椭圆及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性-2

3.1.1椭圆及其标准方程

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程，体现数学抽象能力(重点)2.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题，体现数学计算能力(难点)1新课导入椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？新课学习34取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点

F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？新课学习34椭圆的概念平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.（如下图）这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.F1F2M焦点焦距新课学习34观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点

F1，F2的直线为

x轴，线段

F1F2的垂直平分线为

y轴，建立平面直角坐标系

Oxy，如图所示.F1F2MxOy设

M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点

F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a．新课学习34观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为所以为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得对方程②两边平方，得新课学习34观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？整理，得对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2).④新课学习34观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？将方程④两边同除以

a2(a2－c2)，得由椭圆的定义可知，2a＞2c＞0，即

a＞c＞0，所以

a2－c2＞0．新课学习

F1F2M••xyO(x,y)

⑥这样，椭圆上任意一点的坐标

(x，y)都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点

(x，y)与椭圆的两个焦点

(c,0)，(－c,0)

的距离之和为

2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.由于方程的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.新课学习椭圆的标准方程的概念我们称是椭圆的标准方程.它表示焦点在

x轴上，两个焦点分别是

F1(－c,0)，F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2.新课学习如图，如果焦点F1，F2

在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0,－c)，(0,c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？F1F2M••xyO此时的椭圆的方程是新课学习定义图形方程焦点a,b,c之间的关系F1F2MxOyF1F2MxOyF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)a2=b2+c2新课学习例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点

，求它的标准方程．

由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知

c＝2，

所以

b2＝a2－c2＝10－4＝6．所以，所求椭圆的标准方程为新课学习例2：在圆

x2＋y2＝4

上任取一点

P，过点

P作

x轴的垂线段

PD，D为垂足.当点

P在圆上运动时，线段

PD的中点

M的轨迹是什么?

为什么?(当点

P经过圆与

x轴的交点时，规定点

M与点

P重合.)xyPMO•D•分析：点

P在圆

x2＋y2＝4

上运动，点

P的运动引起点

M运动.我们可以由

M为线段

PD的中点得到点

M与点

P坐标之间的关系式，并由点

P的坐标满足圆的方程得到点

M的坐标所满足的方程.新课学习例2：在圆

x2＋y2＝4

上任取一点

P，过点

P作

x轴的垂线段

PD，D为垂足.当点

P在圆上运动时，线段

PD的中点

M的轨迹是什么?

为什么?(当点

P经过圆与

x轴的交点时，规定点

M与点

P重合.)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点

D的坐标为(x0，0).由点M是线段PD的中点，得因为点P(x0，y0)在圆

x2＋y2＝4

上，所以

x02＋y02＝4

①.把x0=x,y0=2y代入方程①，得

x2＋4y2＝4，即所以点M的轨迹是椭圆.新课学习根据上面的例题，总结一下求轨迹M的方法:寻求点M的坐标中x，y与x0，y0之间的关系，然后消去x0，y0，得到点M的轨迹方程常用的方法.利用信息技术，可以更方便地探索点M的轨迹方程.新课学习由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？由例2我们可以发现，将圆

x2＋y2＝4

上的所有点的横坐标变为原来的

时，利用三角函数中学习的伸缩变换的知识，可以得到x2＋(2y)2＝4，即

，此为椭圆方程.xyPMO•D•

同理可将圆上所有点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，利用伸缩变换可得

，得到拉伸后的椭圆方程.所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到.新课学习例3：如图，设A，B两点坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

分析：设点M的坐标为(x，y)，那么直线

AM，BM

的斜率就可用含

x，y

的关系式分别表示.

由直线

AM，BM的斜率之积是-

，可得出

x，y

之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程.xyBMOA•

新课学习例3：如图，设A，B两点坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

xyBMOA•设点

M的坐标为(x,y)，因为点

A的坐标是(-5,0)，所以直线AM的斜率同理，直线

BM的斜率由已知，有新课学习例3：如图，设A，B两点坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的