（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义02 空间向量基本定理+随堂检测（教师版）

第页1.2空间向量基本定理【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【典型例题】题型一：基底的判断【例题1-1】设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（

）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体，，，，则，，，，由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．【变式1-1】已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断.【详解】A.因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；B.因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；C.假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；D.因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；故选：C题型二：基底的运用【例题2-1】如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A．B．=C．=D．=【答案】B【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：B【变式2-1】在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.【详解】由已知，所以，，故选：D.【方法技巧与总结】1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.题型三：正交分解【例题3-1】设是空间的一个单位正交基底，且向量，是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.【答案】【分析】设，由空间向量分解的唯一性，，列出方程组求解即可【详解】由题意，不妨设由空间向量分解的唯一性：故，解得则故答案为：【变式3-1】若是一个单位正交基底，且向量，，______．【答案】【分析】由条件可得，，利用向量的数量积的运算性质可得答案.【详解】由是一个单位正交基底，则，，故答案为：题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【例题4-1】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)的值.(2)线段AC1的长【答案】(1)(2)【分析】（1）直接套用向量的内积公式即可；（2）选取作为一组基底，用基底表示，=代入求解即可得出答案.(1)==.(2)选取作为一组基底，则，则======.【变式4-1】已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.【详解】在空间四边形OABC中，令，则，令，G是MN的中点，如图，则，，于是得，因此，，所以OG⊥BC.【变式4-2】如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．(1)用，，表示并求BM的长；(2)求点A到直线BM的距离．【答案】(1)，BM的长为．(2)2【分析】(1)根据空间向量的基本定理可得，利用空间向量的几何意义，等式两边同时平方，计算即可；(2)由(1)可得，进而可得，即为点A到直线BM的距离.(1)又，，，故BM的长为．(2)由（1）知，，∴，所以，则为点A到直线BM的距离，又，故点A到直线BM的距离为2．【方法技巧与总结】应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).同步巩固练习一、单选题1．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（

）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，【详解】若，，，四点共面，则，则故选：D．2．在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解【详解】因为为中点，所以所以即故选：B3．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（

）①；

②；③；

④．A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据空间向量的加法法则判断．【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．；；；．故选：D．4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【分析】结合图形,由M、N是OM、BC的中点,用表示出,从而得出,即可得出.【详解】连结ON.因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，，所以.又，所以..故选：C二、多选题5．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（

）A．B．C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面【答案】BD【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.【详解】，A选项错误.，B选项正确.则是的中点，，，则不存在实数使，所以C选项错误.，由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.故选：BD6．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】CD【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：，化简得：，显然有，而，所以有，当，时，，所以选项A不可能；当，时，，所以选项B不可能；当，时，，所以选项C可能；当，时，，所以选项D可能，故选：CD三、填空题7.正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.【答案】【分析】根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.【详解】，，，，.故答案为：.8．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.【答案】【分析】把三个向量看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，由此能求出结果.【详解】解：由题意三棱柱中，､分别是B､上的点，且，，则，，.故答案为：.四、解答题9．如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．【答案】【分析】利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.【详解】因为在平行六面体中，点在线段上，且，所以.10．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．(1)用，，表示向量；(2)若，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．【答案】(1)(2)①②③【分析】（1）连接由可得答案；（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；③对两边平代入已知再开方可得答案.(1)连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为M是棱OA上靠近A的三等分点，所以.(2)选①，因为，，所以，所以；选②，因为，，所以，所以；③，因为，，所以，所以.11.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.(1)，因为，同理可得，所以(2)因为，所以，因为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．1.2空间向量基本定理随堂检测1.若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.【详解】选项A：令，则，，A正确；选项B：因为，所以不能构成基底；选项C：因为，所以不能构成基底；选项D：因为，所以不能构成基底．故选：A.2.如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：，故选：A3.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.【详解】，，故选：B4．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．【答案】【分析】根据空间向量的基本定理：设坐标，分别以、为基底表示，即可得方程组求参数，进而确定坐标.【详解】由题意知：，若在基底的坐标为，∴，∴，可得，∴在基底的坐标为.故答案为：5．四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.【答案】【分析】取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.【详解】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则，，所以.故答案为：6.如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.(1)设试用表示向量；(2)求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）将，代入中化简即可得出答案.（2）利用，结合