开大微积分考试题及答案

开大微积分考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.当\(x\to0\)时，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小3.函数\(y=x^3\)在点\(x=1\)处的导数是（）A.1B.2C.3D.44.曲线\(y=x^2+1\)在点\((1,2)\)处的切线方程是（）A.\(y=2x\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=x+1\)D.\(y=x-1\)5.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，则\(\intf(x)dx=（）\)A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)6.\(\intx^2dx=（）\)A.\(\frac{1}{2}x^3+C\)B.\(\frac{1}{3}x^3+C\)C.\(x^3+C\)D.\(2x^3+C\)7.函数\(y=\sinx\)的一个原函数是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)8.定积分\(\int_{0}^{1}xdx=（）\)A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.09.二元函数\(z=x^2+y^2\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=（）\)A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)10.函数\(y=e^x\)的导数是（）A.\(e^x\)B.\(-e^x\)C.\(xe^x\)D.\(\frac{e^x}{x}\)答案：1.B2.A3.C4.A5.B6.B7.B8.A9.A10.A二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导的充分必要条件是（）A.函数在该点连续B.左导数等于右导数C.极限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函数在该点有定义4.下列函数中，其导数为\(\cosx\)的有（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)5.下列积分计算正确的有（）A.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)6.关于定积分性质，正确的有（）A.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）B.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)7.二元函数\(z=f(x,y)\)的偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)（）A.是对\(x\)，\(y\)分别求导B.计算时把另一变量看成常数C.反映了函数沿\(x\)，\(y\)方向的变化率D.与求导顺序有关8.下列函数中，是基本初等函数的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=2^x\)9.函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上满足罗尔定理的条件有（）A.在\([a,b]\)上连续B.在\((a,b)\)内可导C.\(f(a)=f(b)\)D.函数在\((a,b)\)内有唯一驻点10.下列说法正确的是（）A.可导函数一定连续B.连续函数一定可导C.可微函数一定可导D.可导函数一定可微答案：1.AB2.AB3.BC4.A5.ABCD6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABC10.ACD三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定义域是\(x\geq1\)且\(x\neq2\)。（）2.无穷小量与无穷大量互为倒数。（）3.函数\(y=x^2\)在\(x=0\)处的导数为\(0\)。（）4.若\(f^\prime(x_0)=0\)，则\(x_0\)一定是函数\(y=f(x)\)的极值点。（）5.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）6.函数\(z=x+y\)的全微分\(dz=dx+dy\)。（）7.两个奇函数的和是奇函数。（）8.极限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）9.函数\(y=\lnx\)在定义域内是单调递增的。（）10.定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关。（）答案：1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=x^3-3x^2+5\)的导数。答案：根据求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，对\(y=x^3-3x^2+5\)求导得\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.计算定积分\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)。答案：由积分公式\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，则\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2\)。3.求函数\(z=x^2y\)关于\(x\)和\(y\)的偏导数。答案：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)时把\(y\)看成常数，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)；求\(\frac{\partialz}{\partialy}\)时把\(x\)看成常数，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2\)。4.简述函数在某点连续的定义。答案：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就称函数\(f(x)\)在点\(x_0\)连续。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)的单调性和凹凸性。答案：\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\lt0\)，在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递减；\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}\)，\(x\lt0\)时\(y^{\prime\prime}\lt0\)为凸，\(x\gt0\)时\(y^{\prime\prime}\gt0\)为凹。2.谈谈定积分在实际生活中的应用。答案：定积分可用于计算平面图形面积，如计算不规则区域面积；还能求变速直线运动路程，将路程分割用定积分计算；在物理中计算变力做功等。3.探讨多元函数偏导数与全微分的关系。答案：函