2025年上学期高一数学多题一解归纳题（二）

2025年上学期高一数学多题一解归纳题（二）一、函数单调性定义的多场景应用（一）代数证明类问题例题1：证明函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上是增函数。证明步骤：取值：设$1<x_1<x_2$，则$x_1-x_2<0$，$x_1x_2>1$；作差变形：$f(x_1)-f(x_2)=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})$；定号：因为$x_1-x_2<0$，$1-\frac{1}{x_1x_2}>0$（$x_1x_2>1$），所以$f(x_1)-f(x_2)<0$；结论：$f(x_1)<f(x_2)$，故函数在$(1,+\infty)$上单调递增。同类题迁移：证明$f(x)=x^2-2x$在$[1,+\infty)$上单调递增（提示：作差后配方得$(x_1-x_2)(x_1+x_2-2)$，利用$x_1+x_2>2$判断符号）。（二）分段函数单调性判断例题2：已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\leq2\ax+2,&x>2\end{cases}$在$R$上单调递减，求实数$a$的取值范围。解题关键：各段单调性：二次函数$x^2-4x+3$的对称轴为$x=2$，在$(-\infty,2]$上单调递减；一次函数$ax+2$需满足$a<0$以保证在$(2,+\infty)$上单调递减。衔接点处函数值关系：当$x=2$时，左段函数值$f(2)=2^2-4\times2+3=-1$，右段函数值需满足$2a+2\leq-1$，解得$a\leq-\frac{3}{2}$。结论：$a$的取值范围为$(-\infty,-\frac{3}{2}]$。同类题迁移：已知$f(x)=\begin{cases}mx+1,&x<1\(2-m)x+2,&x\geq1\end{cases}$在$R$上单调递增，求$m$的范围（答案：$1\leqm<2$）。二、单调性的应用：从函数性质到解题工具（一）利用单调性求最值例题3：求函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$在$[1,4]$上的最值。分析：由对勾函数性质知，$f(x)$在$(0,2]$单调递减，在$[2,+\infty)$单调递增；最小值：$f(2)=2+\frac{4}{2}=4$；最大值：比较端点值$f(1)=5$，$f(4)=5$，故最大值为$5$。方法提炼：确定单调区间；比较区间端点及极值点函数值（若有）。同类题：求$f(x)=|x-1|+|x+2|$在$[-3,3]$上的最值（提示：分段去绝对值后判断单调性，最小值在$[-2,1]$上恒为$3$）。（二）复合函数单调性判断例题4：求函数$y=\sqrt{-x^2+2x+3}$的单调递增区间。解题步骤：求定义域：由$-x^2+2x+3\geq0$解得$x\in[-1,3]$。分解复合函数：令$u=-x^2+2x+3$，则$y=\sqrt{u}$，外层函数$y=\sqrt{u}$在$[0,+\infty)$上单调递增。判断内层函数单调性：$u=-x^2+2x+3$的对称轴为$x=1$，在$[-1,1]$上单调递增，在$[1,3]$上单调递减。复合函数单调性：根据“同增异减”原则，$y=\sqrt{u}$的递增区间对应$u$的递增区间$[-1,1]$。同类题迁移：求$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x)$的单调递增区间（提示：定义域$(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$，内层函数$x^2-4x$在$(-\infty,0)$上递减，外层对数函数底数小于1，故复合函数在$(-\infty,0)$上递增）。三、单调性与不等式综合应用（一）利用单调性解抽象函数不等式例题5：已知$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的增函数，且$f(2a-1)<f(1-a)$，求$a$的取值范围。解题步骤：定义域限制：$\begin{cases}-1<2a-1<1\-1<1-a<1\end{cases}$，解得$0<a<1$。单调性转化：因为$f(x)$单调递增，所以$2a-1<1-a$，解得$a<\frac{2}{3}$。综合结论：$a$的取值范围为$(0,\frac{2}{3})$。同类题迁移：已知$f(x)$是$R$上的偶函数且在$[0,+\infty)$上递增，解不等式$f(x-1)>f(2x)$（提示：利用偶函数性质转化为$f(|x-1|)>f(|2x|)$，再由单调性得$|x-1|>|2x|$，平方后解得$-1<x<\frac{1}{3}$）。（二）二次函数在闭区间上的最值例题6：求$f(x)=x^2-2ax+1$在$[0,2]$上的最小值。分类讨论依据：对称轴$x=a$与区间$[0,2]$的位置关系。当$a\leq0$时：函数在$[0,2]$上单调递增，$f_{\min}=f(0)=1$；当$0<a<2$时：函数在$x=a$处取最小值，$f_{\min}=f(a)=1-a^2$；当$a\geq2$时：函数在$[0,2]$上单调递减，$f_{\min}=f(2)=5-4a$。方法总结：开口向上的二次函数，离对称轴越远函数值越大；含参数时需按对称轴位置分“轴在区间左、中、右”三类讨论。四、多题一解核心方法提炼定义法四步流程：取值→作差→变形（因式分解/配方/有理化）→定号→结论，适用于证明单调性及比较大小。数形结合策略：一次函数、二次函数等基本函数直接用图像判断单调性；分段函数需保证各段单调性一致且衔接点处满足增减趋势。复合函数“同增异减”法则：分解为内层函数$u=g(x)$与外层函数$y=f(u)$，分别判断单调性后组合。参数问题处理技巧：单调性含参时，需保证“任意$x_1<x_2$都有$f(x_1)<f(x_2)$（或反之）”，常转化为恒成立问题；二次函数最值含参时，按对称轴与区间位置分类讨论。典型错误警示：证明单调性时忽略“任意取值”，仅用特殊值验证；复合函数求单调区间时忽略定义域（如例4中需先解$-x^2+2x+3\geq0$）；分段函数单调性忘记验证衔接点处函数值大小关系。五、强化训练题组基础巩固：证明$f(x)=\frac{2x}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上单调递增（提示：作差变形为$\frac{2(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}$）。能力提升：已知$f(x)=x^3+ax$在$R$上单调递增，求$a$的取值范围（提示：任取$x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a)<0$恒成立，需$x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a\geq0$，由$x_1^2+x_1x_2+x_2^2\geq0$得$a\geq0$）。综合应用：定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$满足$f(x+2)=f(x)+1$，且当$x\in[0,2)$时，$f(x)=x^2$，求$f(x)$在$[2,4]$上的解析式并