完全平方公式第2课时课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十六章

整式的乘法完全平方公式第2课时数学人教版八年级上册1.类比去括号法则，理解并掌握添括号法则；2.能灵活运用添括号法则对式子进行变形，并能灵活运用乘法公式进行计算；3.通过添括号法则的探究，培养学生类比归纳的数学思想；4.经历添括号法则的推导过程，体会数学逻辑思维的缜密性，锻炼学生的表达能力.(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.平方差公式完全平方公式活动一：探究添括号法则(a-b-c)2＝？可以利用完全平方公式计算吗？如果可以，怎样计算？分析：把括号里的三项变为两项，就可以用完全平方公式计算了．三项两项把其中两项作为一项需要添括号怎样添括号呢？一起来探究吧！活动一：探究添括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.你还记得去括号法则吗？试着去掉下面式子中的括号.a+(b+c)=a–(b+c)=a+b+ca–b–c活动一：探究添括号法则将等号左右两边对换，等式仍然成立.a+b+c=a+(b+c)a

b

c=a

(b+c)添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-

(b+c).添括号法则12添括号正确与否，可用去括号法则进行检验.注意由此，你能推导出用字母表示添括号法则的方法吗？活动一：探究添括号法则(a-b-c)2＝？可以利用完全平方公式计算吗？如果可以，怎样计算？方法一：(a-b-c)2

＝[(a-b)-c]2

＝(a-b)2-2c(a-b)+c2

＝a2-2ab+b2-2ac+2bc+c2＝a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc分析：用添括号法则把原式变形为[(a-b)-c]2或[a-(b+c)]2，先把(a-b)或(b+c)作为一个整体，看作完全平方公式中的一项，再把c或a看作完全平方公式中的另一项，然后应用完全平方公式进行计算即可．方法二：(a-b-c)2

＝[a-(b+c)]2

＝a2-2a(b+c)+(b+c)2

＝a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2＝a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc活动一：探究添括号法则练一练：在括号里填上适当的项：（1）a+2b–c=a+(________)；（2）a–b–c+d=a–(

)；（3）(a+b–c)(a–b+c)=[a+(_______)][a–(______)].2b–c

b+c–db–cb–c

添括号，看符号：正号在前直接抄；负号在前变号抄；验证对错去括号.总结括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号.括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.活动一：探究添括号法则下列式子是否能用乘法公式计算？(1)(m+n+1)(m+n

1)(2)(

m+n

1)(m+n

1)[(m+n)+1][(m+n)

1][(n

1)

m][(n

1)+m]=(m+n)2

12=(n

1)2

m2能能

可通过添括号变形成乘法公式的形式，将其中某一部分看作一项.总结例1

运用乘法公式计算：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)；（2）(a＋b＋c)2．教材例题分析：（1）运用添括号法则把原式变形为[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]，把x看作平方差公式中的a，把(2y－3)作为一个整体，看作平方差公式中的b，先应用平方差公式，再应用完全平方公式进行计算即可．解：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)

＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]将2y

3看作整体平方差公式完全平方公式＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9．

有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.总结例1

运用乘法公式计算：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)；（2）(a＋b＋c)2．教材例题分析：（2）运用添括号法则把原式变形为[(a＋b)＋c]2，先把(a＋b)作为一个整体，看作完全平方公式中的第一项，再把c看作完全平方公式中的第二项，然后应用完全平方公式进行计算即可．解：（2）(a＋b＋c)2

＝[(a＋b)＋c]2

＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2

＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2

＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac．将a+b看作整体(1)选用平方差公式进行计算时，需要将相同项看成一个整体，相反项看成一个整体.(2)选用完全平方公式进行计算时，需要将多项式分为两组.总结(a+b+c)2

=[a+(b+c)]2

=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

(a+b+c)2

=[b+(a+c)]2

=b2+2b(a+c)+(a+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

(a+b+c)2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

完全平方公式的推广：例1

运用乘法公式计算：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)；（2）(a＋b＋c)2．还有其他解题方法吗？教材例题经典例题例2

若a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为_____．3经典例题例3

计算：(x－2y+3)(x+2y－3)－(3+x－2y)(2y－x－3)分析：将(x－2y+3)(x+2y－3)变形为[x－(2y－3)][x+(2y－3)]，可由平方差公式进行计算；再将(3+x－2y)(2y－x－3)变形为(x－2y+3)[－(x－2y+3)]，可由完全平方公式进行计算，由此可得.解：(x－2y+3)(x+2y－3)－(3+x－2y)(2y－x－3)=[x－(2y－3)][x+(2y－3)]－(x－2y+3)[－(x－2y+3)]=[x－(2y－3)][x+(2y－3)]+(x－2y+3)2=x2－(2y－3)2+[x－(2y－3)]2=x2－(2y－3)2+x2－2x(2y－3)+(2y－3)2=x2+x2－4xy+6x=2x2+6x－4xy.教材练习1.在等号右边的括号内填上适当的项.(1)a+b-c=a+()；

(2)a-b+c=a-()(3)a+b-c=a-()；(4)a+b+c=a-()b-cb-c-b+c-b-c2.运用乘法公式计算：(1)(x+y-1)(x-y-1)；(2)(2x+y+z)(2x-y-z).解：(1)(x+y-1)(x-y-1)

＝[(x-1)+y][(x-1)-y]

＝(x-1)2-y2

＝x2-2x+1-y2

(2)(2x+y+z)(2x-y-z)

＝[2x+(y+z)][2x-(y+z)]＝(2x)2-(y+z)2＝4x2-y2-2yz-z2

教材练习3.运用乘法公式计算：(1)(a+2b-1)2；(2)(2x-y+1)2解：(1)(a+2b-1)2

=[(a+2b)-1]2

=(a+2b)2-2(a+2b)+1=a2+4ab+4b2-2a-4b+1=a2+4b2+4ab-2a-4b+1(2)(2x-y+1)2

=[(2x-y)+1]2

=(2x-y)2+2(2x-y)+1=4x2-4xy+y2+4x-2y+1=4x2+y2-4xy+4x-2y+1

限时训练B+--m2-4m+51.将多项式3m3+m2+4m-5添括号正确的是（）A.3m3+m2+(4m+5)B.3m3+(m2+4m-5)C.3m3+m2-(-4m-5)D.3m3-(m2+4m-5)限时训练2.为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，以下变形正确的是（）A.[x-(2y+1)]2B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)]C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]D.[x+(2y-1)]2B3.灵活运用乘法公式计算：已知(m+n+1)(m+n

1)=63，则