福建省宁德市第三教研共同体2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷（含答案）

2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题一、单选题1．直线经过两点，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．3．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（

）A．B．且C．且D．且4．在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（

）A． B．1015 C．2029 D．20305．已知随机事件满足，则（

）A． B． C． D．6．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（

）A．B．C．或D．或7．意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子从它出生的第三个月开始，每月又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：.这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中.若从该数列的前2025项中按照奇数和偶数这两种类型用分层随机抽样的方法抽取6项，再从这6项中抽出2项，则这两个数的和为奇数的概率为（

）A． B． C． D．8．记为等比数列的前项和，若，则（

）A．85 B．15 C． D．二、多选题9．下列说法中，正确的有（

）A．直线必过定点B．点到直线的距离为7C．直线的倾斜角为D．直线的一个方向向量为10．柜子里有3双手套，3双手套的颜色分别为红色､黄色､蓝色，如果从中随机地取出2只，设事件“取出的手套颜色不相同”，事件“取出的手套都是左手的”，事件“取出的手套是同侧手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是同一双手套”，则下列关系正确的有（

）A．事件与事件相互独立B．事件与事件互斥C．D．11．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则且C．若存在正整数，使，则D．数列的前项和三、填空题12．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为.

13．已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为，的最小值为.（用数字作答）14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为.四、解答题15．已知等差数列的公差不为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求.16．甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.(1)求甲恰好比赛2局后获胜的概率；(2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率；(3)求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答）17．已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列.(1)求的值；(2)求的通项公式；(3)若数列满足，且，求数列的前项和.18．已知点分别是两射线和上的点，点.(1)若点是线段的中点，求线段的长.(2)设点在直线上，为坐标原点.①若直线垂直于轴，求的面积；②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程.19．数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数.(1)求的值.(2)已知数列满足.①求的前项和；②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

题号12345678910答案BDBAACCDACBCD题号11答案ABC12．13．14．15（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，化简得，又，所以，解得或，因为，所以，所以.（2）因为是等差数列，则构成以为首项，公差为的等差数列，又由（1）知，则，所以.16．（1）记“甲在第局获胜”为事件，记“甲恰好比赛2局后获胜”为事件，，即甲恰好比赛2局后获胜的概率为.（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，，，，，，.故甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.（3）记“甲比赛5局后赢得比赛”为事件，“甲赢得比赛”为事件，，，.故甲赢得比赛的概率为.17．（1）由题意可得，即，所以，解得.（2）由是首项为3，公差为1的等差数列，得，则.当时，；当时，，因为满足上式，所以的通项公式为.（3）因为，且，所以当时，.当时，也符合上式，所以，所以.18．（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，，此时的中点坐标为，与点不符，不合题意.可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或，此时直线的方程为，由可得，由可得，因为的中点为，所以解得，则，则；方法二：设，由是线段的中点可得所以，所以，则.（2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论，可得.②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或，则直线的方程为，由（1）可得..设，则且，令，则且，即且，可得且不等于，因为，所以当，即时，取得最小值6，此时直线的方程为.方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论，可得.②设，由三点共线可得，即，整理得，即，所以，当且仅当时取到等号.，即时，取得最小值6，此时直线的方程为.19．（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以，因为不超过正整数10且与10互素的正