x≠3π4+kπ,k故函数y=tanx−π4【考向核心题型】考点一三角函数的定义域和值域【典例】1(1)函数y=lgsinx+cosx−12【答案】x【解析】要使函数有意义,则有sinx解得2kπ<x<π+2kπ,所以2kπ<x≤π3+2kπ,k∈Z所以函数的定义域为x2(2)(2024·全国甲卷)函数f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是.

【答案】2【解析】由题意知f(x)=sinx-3cosx=2sinx−当x∈[0,π]时,x-π3∈−∴sinx−π3于是f(x)∈[-3,2],故f(x)在[0,π]上的最大值为2.(3)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为.

【答案】−【解析】设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=1−t22,且-2≤t∴y=-t22+t+12=-12(t-当t=1时,ymax=1;当t=-2时,ymin=-12-2∴函数的值域为−1【思维建模】1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数的图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y=Asinωx+φ(2)把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.【变式训练】1(1)函数f(x)=-2tan2x+π6【答案】x|x【解析】由2x+π6≠kπ+π2,k∈Z,得x≠12kπ+π6,(2)(2024·天津卷改编)已知函数f(x)=sin3ωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在−π【答案】-3【解析】由f(x)的最小正周期为π,可得π=2π3所以ω=23所以f(x)=sin(2x+π)=-sin2x.当x∈−π12,π6时,2x∈−π6,π3,sin2x所以f(x)min=-32(3)当x∈π6,7π6时,函数y=3-sinx-2cos2x【答案】7【解析】因为x∈π6,7π6,所以sin又y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)=2sinx−1所以当sinx=14时,ymin=7当sinx=-12或sinx=1时,ymax即函数的值域为78考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性【典例】2(1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x−A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴【答案】BC【解析】对于A,令f(x)=0,则x=kπ2,k∈又gkπ2≠0,故A对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=π2+kπ,k∈Z,即x=π4+kπ2,g(x)图象的对称轴方程为2x-π4=π2+kπ,k∈即x=3π8+kπ2,k故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.(2)已知函数f(x)=2cosx+π4+φ是奇函数,且φ∈−π2【答案】π【解析】由已知,得π4+φ=kπ+π2(k∈Z所以φ=kπ+π4(k∈Z)又因为φ∈−π所以当k=0时,φ=π4符合题意【思维建模】有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为2πω,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为πω(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.【变式训练】2(1)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为()A.sinπ2x C.sinπ4x 【答案】B【解析】A中,T=2ππ2B中,T=2ππ2C中,T=2ππ4=8,D中,T=2ππ4=8,对于A,当x=2时,sinπ2×2故(2,0)是函数的一个对称中心,排除A;对于B,当x=2时,cosπ2×2=-1,故x=2(2)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点3π2,2A.1 B.32C.52 【答案】A【解析】因为2π3<T<π,所以2π3<又因为ω>0,所以2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点3π2,2所以b=2,3π2ω+π4=kπ,k∈所以ω=-16+23k,k∈令2<-16+23k<3,解得134<k又因为k∈Z,所以k=4,所以ω=52所以f(x)=sin52x+π4+2,所以f考点三三角函数的单调性【典例】3(1)(多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是()A.sin−π10B.cos400°>cos(-50°)C.sin7π8<sinD.sin3<sin2【答案】BD【解析】因为-π2<-π8<-π10<0,且函数y=sinx在所以sin−π8<sin−π10,因为cos400°=cos40°,cos(-50°)=cos50°,且当0°≤x≤90°时,函数y=cosx单调递减,所以cos40°>cos50°,即cos400°>cos(-50°),故B正确;因为π2<7π8<8π7<3π2,且函数y=sinx所以sin7π8>sin8π7,故C因为π2<2<3<3π2,且函数y=sinx在区间π所以sin3<sin2,故D正确.(2)(2025·赣州联考)已知函数f(x)=2cosπ4−3x,x∈−π2,A.πB.−C.−π2D.−π4【答案】D【解析】f(x)=2cosπ4−3x,可化为f(x令2kπ-π≤3x-π4≤2kπ,k∈Z解得23kπ-π4≤x≤23kπ+π12,令k=0,得-π4≤x≤π令k=1,得5π12≤x≤3π∵x∈−π∴f(x)的单调递增区间是−π4,【思维建模】1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.2.比较三角函数值的大小,首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小,若不能,则利用周期性进行转化求解.【变式训练】3(1)(2025·泰州调研)已知a=1+tan18°1−tan18°,b=2cos233°-1,c=1+cos56°2A.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.b>a>c【答案】A【解析】a=1+tan18°1−tan18°=tan(45°+18°)=tan63°b=2cos233°-1=cos66°=sin24°,c=1+cos56°2=cos因为tan63°>tan60°=3,sin24°<sin30°=1212<sin62°<1,所以a>c>b(2)(2025·天津部分区模拟)下列函数中,以π2为周期,且在区间πA.f(x)=sin|x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=|cos2x|【答案】D【解析】对于A,f(0)=sin|0|=0,fπ2=sinπ2=1≠f故f(x)=sin|x|不以π2为周期,故A错误对于B,fx+π2=|sin(2x+π)|=|sin2x|=f(x),故f(x)=|sin2x|的一个周期为f(x)在π4,π3上单调递减,对于C,f(0)=cos|0|=1,fπ2=cosπ2=0≠f故f(x)=cos|x|不以π2为周期,故C错误对于D,fx+π2=|cos(2x+π)|=|cos2x|=f(故f(x)=|cos2x|以π2为周期,f(x)在π4,π3上单调递增,【限时训练】（限时：60分钟）一、单选题1.(2025·1月八省联考)函数f(x)=cosx+A.π4 B.πC.π D.2π【答案】D【解析】对于f(x)=Acos(ωx+φ),T=2πω所以f(x)=cosx+π2.函数f(x)=2sinπA.π3+4kπ,5πB.13+4k,5C.π6+4kπ,5πD.16+4k,5【答案】B【解析】由题意,得2sinπ2x-1≥0π2x∈π6+2kπ,5π则x∈13+4k,53.函数f(x)=sin2x+cosxx∈A.1 B.54C.32 【答案】B【解析】f(x)=sin2x+cosx=-cos2x+cosx+1=-cosx−1由x∈0,π2得cosx∈[0,所以当cosx=12,f(x)取到最大值,且f(x)max=54.(2024·济南调研)已知函数f(x)=2sin2ωx−π6(ω>0)的最小正周期为π,则A.直线x=π6对称 B.直线x=πC.点π6,0对称 D.点【答案】B【解析】因为函数f(x)的最小正周期为π,由π=2π2ω得ω=1,所以f(x)=2sinfπ6=1,故直线x=π6不是f(x)图象的对称轴,点π6,0也不是f(fπ3=2,故直线x=π3是f(x)图象的对称轴,点π3,0不是f(x)5.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则下列结论正确的是()A.sinα<sinβ B.cosα<sinβC.cosα<cosβ D.cosα>cosβ【答案】B【解析】因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>π2所以0<π2-β<α<π所以cosα<cosπ2−β=sinβ6.已知函数f(x)=cos(x+a)+sin(x+b),则下列结论正确的是()A.若a+b=0,则f(x)为奇函数B.若a+b=π2,则f(xC.若b-a=π2,则f(xD.若a-b=π,则f(x)为奇函数【答案】B【解析】f(x)的定义域为R,对于A,若a+b=0,则当f(x)为奇函数时,f(0)=0,而f(0)=cosa-sina=0不恒成立,故f(x)不是奇函数,A错误;对于B,若a+b=π2,则f(x)=cos(x+a)+sinx+π2−a=cos(x+a)+f(-x)=cos(-x+a)+cos(-x-a)=cos(x-a)+cos(x+a)=f(x),故f(x)为偶函数,B正确;对于C,若b-a=π2,则f(x)=cos(x+a)+sinx+π2+af(-x)=2cos(-x+a)≠f(x),故f(x)不是偶函数,C错误;对于D,若a-b=π,则f(x)=cos(x+b+π)+sin(x+b)=-cos(x+b)+sin(x+b),当f(x)为奇函数时,f(0)=0,而f(0)=-cosb+sinb=0不恒成立,故f(x)不是奇函数,D错误.故选B.7.若函数f(x)=tanωx−π4(ω>0)的最小正周期为4,则在下列区间中A.−1,13 C.53,3 D.(3【答案】C【解析】对于函数f(x),其最小正周期T=πω=4,可得ω=π则f(x)=tanπ由kπ<π4x-π4<kπ+π2(k∈解得4k+1<x<4k+3,其中k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(4k+1,4k+3)(k∈Z),当k=0时,f(x)在(1,3)上单调递增,又53,3⊂(1,3),8.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<b【答案】D【解析】因为tan5=tan(5-π),π2<5-π<2<3<π,且函数y=tanx在区间π2所以tan(5-π)<tan2<tan3,所以tan5<tan2<tan3,即c<a<b.二、多选题9.(2025·合肥质检)已知函数f(x)=2sin2x+π4A.点3π8,1是函数f(B.直线x=3π8是函数f(xC.函数f(x)在[0,π]上有两个零点D.函数f(x)在[0,π]上有三个极值点【答案】AC【解析】对于函数f(x)=2sin2x+π当x=3π8时,f(x)=1,结合正弦函数图象的对称性,可得点3π8,1是函数f(x)图象的一个对称中心,故A正确当x∈[0,π]时,2x+π4∈π故当2x+π4=7π6或11π6时,f(故函数f(x)在[0,π]上有两个零点,C正确;当2x+π4=π2或3π函数f(x)取得极值,故函数f(x)在[0,π]上有两个极值点,D错误.10.已知函数f(x)=tan2x−A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的定义域为x|xC.函数f(x)图象的对称中心为kπ4+πD.函数f(x)的单调递增区间为kπ2−π【答案】ACD【解析】对于A,函数f(x)=tan2x−π4的最小正周期T=π2对于B,令2x-π4≠π2+kπ,k∈Z,得x≠3π8+kπ2即函数f(x)的定义域为x|x≠3π8+k对于C,令2x-π4=kπ2,k∈Z,解得x=π8+kπ所以函数f(x)的图象关于点kπ4+π8,0,k∈Z对于D,令kπ-π2<2x-π4<kπ+π2,k解得kπ2-π8<x<kπ2+3π故函数f(x)的单调递增区间为kπ2−π8,kπ211.已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|,下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间π2C.f(x)在[-π,π]有4个零点D.f(x)的最大值为2【答案】AD【解析】f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),∴f(x)为偶函数,故A正确;当π2<x<π时,f(x=sinx+sinx=2sinx,∴f(x)在π2,π上单调递减,故Bf(x)在[-π,π]上的图象如图所示,由图可知函数f(x)在[-π,π]上只有3个零点,故C不正确;∵y=sin|x|与y=|sinx|的最大值都为1且可以同时取到,∴f(x)可以取到最大值2,故D正确.三、填空题12.(2025·武汉调研)设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=f(x),则tanφ=.

【答案】1【解析】f(x)=2sinx+因为f(-x)=f(x),x∈R,所以f(x)是偶函数,所以φ+π4=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈故tanφ=tankπ+13.(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈π6,π3,则cosβ【答案】-1【解析】因为α与β的终