（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义02 空间向量基本定理+随堂检测（原卷版）

第页1.2空间向量基本定理【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【典型例题】题型一：基底的判断【例题1-1】设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（

）A．1B．2C．3D．4【变式1-1】已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，题型二：基底的运用【例题2-1】如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A．B．=C．=D．=【变式2-1】在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（

）A．B．C．D．题型三：正交分解【例题3-1】设是空间的一个单位正交基底，且向量，是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.【变式3-1】若是一个单位正交基底，且向量，，______．题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【例题4-1】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)的值.(2)线段AC1的长【变式4-1】已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【变式4-2】如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．(1)用，，表示并求BM的长；(2)求点A到直线BM的距离．同步巩固练习一、单选题1．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（

）A．0B．1C．2D．32．在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（

）A．B．C．D．3．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（

）①；

②；③；

④．A．1B．2C．3D．44．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，二、多选题5．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（

）A．B．C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面6．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（

）A．，B．，C．，D．，三、填空题7.正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.8．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.四、解答题9．如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．10．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．(1)用，，表示向量；(2)若，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．11.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．1.2空间向量基本定理随堂检测1.若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（

）A． B．C． D．2.如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（

）A．B．C．D．3.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（

）A．B．C．D．4．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．5．四面体OABC的所有棱长都等