2026年高考数学复习讲义（新高考）第八章 第2节 两条直线的位置关系（解析版）

第八章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点知识点1两条直线的位置关系★★★☆☆知识点2两条直线的交点★★★☆☆知识点3三种距离公式★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】知识点1两条直线的位置关系★★★☆☆平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．1．两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2．两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.知识点2两条直线的交点★★★☆☆对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交．直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．相交⇔方程组有唯一解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.知识点3三种距离公式★★★☆☆1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).特别的，点P(x0，y0)到直线l1：x＝a的距离为|x0－a|；到直线l2：y＝b的距离为|y0－b|.3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【名师点拨】1．与对称问题相关的常用结论(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．2．谨防四个易错点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【随堂训练】题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．()(2)若直线l：mx＋ny＋3＝0平分圆C：x2－2x＋y2－1＝0，则2m－3n＝6.()(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√题组二走进教材2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【答案】A3．(选择性必修1P77T3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1【答案】C【解析】由题意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2).4．(选择性必修1P79T2)过两直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为____________.【答案】2x＋3y－2＝0【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋10＝0，,3x＋4y－2＝0，))得交点坐标为(－2,2)，又直线的斜率k＝－eq\f(2,3)，故所求直线的方程为y－2＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.题组三走向高考5．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为()A．eq\f(9,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(6,5) D．eq\f(4,5)【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝0，即3x±4y＝0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x＋4y＝0的距离：d＝eq\f(|9＋0|,\r(9＋16))＝eq\f(9,5).故选A．【考向核心题型】考向一两条直线平行、垂直的关系——自主练透1．(2024·福建三明一中月考)已知直线l1：(k－2)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－2)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1 B．2或5C．5 D．1或2【答案】B【解析】由两直线平行可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2k－2＝4－k·2k－2，,34－k≠－2，))解得k＝2或5.故选B.2．(2025·安徽皖南名校联盟联考)已知直线l1：a2x＋y＋1＝0与直线l2：x－3ay＋7＝0，则“a＝3”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若l1⊥l2，则a2－3a＝0，解得a＝0或a＝3，所以“a＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A．【名师点拨】1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.【变式训练】1．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当l1∥l2时，eq\f(a,1)＝eq\f(4,a)≠eq\f(－1,2)，则a＝±2，所以“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A．2．(2025·吉林名校联盟联考)已知直线l垂直于直线x－eq\r(3)y－1＝0，且过点P(eq\r(3)，2)，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________.【答案】eq\f(2π,3)eq\f(5\r(3),3)【解析】由题意知kl＝－eq\r(3)，所以直线l的倾斜角为eq\f(2π,3).又直线l过点P(eq\r(3)，2)，所以直线l的方程为y－2＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－5＝0.令y＝0得出x＝eq\f(5\r(3),3)，故直线l在x轴上的截距为eq\f(5\r(3),3).考向二距离问题——师生共研1．(2024·高考北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为()A．2eq\r(3) B．2C．3eq\r(2) D．eq\r(6)【答案】C【解析】由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为eq\f(|1＋3＋2|,\r(12＋12))＝3eq\r(2)，故选C．2．(2024·河南豫南名校质检、河北金科联考)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为()A．eq\r(2) B．1C．eq\f(\r(2),2) D．2【答案】C【解析】依题意，2a＝a2＋1，解得a＝1，所以两直线分别为x＋y－2＝0，x＋y－1＝0，所以两直线之间的距离为eq\f(|－2＋1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选C．3．(多选题)(2024·河南部分学校联考)已知点A(1,3)，B(－5,1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是()A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0【答案】ABD【解析】解法一：设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则|A＋3B＋C|＝|－5A＋B＋C|，即3A＋B＝0①或2A－2B－C＝0②，检验知A满足①，B、D满足②.故选ABD.解法二：由题意可知l过A、B的中点或l∥AB，即l过点(－2,2)或kl＝eq\f(1,3)，检验知选ABD.【名师点拨】距离的求法1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行直线间的距离(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．【变式训练】1．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【答案】B【解析】解法一：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)距离最大，即为|AP|＝eq\r(2)，故选B.解法二：因为点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离d＝eq\f(|1＋k|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))；∵要求距离的最大值，故需k>0；可得d＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))≤eq\r(2)(当且仅当k＝1时取等号)，故选B.2．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则c的值是________.【答案】2或－6【解析】6x＋ay＋c＝0⇒3x＋eq\f(a,2)y＋eq\f(c,2)＝0，由题意知eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－－1)),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.考向三对称问题——多维探究角度1线关于点的对称1.(2025·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为()A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0【答案】D【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得y－1＝－a(x＋3)，所以M(－3,1)，(M不在直线2x＋3y－6＝0上)解法一：设点N(x，y)为所求方程直线上一点，则点(－6－x,2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，∴2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选D.解法二：设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.解法三：在直线2x＋3y－6＝0上取点A(0,2)、B(3,0)，则A、B关于M的对称点分别为A′(－6,0)，B′(－9,2)，又kA′B′＝eq\f(2－0,－9－－6)＝－eq\f(2,3)，故所求直线方程为y＝－eq\f(2,3)(x＋6)，即2x＋3y＋12＝0.故选D.角度2点关于线的对称2.(2024·山东济南中学月考)一入射光线经过点M(2,6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3,4)，则反射光线所在直线方程为()A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0【答案】D【解析】设点M(2,6)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－6,a－2)＝－1，,\f(a＋2,2)－\f(b＋6,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))∴M′(3,5)，∴kM′N＝eq\f(5－4,3－－3)＝eq\f(1,6).∴所求直线方程为y－4＝eq\f(1,6)(x＋3)，即x－6y＋27＝0.故选D.【变式训练】本例中入射光线所在直线的方程为____________.【答案】6x－y－6＝0【解析】N(－3,4)关于直线l的对称点N′(1,0)，又k＝eq\f(6－0,2－1)＝6，∴所求直线方程为y＝6(x－1)，即6x－y－6＝0.角度3线关于线的对称3.(2025·合肥模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0【答案】B【解析】解法一：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)－\f(y－2,2)－1＝0，,\f(y＋2,x)×1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.解法二：在l1上取两点A(0，－2)，B(1,0)，则A、B关于l的对称点分别为A′(－1，－1)，B′(1,0)，∴kA′B′＝eq\f(0－－1,1－－1)＝eq\f(1,2).∴l2的方程为y－0＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.故选B.解法三：设P(x，y)是直线l2上任一点，则P关于直线l的对称点为P′(y＋1，x－1)，又P′∈l1，∴2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即直线l2的方程为x－2y－1＝0.故选B.【名师点拨】对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：1．中心对称：转化为中点问题处理(1)点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．有两种解法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称：转化为垂直平分线问题处理(1)点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．分两种情况：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．【变式训练】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)(角度1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【解析】(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)在l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考向四直线的交点、直线系方程——师生共研1．若直线l：y＝k(x＋eq\r(3))与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限，则直线l倾斜角的取值范围是________________.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))【解析】解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(3)，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3)\r(3)－k,1＋k)，,y＝\f(3＋\r(3)k,1＋k)，))由题意知x<0，y>0，∴k>eq\r(3)或k<－1，∴倾斜角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).解法二：[数形结合]显然直线l过定点P(－eq\r(3)，0)，由图可知∠MPO＝eq\f(π,3)，∠MHO＝eq\f(π,4)，故所求倾斜角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).2．(2024·四川凉山期末)经过两条直线l1：2x－3y＋10＝0和l2：3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线l：2x－y－1＝0的直线方程()A．x－2y－6＝0 B．x＋2y－2＝0C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－2＝0【答案】B【解析】解法一：由题知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋10＝0，,3x＋4y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))交点(－2,2)．又k＝2，所求直线斜率为－eq\f(1,2).所求直线为：y－2＝－eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y－2＝0.故选B.解法二：设所求直线方程为2x－3y＋10＋λ(3x＋4y－2)＝0，即(3λ＋2)x＋(4λ－3)y＋10－2λ＝0，由题意知2(3λ＋2)－(4λ－3)＝0，解得λ＝eq\f(－7,2)，故所求直线方程为x＋2y－2＝0，故选B.【名师点拨】直线系方程的常见类型1．过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；2．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；3．垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．【变式训练】设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为____________.【答案】x－y－4＝0或x＋y－24＝0【解析】解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋2＝0，,3x－4y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14，,y＝10，))所以两条直线的交点坐标为(14,10)，由题意可得直线l的斜率为1或－1，所以直线l的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.解法二：设直线l的方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得eq\f(2＋3λ,3＋4λ)＝±1，解得λ＝－1或λ＝－eq\f(5,7)，所以直线l的方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.【知识拓展】与距离有关的最值问题1．(2025·江苏南通如皋调研)直线l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0与直线l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．4 B．8C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)【答案】A【解析】直线l1：x＋y－2＋m(y－2)＝0过定点A(0,2)，直线l2：x－y－2＋m(x－2)＝0过定点B(2,0)，且由1×(m＋1)＋(m＋1)×(－1)＝0知l1⊥l2，即PA⊥PB，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝8，|PA|＋|PB|≤eq\r(2|PA|2＋|PB|2)＝4，当|PA|＝|PB|时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为4.故选A．2．(多选题)(2024·江西梧州一中月考)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则()A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0B．将军在河边饮马的地点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，\f(11,8)))C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0D．“将军饮马”走过的总路程为5eq\r(2)【答案】BD【解析】由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示：则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋6,2)＋\f(b＋2,2)－3＝0，,\f(b－2,a－6)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，))即B′(1，－3)．将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′，又A(2,4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误；设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x－y－10＝0与x＋y－3＝0的交点，联立两直线方程解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，\f(11,8)))，故B正确；将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又B(6，2)，所以直线BM的方程为x－7y＋8＝0，故C错误；总路程|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MB′|＝|AB′|＝eq\r(2－12＋4＋32)＝5eq\r(2)，所以“将军饮马”的总路程为5eq\r(2)，故D正确．故选BD.3．(2025·山东济宁期中)已知a，b，c，d为四个实数，且a－b＝－2，c－d＝0，a＋b＝c＋d，则eq\r(a2＋b－42)＋eq\r(c2＋d－52)的最小值为()A．eq\r(41)－eq\r(2) B．eq\f(7\r(2),2)C．eq\f(11\r(2),2) D．5【答案】D【解析】设a＋b＝c＋d＝k，则a＝eq\f(k－2,2)，b＝eq\f(k＋2,2)，c＝d＝eq\f(k,2)，所以eq\r(a2＋b－42)＋eq\r(c2＋d－52)＝eq\r(\f(1,2)[k－42＋4])＋eq\r(\f(1,2)[k－52＋25])＝eq\f(\r(2),2)(eq\r(k－42＋4)＋eq\r(k－52＋25))，而eq\r(k－42＋4)＋eq\r(k－52＋25)可看作x轴上动点P(k,0)与两定点M(4，－2)，N(5,5)的距离和，如图，由图可知当P运动到P1时，|PN|＋|PM|最小，最小值为|MN|＝eq\r(5－42＋5＋22)＝5eq\r(2)，所以eq\r(a2＋b－42)＋eq\r(c2＋d－52)的最小值为eq\f(\r(2),2)×5eq\r(2)＝5.故选D.【名师点拨】有关角平分线、直线上动点到两定点距离和的最小值(或差的最大值)问题，转化为对称问题解决．技巧：数形结合，利用距离的几何意义进行转化．【变式训练】(2024·江苏苏州三校阶段测试)已知两定点A(－3,5)、B(2,8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．5eq\r(13) B．eq\r(34)C．5eq\r(5) D．2eq\r(26)【答案】D【解析】如下图所示：由图形可知，点A、B在直线x－y＋1＝0的同侧，且直线x－y＋1＝0的斜率为1，设点B关于直线x－y＋1＝0的对称点为点B′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)－\f(b＋8,2)＋1＝0，,\f(b－8,a－2)＝－1，))解得a＝7，b＝3，即点B′(7,3)，由对称性可知|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|≥|AB′|＝eq\r(－3－72＋5－32)＝2eq\r(26)，故选D.【限时训练】（限时：60分钟）【基础必刷题】一、单选题1．(2025·重庆重点中学月考)已知直线l1过点A(2,5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为()A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0【答案】B【解析】直线l2的斜截式方程为y＝－2x＋4，则其斜率为－2，因为直线l1过点A(2,5)，且与直线l2平行，所以kl1＝－2，则直线l1的点斜式方程为y－5＝－2(x－2)，即为2x＋y－9＝0.故选B.2．(2023·安徽合肥)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是()A．－4 B．－2C．2 D．4【答案】B【解析】∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l1在x轴上的截距是－2，故选B.3．(2025·四川新高考教研联盟联考)已知直线l1：mx＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋(m－2)y＋m＝0，则“m＝5”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－2＝3m，,m≠3m－2，))即m＝5或m＝0，所以“m＝5”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A．4．(2024·甘肃酒泉实验中学期中)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为()A．2x＋3y－5＝0 B．2x＋y＋2＝0C．x＋2y－2＝0 D．x－y－7＝0【答案】A【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1))⇒x＝y＝1，即交点为(1,1)，又斜率k＝－eq\f(2,3)，∴所求直线方程为y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选A．5．(2025·吉林模拟预测)△ABC中，A(3,2)，B(1,1)，C(2,3)，则AB边上的高所在的直线方程是()A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0【答案】A【解析】设AB边上的高所在的直线为l，由已知可得，kAB＝eq\f(1－2,1－3)＝eq\f(1,2)，所以直线l的斜率kl＝－2.又l过C(2,3)，所以l的方程为y－3＝－2(x－2)，整理可得，2x＋y－7＝0.故选A．6．(2024·河南顶尖名校联盟期中)已知直线l过点(2,3)和(－2,1)，则原点到直线l的距离为()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(4\r(5),5) D．3【答案】C【解析】kl＝eq\f(3－1,2－－2)＝eq\f(1,2)，∴l：y－1＝eq\f(1,2)[x－(－2)]，即l：x－2y＋4＝0，∴d＝eq\f(4,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5).故选C．7．(2025·广东深圳外国语学校月考)已知直线2x＋y－3＝0与直线4x－my－3＝0平行，则它们之间的距离是()A．eq\f(3\r(5),5) B．eq\f(\r(5),10)C．eq\f(3\r(5),10) D．eq\f(\r(5),5)【答案】C【解析】∵直线2x＋y－3＝0与直线4x－my－3＝0，即2x－eq\f(m,2)y－eq\f(3,2)＝0平行，∴两平行线之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))))),\r(22＋1))＝eq\f(3\r(5),10).故选C．8．若直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则l的方程是()A．3x－2y－5＝0 B．2x－3y－5＝0C．2x＋3y＋1＝0 D．3x＋2y－1＝0【答案】C【解析】设P(a,1)，则由题意知Q(2－a，－3)，∴2－a＋3－7＝0，即a＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝eq\f(1－－1,－2－1)＝－eq\f(2,3)，∴l的方程为y＋1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y＋1＝0，故选C．9．(2025·山东学情质检)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(1,1)，若直线l：ax＋(a－3)y＋1＝0与△ABC的欧拉线垂直，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(3,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(3,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，－\f(3,5)))【答案】B【解析】由△ABC的顶点坐标，可知其重心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋1＋1,3)，\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))).注意到kAB＝0，直线BC斜率不存在，则△ABC为直角三角形，则其垂心为其直角顶点B(1,0)，则△ABC的欧拉线方程为eq\f(y－\f(1,3),0－\f(1,3))＝eq\f(x－\f(1,3),1－\f(1,3))⇒y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).因其与l：ax＋(a－3)y＋1＝0⇒y＝eq\f(－a,a－3)x－eq\f(1,a－3)垂直，则eq\f(－a,a－3)＝2⇒a＝2.则l：y＝2x＋1，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)，,y＝2x＋1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,5)，,y＝\f(3,5)，))即交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(3,5))).故选B.二、多选题10．(2024·江苏南通调研)已知直线l：x＋eq\r(3)y－2＝0，则()A．l的倾斜角为eq\f(π,6)B．l与两坐标轴围成的三角形面积为eq\f(2\r(3),3)C．原点O到l的距离为1D．原点O关于l的对称点为(1，eq\r(3))【答案】BCD【解析】因为直线l的斜率为－eq\f(\r(3),3)，所以其倾斜角为eq\f(5π,6)，故A错误；因为直线l与两坐标轴的交点分别为(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以l与两坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，故B正确；原点O到l的距离d＝eq\f(|0＋0－2|,\r(12＋\r(3)2))＝1，故C正确；设原点O关于l的对称点为(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3)，,\f(a,2)＋\f(\r(3)b,2)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以原点O关于l的对称点为(1，eq\r(3))，故D正确．故选BCD.11．(2025·辽宁东北师大附中测试)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为()A．1 B．eq\f(1,3)C．－2 D．－1【答案】BCD【解析】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为－eq\f(1,2)，所以直线l1，l2一定相交，交点坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＝1，,x＋2y＝5))的解，解得交点坐标为：(1,2)．当a＝0时，直线l3与横轴垂直，方程为：x＝3不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当a≠0时，直线l3的斜率为：eq\f(1,a).当直线l1与直线l3的斜率相等时，即eq\f(1,a)＝3⇒a＝eq\f(1,3)，此时这两直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)⇒a＝－2，此时这两直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；当直线l3过直线l1，l2交点(1,2)时，三条直线不能构成三角形，即有1－2a－3＝0⇒a＝－1，故选BCD.12．(2025·江西丰城中学月考)已知直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，下列说法正确的是()A．当a＝eq\f(2,5)时，l1⊥l2B．当a＝－2时，l1∥l2C．直线l1过定点(－3,0)，直线l2过定点(－1,1)D．当l1，l2平行时，两直线的距离为eq\f(5,13)eq\r(13)【答案】AD【解析】对于A，当a＝eq\f(2,5)时，那么直线l1为eq\f(2,5)x＋2y＋eq\f(6,5)＝0，直线l2为3x－eq\f(3,5)y＋7－eq\f(2,5)＝0，此时两直线的斜率分别为k1＝－eq\f(1,5)和k2＝5，所以有k1·k2＝－1，所以l1⊥l2，故A选项正确；对于B，当a＝－2时，那么直线l1为x－y＋3＝0，直线l2为x－y＋3＝0，此时两直线重合，故B选项错误；对于C，由直线l1：ax＋2y＋3a＝0，整理可得a(x＋3)＋2y＝0，故直线l1过定点(－3,0)，直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，整理可得a(y－1)＋3x－y＋7＝0，故直线l2过定点(－2,1)，故C选项错误；对于D，当l1，l2平行时，两直线的斜率相等，即－eq\f(a,2)＝－eq\f(3,a－1)，解得a＝3或a＝－2，当a＝－2时，两直线重合，舍去；当a＝3时，直线l1为3x＋2y＋9＝0，l2为3x＋2y＋4＝0，此时两直线的距离d＝eq\f(|9－4|,\r(32＋22))＝eq\f(5\r(13),13)，故D选项正确．故选AD.三、填空题13．(2024·山东学情质检)若A(3,4)，B(－6，－3)两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，则t＝________.【答案】－eq\f(5,3)或－eq\f(7,9)【解析】因为A(3,4)，B(－6，－3)两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，所以eq\f(|3t＋4－3|,\r(1＋t2))＝eq\f(|－6t－3－3|,\r(t2＋1))，得到|3t＋1|＝|6t＋6|，解得t＝－eq\f(5,3)或t＝－eq\f(7,9).14．(2025·江苏徐州开学考试)直线l过点(－2,2)且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为________.【答案】9【解析】直线l过点(－2,2)且与直线x＋2y＝0垂直，直线x＋2y＝0的斜率为－eq\f(1,2)，得直线l的斜率为2，故直线l的方程为y－2＝2(x＋2)，即y＝2x＋6，当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝－3，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,2)×6×3＝9.15．(2025·辽宁大连滨城高中联盟联考)已知点A(1，－2)，关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－1，－6)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________.【答案】－8【解析】因为点A(1，－2)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－1，－6)，可得kAB＝eq\f(－6－－2,－1－1)＝2，所以k·2＝－1，可得k＝－eq\f(1,2)，即y＝－eq\f(1,2)x＋b，设AB的中点为M(x0，y0)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1－1,2)＝0，,y0＝\f(－2－6,2)＝－4，))即M(0，－4)，将点M(0，－4)代入y＝－eq\f(1,2)x＋b，可得b＝－4，即y＝－eq\f(1,2)x－4，令y＝0，可得x＝－8，所以直线y＝kx＋b在x轴上的截距是－8.16．(2025·辽宁东北师大附中测试)已知直线l1：x＋y＋C＝0与直线l2：Ax＋By＋C＝0交于(1,1)，则原点到直线l2距离的最大值为________.【答案】eq\r(2)【解析】因为两直线交于(1,1)，则1＋1＋C＝0，即C＝－2，且A＋B＋C＝0，则A＋B＝2；由原点到直线l2的距离d＝eq\f(|C|,\r(A2＋B2))＝eq\f(2,\r(A2＋2－A2))＝eq\f(2,\r(2A2－2A＋2))，由A2－2A＋2＝(A－1)2＋1≥1,则d≤eq\r(2)，当且仅当A＝1时，d取最大值eq\r(2).【巩固必刷题】1．(2025·湖北襄阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsinA＋ay＋c＝0与直线bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行 B．垂直C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【解析】在△ABC中，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得eq\f(b,sinB)·eq\f(sinA,a)＝1.又直线xsinA＋ay＋c＝0的斜率k1＝－eq\f(sinA,a)，直线bx－ysinB＋sinC＝0的斜率k2＝eq\f(b,sinB)，所以k1·k2＝－eq\f(sinA,a)·eq\f(b,sinB)＝－1，所以这两条直线垂直．故选B.2．(2025·湖北黄石阶段练习)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2eq\r(5)，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为()A．x－2y－13＝0 B．x－2y＋2＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－6＝0【答案】A【解析】因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0，所以n＝－2×2＝－4，又两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2eq\r(5)，所以eq\f(|2m＋6|,\r(4＋16))＝2eq\r(5)，解得m＝7，即直线l1：x－2y＋7＝0，l2：x－2y－3＝0，设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x－2y＋c＝0，则eq\f(|－3－7|,\r(5))＝eq\f(|－3－c|,\r(5))，解得c＝－13，故所求直线方程为x－2y－13＝0，故选A．3．(2024·浙江浙