湘豫名校联考2025年11月高三一轮复习诊断考试数学试题（含答案）

湘豫名校联考

2025年11月高三一轮复习诊断考试

数学参考答案

题号1234567891011

答案BABCDDABABDACBCD

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.B【试题立意】本题主要考查不等式的运算及集合的并集运算,体现数学运算的核心素养.

【解析】由0<x+1<4,得-1<x<3,所以集合A={x|-1<x<3}.又B={x|x-1∈A}={x|0<x<4},

所以A∪B={x|-1<x<4}.故选B.

2.A【试题立意】本题主要考查复数的四则运算和概念,体现数学运算的核心素养.

【解析1=2+2i,2+2i的共轭复数是2-2i.故选A.

3.B【试题立意】本题主要考查指、对数的运算及性质,体现数学运算的核心素养.

【解析】由题意,当f(x)=0.25时,有0.95×0.9x+0.05=0.25,解得0.9x等式两边取对数,得xlg0.9=

lg解得x计算分子:lglg2-lg19≈2×0.30-1.28=-0.68;计算分母:lg0.9=2lg3-1≈

2×0.48-1=-0.04.所以x≈17,所以此时汽车大约行驶了30×17=510(公里).故选B.

4.C【试题立意】本题主要考查充分、必要条件以及等比、等差数列的概念,体现数学抽象、逻辑推理的核心素养.

aa-a

【解析】若{2n}为等比数列,则n+1n=q(q≠1)为常数,所以an+1-an为非零常数,所以数列{an}

-

an+1and

为等差数列,充分性成立;若{an}为等差数列,则an+1-an=d(d≠0)为常数,所以=2

(2d≠1)为常数,所以{2an}为等比数列,必要性成立.故选C.

5.D【试题立意】本题主要考查导数的几何意义,体现数学运算、直观想象的核心素养.

【解析】因为f'(x)

2或m=-(舍去),所以m=2.故选D.

6.D【试题立意】本题主要考查函数的奇偶性,体现数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】容易判断,y=ln为奇函数,则y=sin(2x+φ+为偶函数,所以φ+kπ+,k∈Z,解得

φ=kπ+,k∈Z.当k=0时,正数φ可以取到最小值.故选D.

7.A【试题立意】本题主要考查指、对数比较大小,体现数学运算的核心素养.

3

【解析】方法一:由题a1+,b=e=e.令f(x)=ex-x-1(x>0),则f'(x)=ex-1.当x>0时,

f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即e--1>0.所以e>,即b>

数学参考答案第1页(共7页)

a.由题c=ln1+ln1+,令g(x)=ln(x+1)-x,x>0,则g'(x)-1.当x>0时,g'(x)<0,

(1

所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.所以g(x)<g(0)=0,即ln(x+1)<x.所以1+ln(1+<1+,

即c<a.故选A.

3

3

方法二:因为a3=≈2.37,b3=(3e)=e,所以a3<b3,即a<b.所以ln<.因为c=ln

lne+ln1+ln<1+a,所以c<a<b.故选A.

8.B【试题立意】本题主要考查三角函数的图象与性质、极值点的概念,体现直观想象、数学运算的核心素养.

【解析】由题意可得f'(x)=cosx--xsinx-因为x∈(0,2026),当f'(x)=0时,显然

cosx-≠0,所以tanx-.易知符合条件的解即为f'(x)的变号零点,即f(x)的极值点,

所以f(x)的极值点均可视作y=tanx-的图象与曲线y交点的横坐标.由x>0可知,交点必

在第一象限.如下图,当x>0时,可知tan

tanx-的图象与曲线y在每一个区间(8k+2,8k+6),k∈N上有且仅有一个交点.由(8k+2,

8k+6)⊆(0,2026),可得k=0,1,…,252,所以满足条件的区间共253个.所以y=tanx-的图象与

曲线y在区间(0,2026)上共有253个交点,即f(x)在区间(0,2026)上共有253个极值点.故选B.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.ABD【试题立意】本题考查平面向量数量积,考查数学运算的核心素养.

【解析】因为|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=1,所以a·b=-|b|2=-1,可得cos<a,b>=-1,所以<a,b>为π.

所以a+b=0,所以b∥a+b.所以A,B,D正确,C错误.故选ABD.

10.AC【试题立意】本题主要考查不等式的性质、基本不等式,体现数学运算的核心素养.

【解析】对于A,由题可知f(a)=ln(a-1)=f(b)=-ln(b-1)(1<b<2<a),所以ln(a-1)+ln(b-1)=

数学参考答案第2页(共7页)

0,即(a-1)(b-1)=1,所以ab=a+b,即+1,A正确;对于B,因为a>b,所以ab=a+b>2ab,

即b>4B错误;对于C+≥226当且仅当1+6b1+时等号成

a,,-1-1--1=,a=,=,

立,且满足a>b,C正确;对于D,由a+2b=(a+2b)+=1+2++≥3+2×3+

22,当且仅当a=2+1,b=1+时,等号成立,D错误.故选AC.

11.BCD【试题立意】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象,体现数学运算的核心素养.

C(π)=-,A错误;对于B,因为当θ∈(0,时,|cosθ|+|sinθ|=sinθ+cosθ=2sin(θ+∈

(1,2],所以1<sinθ+cosθ≤2,所以C(θ)≥cosθ,B正确;对于C,Cθ+=

θ()

正确;对于D,因为当θ∈[0,

sin

,所以S(θ)+S2×-θ+=1=2×

θ()θθ

cos

,所以y=S(θ),θ∈[0,的图象关于点,对称,D正确.故选BCD.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.(-2,1)【试题立意】本题主要考查分段函数的单调性,体现数学运算的核心素养.

【解析】由题易判断函数f(x)在R上单调递增,则x2+2x<x+2,所以(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,

所以不等式的解集为(-2,1).

13.(81,84]【试题立意】本题主要考查等差数列基本量的计算和数列求和,体现数学运算的核心素养.

a16d=3,a121,

【解析】设等差数列的公差为所以解得所以-所以

{an}d,-an=243n.Sn=

{a121,{d3,

(-n2+15n),当n=7或8时,Sn取得最大值为84.因为有且只有两个

正整数n满足Sn≥k,所以满足条件的n为7和8.又S6=S9=81,所以实数k的取值范围是(81,84].

14.4-23【试题立意】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,基本不等式求解最值,体现数学运算的核心

素养.

→2→1→→→2

【解析】因为AD=3AB+3AC,所以DC=2BD.设BD=x(x>0),则CD=2x.在△ACD中,AC=

数学参考答案第3页(共7页)

4x2+4-2×2x×2×cos60°=4x2-4x+4,在△ABD中,AB2=x2+4-2×x×2×cos120°=x2+2x+4,

所以

因为+1+≥23所以≥4-23当且仅当(+1)23时即3-1或

.x1,,x=,x=

x+1

x=-3-1(舍去),即x=3-1时,等号成立.所以的最小值为4-23.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【试题立意】本题主要考查三次函数的极值与最值,体现数学运算的核心素养.

【解析】(1)因为f'(x)=3x2-6x-9=3[(x-1)2-4],…………………2分

所以当x=1时,切线斜率可取到最小值为-12.

因为f(1)=-10,所以点P的坐标为(1,-10).……………4分

(2)f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

令f'(x)=0,得x=-1或x=3.

当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增;…………………5分

当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-1,3)上单调递减;

当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(3,+∞)上单调递增.………7分

所以当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=6;

当x=3时,f(x)取得极小值,为f(3)=-26.……………9分

又因为f(4)=-19,…………………………10分

所以f(x)在[-1,4]上的有最小值为-26,最大值为6.…………………11分

所以n-m≤-26-6=-32.

故n-m的最大值为-32.…………………13分

16.【试题立意】本题主要考查数列的通项公式、最值和数列求和,体现数学运算的核心素养.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,

则数列{an·cosnπ}的前2n项的和为

-a1+a2-a3+a4-…+a2n-2-a2n-1+a2n

=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=nd=2n.……………………2分

所以d=2.……………………3分

所以an=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.……………4分

因为2Sn=3bn-2①,

令n=1,则2S1=2b1=3b1-2,解得b1=2.…………………5分

又2Sn+1=3bn+1-2②,

②-①得2bn+1=3(bn+1-bn),所以bn+1=3bn,……………7分

所以数列{bn}是首项为2,公比为3的等比数列.……………8分

-

n1

所以bn=2×3.……………9分

可得cn10分

则cn+1-cn11分

数学参考答案第4页(共7页)

因为3n>0,当n≤7时,-30+4n<0;

当n≥8时,-30+4n>0,…………………12分

所以c1>c2>c3>…>c7>c8<c9<…<cn.

所以当n=8时,cn取得最小值,为c……………15分

17.【试题立意】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,体现数学运算、直观想象的核心素养.

所以所以sinAcosC=sinC(2-cosA).………………2分

所以sinAcosC+cosAsinC=2sinC,所以sin(A+C)=2sinC.………3分

因为A+B+C=π,

所以sinB=2sinC,从而由正弦定理可得b=2c.…………5分

由正弦定理,得………………6分

可得

因为a=23,所以CD………………………8分

(3)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,

即a2=4c2+c2-4c2cosA,解得c2.…………11分

所以+3sinA=5-4cosA+3sinA.……………………12分

又5-4cosA+3sinA=5+5sin(A-φ),其中tanA∈(0,π),

所以当5+5sin(A-φ)取得最大值时,A-φ=2kk∈Z.

所以tanA=tantan分

18.【试题立意】本题主要考查利用导数求最值、判断零点个数、不等式恒成立问题,体现数学运算、直观想象的

核心素养.

【解析】(1)当a=0时,f(x)=xln(x+1),x>-1,

f'=ln2分

当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,……………4分

所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.………………5分

(2)当a=1时,y=f(x)-sinx=(x+1)ln(x+1)-sinx,x≥0

所以y'=ln(x+1)+1-cosx.………………7分

数学参考答案第5页(共7页)

当x≥0时,ln(x+1)≥0,1-cosx≥0,所以y'=ln(x+1)+1-cosx≥0,

所以y=f(x)-sinx在区间[0,+∞)上单调递增.………9分

又f(0)-sin0=0,

所以函数y=f(x)-sinx在区间[0,+∞)上只有一个零点.……………10分

(3)令F(x)=sinx-m(2-x)ln(x+1),x∈(0,π],则F(x)>0对x∈(0,π]恒成立.………………11分

①当m≤0时,F(π)=-m(2-π)ln(π+1)≤0,与F(x)>0矛盾,不成立.……………12分

1

②当0<m≤时,若x∈(0,2),

2

令h(x)=x-2mln(x+1),则h'(x)=1->0,

1

所以h(x)在(0,2)上单调递增.

又h(0)=0,所以h(x)>0,即>mln(x+1),

所以ln.………………………13分

令g(x)=sinx+-x,则g'(x)=cosx+x-1.

令τ(x)=g'(x),则τ'(x)=1-sinx≥0,所以τ(x)即g'(x)在(0,2)上单调递增.

又g'(0)=0,当x∈(0,2)时,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上单调递增,

所以g(x)>g(0)=0,所以sinx>x-.

所以sinx>xln

若x∈[2,π],sinx≥0,而m(2-x)ln(x+1)≤0,等号不同时成立,

所以sinx>m(2-x)ln(x+1)恒成立.……………………15分

③当m时,若x,则m(2-x)>x+1,即m(2-x)ln(x+1)>(x+1)ln(x+1).

由(2)可得m(2-x)ln(x+1)>(x+1)ln(x+1)>sinx,

所以m>时,存在x∈(0,π],使得F(x)<0,故不成立.………………16分

综上所述,实数m的取值范围为(0,.…………………17分

19.【试题立意】本题主要考查利用导数求最值、证明不等式、导数的几何意义,体现数学运算、直观想象的核心

素养.

【解析】(1)将函数y=f(x)=ex的图象向右平移1个单位长度得到y=ex-1的图象.…1分

-

因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以x=ey1,从而y=lnx+1,

故g(x)=lnx+1(x>0).……………………3分

(2)由(1)可得f'(x)=ex,g'(x).

x+mx1+m

设直线l1与曲线y=e相切于点(x1,e),

x+mx+m

则直线l1:y-e1=e1(x-x1).

数学参考答案第6页(共7页)

设直线l2与曲线y=ln(x+1)+1相切于点(x2,ln(x2+1)+1),

则直线l2:y-ln.……………5分

x+m

因为曲线y=e与y=ln(x+1)+1有公共的切线,此时l1,l2重合,

所以两条切线方程的斜率、截距相同(此处只考虑纵截距即可),

所以

ln

则m=(x2+1)ln(x2+1)-ln(x2+1).

令t=x2+1,则ξ(t)=tlnt-lnt=(t-1)lnt(t>0),……………………7分

易得ξ'(t)=lnt-+1在(0,+∞)上单调递增,且ξ'(1)=0,…………8分

所以当t∈(0,1)时,ξ'(t)<0,所以ξ(t)在(0,1)上单调递减;

当t∈(1,+∞)时,ξ'(t)>0,所以ξ(t)在(1,+∞)上单调递增.

所以ξ(t)min=ξ(1)=0.

所以m≥0,即m的最小值为0.……………10分

(3)由题意得AB⊥AD.

x3x4

不妨设A(x1,lnx1),B(x2,lnx2),C(x3,e),D(x4,e),其中0<x1<x2,x4<x3.

因为y=f(x)和y=g(x)-1的图象关于直线y=x对称,

x3x4

所以x4=lnx1,x3=lnx2,x2=e,x1=e,kAB=kDC=1,kAD=kBC=-1,

所以|AB|=2(x2-x1)=2(lnx2-lnx1),|BC|=2(x2-x3).

x3x1

由|AB|=|BC|,得x1=x3=lnx2,所以x2=e=e.………………12分

x1x1

由lnx2-lnx1=x2-x3,得x1-lnx1=e-x1,即e-2