备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题09 圆锥曲线（解析版）

专题09圆锥曲线

目录

题型一：圆锥曲线方程

易错点01忽略圆锥曲线定义中的限制条件

易错点02忽略圆锥曲线焦点的位置

易错点03求离心率范围时忽略离心率本身范围

易错点04求轨迹方程时忽略变量的取值范围

题型二：直线与圆锥曲线的位置关系

易错点05直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错

易错点06混淆“焦点弦”和“非焦点弦”

易错点07恒成立意义不明导致定点问题错误

题型一：圆锥曲线方程

易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件

典例4（24-25高三上·陕西榆林·期中）已知F1、F2是平面内两个不同的定点，则“MF1MF2为定值”是“动

点M的轨迹是双曲线”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若MF1MF20，则MF1MF2，此时，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，

所以，“MF1MF2为定值”“动点M的轨迹是双曲线”；

若动点M的轨迹是双曲线，则MF1MF2为定值，

所以，“MF1MF2为定值”“动点M的轨迹是双曲线”.

因此，“MF1MF2为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.

故选：B.

【易错剖析】

在解题时容易双曲线中定义中这一限制条件而错选

MF1MF22a2cF1F2C.

【避错攻略】

1、椭圆的定义

(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定

点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．

(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．

【解读】在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的

轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这

一隐含的条件．

2、双曲线的定义

（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲

线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距．

(2)几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)．

【解读】(1)常数要小于两个定点的距离．

(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．

(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．

(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

3.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线

的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

【解读】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定

点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．

(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于

定直线l的一条直线．

易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如

椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差

的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.

1．（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（）

①动点P(x,y)满足x2(y2)2x2(y2)24，则P的轨迹是椭圆

②动点P(x,y)满足x2(y2)2x2(y2)25，则P的轨迹是双曲线

③动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F(1,0)的距离小1，则P的轨迹是抛物线

④动点P(x,y)满足(x2)x2y250，则P的轨迹是圆和一条直线（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①，x2(y2)2x2(y2)24表示点x,y与点0,2,0,2的距离和为4，

而0,2,0,2两点的距离为4，所以P点轨迹是0,2,0,2两点间的线段，①错误.

②，x2(y2)2x2(y2)25表示点x,y与点0,2,0,2的距离和为5，

而0,2,0,2两点的距离为4，53，所以P点的轨迹是椭圆，②错误.

③，动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F(1,0)的距离小1，

当点P(x,y)在y轴左侧或在y轴上时则动点P(x,y)满足到直线x1的距离和到F(1,0)的距离相等，则P

的轨迹是抛物线；

当点P(x,y)在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线y0x0，③不正确.

④，动点P(x,y)满足(x2)x2y250，

x2022

则22或xy5，

xy5

x2022

22表示的是直线x20在xy5圆外和圆上的部分；

xy5

x2y25表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.

所以正确的有0个.

故选：A

2．（2025高三·全国·专题练习）已知点A0,2,B0,2,C3,2，若动点Mx,y满足MAACMBBC，

则点M的轨迹方程为（）

x2x2

A．y21B．y21y1

33

y2y2

C．x21D．x21x1

33

【答案】B

【分析】根据MAACMBBC中AC,BC为定值，故先化简MAACMBBC再分析满足的距

离关系即可.

【详解】设，因为MAACMBBC，

��,�

故22，即

MA3MB322MAMB24.

故点的轨迹是以A0,2,B0,2为焦点的双曲线的下支，

��,�222

且a1,c2，故bca3.

x2

所以点M的轨迹方程为y21y1.

3

故选：B.

3．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方

程为.

【答案】y212x或y0(x0)

p

【分析】考虑x0和x0两种情况，x0时确定轨迹为抛物线，根据题意得到=3，得到答案.

2

【详解】动点M到定点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3，

当x0时，动点M到定点F(3,0)的距离等于到x=3的距离，轨迹为抛物线，

p

设抛物线方程为y22px，则=3，即p=6，所以y212x；

2

当x0时，y0满足条件.

综上所述：动点M的轨迹方程为：x0时，y212x；x0时，y0,x0.

故答案为：y212x或y0(x0)

2222

1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆C1:x3y81和C2:x3y1，若动圆P与圆C1内切，

同时与圆C2外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．1B．1C．1D．1

1672592516169

【答案】C

【分析】根据圆与圆的位置关系可知PC1PC210，结合椭圆的定义可得轨迹方程.

2222

【详解】由已知圆C1:x3y81和C2:x3y1，

可知C13,0，r19，C23,0，r21，且C1C26，

又动圆P与圆C1内切，同时与圆C2外切，

则PC1r1rP9rP，PC2r2rP1rP，

所以PC1PC210C1C2，

所以动点P到两个定点C13,0，C23,0的距离之和为定值，

即满足椭圆的定义，

所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，

且长轴长度2a10，焦距2c6，即a5，c3，

所以ba2c24，

x2y2

椭圆方程为1，

2516

故选：C

2．（2024·安徽池州·二模）已知圆O:x2y24和两点Am,0,Bm,0(m0),P为圆O所在平面内的动点，

记以PA为直径的圆为圆M，以PB为直径的圆为圆N，则下列说法一定正确的是（）

A．若圆M与圆O内切，则圆N与圆O内切

B．若圆M与圆O外切，则圆N与圆O外切

C．若m1，且圆M与圆O内切，则点P的轨迹为椭圆

D．若m3，且圆M与圆O外切，则点P的轨迹为双曲线

【答案】C

【分析】先证明当m2时，若PBPA4，则圆M与圆O内切，圆N与圆O外切；若PBPA4，则

圆M与圆O外切，圆N与圆O内切，从而A和B错误；然后当m1时，将条件变为PAPB4，从而根

据椭圆定义知点P的轨迹为椭圆，C正确；当m3时，将条件变为PBPA4，从而根据双曲线定义知点

P的轨迹为双曲线的左支，D错误.

11

【详解】我们分别记PA,PB的中点为M,N，显然O是AB的中点，故OMPB，ONPA.

22

当0m2时，A,B在圆O内，此时，圆M和圆N不可能与圆O外切，而圆M与圆O内切等价于

OM2PM，

11

即PB2PA，即PAPB4，同理，圆与圆O内切也等价于PAPB4；

22

当m2时，A,B在圆O外，故“圆M与圆O内切”和“圆M与圆O外切”分别等价于OMPM2和

OMPM2，

1111

即PBPA2和PBPA2，即PBPA4和PBPA4.

2222

所以，此时“圆M与圆O内切”和“圆M与圆O外切”分别等价于PBPA4和PBPA4，同理，“圆N与

圆O内切”和“圆N与圆O外切”分别等价于PBPA4和PBPA4.

下面考虑四个选项（我们没有考虑m2的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：

由于当m2时，若PBPA4，则圆M与圆O内切，圆N与圆O外切；

若PBPA4，则圆M与圆O外切，圆N与圆O内切.

这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；

若m1，则0m2，此时“圆M与圆O内切”和“圆N与圆O内切”都等价于PAPB4，

x2y2

而根据椭圆定义，PAPB4对应的轨迹即为1，C正确；

43

若m3，则m2，此时“圆M与圆O外切”等价于PBPA4，

x2y2

而根据双曲线定义，PBPA4对应的轨迹为1x0，

45

仅仅是双曲线的半支，D错误.

故选：C.

3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点A1,0，B1,0，动点Px,y满足PAPB1，则动点P的

轨迹是（）

A．椭圆B．直线C．线段D．不存在

【答案】D

【分析】根据PAPB与AB的关系判断点的轨迹.

【详解】由题设知PAPB1AB2，

则动点P的轨迹不存在．

故选：D

22

4．（24-25高三下·全国·课后作业）动点Mx,y满足方程5x1y23x4y12，则点M的轨迹

是（）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

【答案】D

【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.

3x4y12

【详解】由5(x1)2(y2)23x4y12得(x1)2(y2)2，

5

等式左边表示点x,y和点1,2的距离，

等式的右边表示点x,y到直线3x4y120的距离，

整个等式表示的意义是点x,y到点1,2的距离和到直线3x4y120的距离相等，

且点1,2不在直线3x4y120上，所以其轨迹为抛物线.

故选：D.

5．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0，B2,0，P是一个动

点，则（）

A．若PAPB6，则点P的轨迹为椭圆

B．若PAPB2，则点P的轨迹为双曲线

C．若PAPBPAPB，则点P的轨迹为直线

D．若PA2PB，则点P的轨迹为圆

【答案】AD

【分析】根据椭圆的定义判断A，根据双曲线的定义判断B，可得PAPB0，即可判断C，设Px,y，

由距离公式推出轨迹方程，即可判断D.

【详解】对于A：PAPB6AB，则点P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，故A正确；

对于B：PAPB2AB，则点P的轨迹是以A、B为焦点双曲线的右支，故B错误；

对于C：由PAPBPAPB，可得PAPB0，

则点P的轨迹是以AB为直径的圆，故C错误；

22

对于D：设Px,y，由PA2PB，则x2y22x2y2，

2

10264

即xy，所以点P的轨迹为圆，故D正确.

39

故选：AD.

6．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知平面内点A1,0，B1,0，点P为该平面内一动点，则（）

A．PAPB4，点P的轨迹为椭圆B．PAPB1，点P的轨迹为双曲线

PA

C．PAPB1，点P的轨迹为抛物线D．2，点P的轨迹为圆

PB

【答案】AD

【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与x轴的交点判断C；求得轨迹方程

判断D.

【详解】因为平面内点A1,0，B1,0，所以AB2，

又PAPB4|AB|，所以由椭圆的定义知点P的轨迹为椭圆，故A正确；

线段PA的长度与线段PB的长度的差为1AB2，则点P的轨迹应为双曲线靠近B点的一支，故B错误；

22

设点Px,y，由PAPB1得x1y2x1y21，

整理得x22x1y2x22x1y21，即x4y42x2y22x22y20，

当y0时，x42x20，得x0或x2，

故曲线与x轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误；

2

PAx1y2

由2，得2，

2

PBx1y2

整理得

2

2222225216

x2x1y4x2x1y3x10x3y30xy，

39

54

即轨迹是以,0为圆心，为半径的圆，故D正确.

33

故选：AD.

，

7．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F117,0、F217,0MF1MF22，

点M的轨迹为C，则C的方程为.

y2

【答案】x21x1

16

【分析】先由双曲线定义得C的轨迹和a,c的值，再求出b即可求出C的方程.

【详解】因为MF1MF22F1F2217，

所以轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，

x2y2

设轨迹C的方程为1a0,b0，

a2b2

则2a2，c17，可得a1，b17a24，

y2

所以轨迹C的方程为x21x1.

16

y2

故答案为：x21x1.

16

8．（24-25高三下·湖北荆州·开学考试）已知动点M(x,y)到定点F(1,0)与定直线x0的距离的差为1．则动

点M的轨迹方程为．

【答案】y24x(x0)，y0(x0)（注：y22|x|2x也算对）

【分析】根据题意将问题转化为几何语言，再转化为代数语言后再化简即可.

【详解】由题意，若x0时，问题等价于|MF||x1|，

则(x1)2y2(x1)2，化简得y24x(x0)，

若x0，y0也满足题意.

所以动点M的轨迹方程为y24x(x0)，y0(x0).

或者根据题意有|MF||x|1，则(x1)2y2|x|1，化简整理得：y22|x|2x.

所以动点M的轨迹方程为y22|x|2x.

故答案为：y24x(x0)，y0(x0)（注：y22|x|2x也算对）

易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置

典例（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的3倍，且过点3,1的椭圆的标准方程（）

x2y2

x2y21

A．1B．8282

182

9

x2y2

x2y21x2y2

C．1或8282D．1

18293

9

【答案】C

【分析】分析可知，a3b，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出b2的值，即

可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知，a3b，

x2y2

若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为1，

9b2b2

91

将点的坐标代入椭圆方程可得1，解得b22，

9b2b2

x2y2

此时，椭圆的标准方程为1；

182

y2x2

若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为1，

9b2b2

1982

将点的坐标代入椭圆方程可得1，解得b2，

9b2b29

y2x2

1

此时，椭圆的标准方程为8282.

9

y2x2

x2y21

综上所述，椭圆的标准方程为1或8282.

182

9

故选：C.

【易错剖析】

本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.

【避错攻略】

1.椭圆的标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上

标准方程＋＝＋＝＞＞

221(a>b>0)221(ab0)

����

2222

焦点�(－c�，0)与(c，0)�(0，�－c)与(0，c)

a，b，c的关系c2＝a2－b2

【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原

点，椭圆的对称轴为坐标轴．

两种椭圆＋＝，＋＝＞＞的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有＞＞，2＝2

(2)221221(ab0)ab0ab

����

2222

＋c2；不同点�是：�两种椭�圆的�位置不同，它们的焦点坐标也不同．

(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.

2.双曲线的标准方程

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上

图形

标准方程－＝，－＝，

221(a>0b>0)221(a>0b>0)

����

2222

����

焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)

a，b，c的关系c2＝a2＋b2

【解读】(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项

走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异

号．

(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2

－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．

3.抛物线的标准方程

图形标准方程焦点坐标准线方程

y2＝2px(p>0)F，x＝－

��

202

y2＝－2px(p>0)F，x＝

��

−202

x2＝2py(p>0)F，y＝－

��

022

x2＝－2py(p>0)F，y＝

��

0−22

【解读】(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．

(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．

(3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离．

(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴

的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．

易错提醒：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两

种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位

置，不确定要讨论，在定量，即求a,b,c或p的值．

1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线C的一条渐近线方程为y2x，实轴长为2，则双曲线C的标

准方程为（）

x2y2y2

A．1B．x21

4164

2222

xyyy22

C．1或x21D．x21或y4x1

41644

【答案】D

【分析】根据双曲线的焦点的不同位置和渐近线方程，列出a,b的关系式，求解即得.

x2y2

【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，其方程可设为：1(a0,b0)，

a2b2

by2

依题意，2，因2a2，故得a1,b2，双曲线方程为：x21；

a4

y2x2

当双曲线的焦点在y轴上时，其方程可设为：1(a0,b0)，

a2b2

2

2x

a1y122

依题意，2，因2a2，故得a1,b，双曲线方程为：1，即y4x1.

b2

4

故选：D.

x2y23n

2．（24-25高三上·四川雅安·诊断测试）已知椭圆1的离心率为，则（）

mn2m

111

A．2B．C．4或D．或2

442

【答案】C

【分析】由椭圆方程可知对mn和mn进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果.

【详解】根据椭圆方程可知m0,n0，

22

22abmnn3

当mn时，可得am,bn，所以离心率e1，

a2mm2

n1

解得=；

m4

22

22abnmm3

当mn时，可得an,bm，所以离心率e1，

a2nn2

m1n

解得，所以4；

n4m

n1

所以=或4.

m4

故选：C

3．（24-25高三上·陕西宝鸡·期末）顶点在原点，且过点(2,4)的抛物线的标准方程是.

【答案】x2y或y28x

【分析】设出抛物线的标准方程，点的坐标代入计算即可.

【详解】依题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)和x22py(p0)，

1

将(2,4)代入分别解得p4和p，

2

则抛物线的标准方程为y28x或x2y.

故答案为：x2y或y28x.

1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点P（－5，4），Q（0，6），

则椭圆的方程为（）

x2y2x2y2

A．1B．1

45363645

x2y2x2y2

C．1D．1

25363625

【答案】A

【详解】

解析：这里焦点位置不确定，可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，且A≠B）.把点P（－5，4），

Q（0，6）代入，得解得故椭圆的方程为＋＝1.

【考查意图】椭圆的标准方程，能用待定系数法求椭圆方程．

2．（24-25高二上·河北衡水·期末）过点2,2且与椭圆9x23y227有相同焦点的双曲线方程为（）

x2y2y2x2x2y2y2x2

A．1B．1C．1D．1

68682424

【答案】D

【分析】根据焦点坐标设出标准方程代入点2,2解方程组可得结果.

x2y2

【详解】由9x23y227，得1，

39

所以焦点在y轴上，且c936．

y2x2

设双曲线的方程为1a0,b0，

a2b2

44

1

所以a2b2，解得a22,b24，

22

ab6

y2x2

所以双曲线的方程为1．

24

故选：D．

x2y2

3．（23-24高三下·安徽·期末）已知双曲线C：1，则“m3”是“双曲线C的离心率为3”的（）

mm3

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据双曲线离心率为3，可得m6或m3，即可由充分不必要条件求解.

x2y22m3

【详解】C：1的离心率为3时，当焦点在x轴时，3，解得m3，

mm3m

2m3

当焦点在y轴时，3，解得m6，

m3

故“m3”是“双曲线C的离心率为3”的充分不必要条件，

故选：B

4．（24-25高三上·河南·阶段练习）顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M2,1的抛物线方程为（）

11

A．y2xB．y2xC．x24yD．x24y

44

【答案】C

【分析】根据题意，利用待定系数法求出抛物线方程，从而得解.

【详解】依题意，设抛物线方程为x2ay(a0)，

2

将M(2,1)代入得2a1，则a4，

所以所求抛物线方程为x24y.

故选：C.

x22

5．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知椭圆C:y21，则“m2”是“椭圆C的离心率为”的（）

m2

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据椭圆离心率定义，对参数m的取值进行分类讨论即可判断出结论.

x2c212

【详解】由m2可得椭圆C:y21，此时离心率为e，

2a22

此时充分性成立；

2c1m21

若椭圆C的离心率为，当0m1时，可得离心率为e，解得m，

2a122

即必要性不成立；

2

综上可知，“m2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件.

2

故选：B.

x2y2

6．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）与椭圆1有相等的焦距，且过圆x2y26x8y0的圆心

6338

的椭圆的标准方程为．

x2y2x2y2

【答案】1或1

45201540

【分析】根据圆的一般方程得出其圆心坐标，再根据椭圆的定义计算即可.

22

【详解】由题意可知x2y26x8y0x3y425，

即其圆心为3,4，

x2y2

因为椭圆1的焦距为2633810，

6338

所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为5,0或0,5，

2222

若焦点为5,0,5,0，则圆心3,4到两焦点的距离之和为5304530465，

x2y2

所以相应椭圆方程为1；

4520

2222

若焦点为0,5,0,5，则圆心3,4到两焦点的距离之和为03540354410，

x2y2

所以相应椭圆方程为1.

1540

x2y2x2y2

故答案为：1或1.

45201540

7．（23-24高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为.

①实轴长为4；②渐近线方程为y2x

x2y2y2

【答案】1或x21

4164

【分析】根据题意可求出a，然后在根据渐近线方程求出b，由于题目没有告诉双曲线的焦点在x轴上还是

y轴上，所以需要分类讨论.

b

【详解】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:2a4,2a2,b4，此时双曲线标准方程为

a

x2y2

1.

416

ay2

当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：2a4,2a2,b1，此时双曲线标准方程为x21.

b4

x2y2y2

故答案为：1或x21

4164

8．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线C经过点A3,3，写出C的一个标准方程：.

【答案】y23x（答案不唯一）

【分析】利用抛物线的标准方程计算即可.

【详解】依题意可得C的标准方程可设为y22px(p0)或x22py(p0)，

3

将点A的坐标代入得p，则C的标准方程为y23x或x23y.

2

故答案为：y23x（答案不唯一）.

9．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：

x2y2

(1)过点P3,2，且与椭圆1有相同的焦点．

94

14

(2)经过两点2,2，1,．

2

x2y2

【答案】(1)1

1510

x2y2

(2)1

84

【分析】（1）由共焦点求得c2，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解；

（2）通过待定系数法即可求解.

x2y2

【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c25．

94

x2y2

设所求椭圆的标准方程为1ab0．

a2b2

94

因为所求椭圆过点P3,2，所以有1①

a2b2

又a2b2c25，②

由①②解得a215,b210．

x2y2

故所求椭圆的标准方程为1．

1510

x2y214

（）设椭圆方程为，且2,2，1,在椭圆上，

2221

mn2

42

12

m2n2m8x2y2

所以，则椭圆方程1.

17n24

184

m22n2

易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围

x2y2

典例（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）设F1,F2分别为椭圆C:1ab0的左、右焦点，M在