备战2026年高考数学考试易错题（新高考）模块03 三角函数与解三角形（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages1616页模块03三角函数与解三角形一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由正弦定理求得，即可求解.【详解】由可得：，所以，又，所以或，结合内角和定理，所以或，故选：C2．（2024·海南·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.【详解】因为，所以，即，所以，所以，得，解得或，因为，且，所以，所以，所以.故选：.3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由已知可得，可求得，利用二倍角的正余弦公式可得，代入求值即可.【详解】因为，所以，因为的终边过点，所以，解得，，当时，，当时，，综上所述：或.故选：C.4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（

）A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为【答案】D【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以，当时，，故A错误；当时，，故B错误；由，得，所以函数的，当k=1时，的一个对称中心为，故C错误；由，得，所以的对称轴为，当当时，的一条对称轴为，故D正确.故选：D.5．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．在区间上单调递增C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π【答案】C【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；因为，故是函数的一个周期，故D错误.故选：C6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（

）A．点第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为【答案】B【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，由题意，，，解得,，则.当时，，则，又，则.综上，，故D正确；令，则，若，得秒，故A正确；当秒时，米，故B不正确；当秒时，米，故C正确.故选：B.7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.【详解】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.故选：C8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解.【详解】，由正弦定理可得，即，则，又，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，则．设边上中线的长度为，则，所以边上中线长度的最大值为．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积.【详解】因为，所以，又，所以，又，所以，，所以，.故选：ACD10．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．在上有最小值 D．在上有两个极值点【答案】ABD【分析】根据对称可得，即可得，根据周期的计算公式求解A，代入即可求解B，根据整体法即可求解CD.【详解】，即，而，故．故，对于选项A：最小正周期，正确．对于选项B：时，为的对称中心，正确．对于选项C：时，，无最小值，错误．对于选项D：时，，结合的图象可知，有两个极值点，正确．故选：ABD11．（24-25高三上·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（

）A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00【答案】ABD【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组，即可判断B；求出19时水的深度，即可判断C；求出函数与的图象的交点，即可判断D.【详解】解：依题意，，，解得，显然函数的图象过点，即，又，因此，所以函数表达式为，，故A对；依题意，，整理得，即有，即,解得或，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为，故C错；该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，该船符合安全条例的最小水深为函数与的图象交于点，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则.【答案】【分析】根据两角差的正切公式得的值，再结合两个角的取值范围得到的取值，即可得到结果.【详解】依题意，，因为，，即，所以，又，所以，，所以.故答案为：.13．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为.【答案】【分析】设，，表达出，，利用三角恒等变换得到，求出最大值，得到答案.【详解】设，，则，故，则，则，则，因为，所以，故当，即时，取得最大值，最大值为.故答案为：14．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是.【答案】/【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，，从而有，构造函数，，利用导数，求出的单调区间，即可求解.【详解】由，则由正弦定理可得，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，则，所以，当时，，则在上递增；当时，，则在上递减；所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（24-25高三上·黑龙江·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，，求和的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）运用两角和的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角化简计算即可；（2）运用余弦定理和正弦定理计算即可.【详解】（1）因为，则，因为在中，，所以，则有，因为，所以，，故.（2）由（1）可知：，在中，因为，，由余弦定理可得：，则，由正弦定理可得：，即，所以.16．（24-25高三上·山东德州·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中．(1)求出的值和锐角的大小；(2)求的值；(3)记点的横坐标为，若，求的值．【答案】(1)，(2)1(3)【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解；（2）用诱导公式化简后可得；（3）已知条件代入得，由同角三角函数关系得，再由诱导公式化简后可得．【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，则，

所以，且为锐角，可得；（2）；（3）由（1）可知，根据三角函数定义可得：，因为，且，因此，所以．所以．17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．(1)求证：为等边三角形；(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据等差中项可得，再结合余弦定理分析证明；（2）设，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理运算求解.【详解】（1）因为，，成等差数列，则，又因为，由余弦定理可得，即，解得，所以为等边三角形.（2）设，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，即，由正弦定理可得.18．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示．(1)求函数y=fx(2)将函数y=fx的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，求函数在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果；（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域.【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，即，由，得，即，，而，则，所以函数的解析式是.（2）将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，即，因此在上的值域为.19．（24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.积化和差：，．和差化积：，．运用上面的公式解决下列问题：(1)证明：；