备战2026年高考数学真题分类汇编（全国）专题06 平面向量和复数（解析版）

专题06平面向量和复数

1．（2024北京）如图，四边形ABCD是正方形，则ACAB（）

A．ABB．BCC．CDD．DA

【答案】B

【知识点】向量减法的法则

【分析】由三角形法则即可求解.

【详解】ACABBC.

故选：B

2．（2022河北）在VABC中，设ABa,ACb，若AD2DC,BEEC，则DE（）

1212

A．abB．ab

2323

1111

C．abD．ab

2626

【答案】D

【知识点】向量的线性运算的几何应用

【分析】由图结合向量加减法可得答案.

11111

【详解】由图，DEDCCE，又DCACb，CECB(ABAC)ab.

33222

1111

则DEbabab.

3226

故选：D

3．（2022河北）在VABC中，设AB=a，ACb，若BDDC，AE2ED，则BE（）

11112121

A．abB．abC．abD．ab

33333333

【答案】D

【知识点】向量减法的运算律、向量加法的运算律

【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可.

【详解】因为BEBDDE，BDDC，AE2ED，

11111

所以BEBDEDBCADACABACAB，

23232

因为AB=a，ACb，

1121

所以BE(ba)(ba)ab，故D正确.

2633

故选：D.

4．（2024云南）PMMN（）

A．0B．NPC．NMD．PN

【答案】D

【知识点】向量加法的法则

【分析】根据加法运算法则分析求解.

【详解】由题意可得：PMMNPN.

故选：D.

1

5．（2024天津）如图，在平行四边形ABCD中，ABa,ADb，点E满足ECAC，则DE（）．

3

21211212

A．abB．abC．abD．ab

33333333

【答案】A

【知识点】平面向量的混合运算、向量减法的法则

2

【分析】根据题意，得到AEAC，结合向量的运算法则，即可求解.

3

12

【详解】由题意知，点E满足ECAC，可得AEAC，

33

2221

则DEAEADACAD(ABAD)ADab.

3333

故选：A.

6．（2023吉林）在VABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，则BO（）

1111

A．BCBAB．BCBA

2242

1111

C．BCBAD．BCBA

4424

【答案】B

【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算

【分析】根据向量的加法、减法和数乘运算表示所求向量即可.

【详解】因为D为BC中点，O为AD中点，

1111111

所以BOBABDBABCBABC.

2222224

故选：B.

7．（2023北京）如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（）

A．ABADB．ACBDC．ABBCACD．ABADBD

【答案】C

【知识点】向量加法的法则、相等向量、平面向量的概念与表示

【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可.

【详解】因为四边形ABCD是菱形，

所以根据向量加法的平行四边形法则知，ABBCAC，

ABADACBD，故C对D错；

因为向量方向不同，所以ABAD，ACBD，故AB错误.

故选：C

rr

8．（2023北京）已知平面内的两个非零向量a，b满足a3b，则a与b（）

A．相等B．方向相同C．垂直D．方向相反

【答案】D

【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量数乘的有关计算

【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可.

rr

【详解】因为两个非零向量a，b满足a3b，

所以a,b为共线反向向量，且模不相等，

所以ABC错误，D正确.

故选：D

9．（2023辽宁）已知四边形ABCD为平行四边形，AC与BD相交于O，设ABa,ADb，则OB等于（）

1111

A．abB．ab

2222

1111

C．abD．ab

2222

【答案】B

【知识点】向量的线性运算的几何应用

【分析】根据向量的运算法则可得结果.

1111

【详解】OBDBABADab,

2222

故选：B.

10．（2023江苏）在VABC中，已知ABa,ACb,M为AB的中点，N为CM的中点，则BN为（）

1313

A．abB．ba

2424

3131

C．abD．ba

2222

【答案】B

【知识点】向量的线性运算的几何应用

【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.

111

【详解】BNBMBCBMBC

222

1111313

ABACABACABba.

2222424

故选：B

1．（2022河北）已知向量a,b满足abab2，则ab（）

A．2B．3C．2D．6

【答案】D

【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模

2

【分析】首先根据数量积的运算律求出2ab，再由abab及数量积的运算律计算可得.

22

22

【详解】因为abab2，所以ababa2abb2，

22

即22ab22，则2ab2，

222

22

所以ababa2abb2226.

故选：D

rr

2．（2024新疆）已知向量|a|1，|b|2，若ab，则|a+b|（）

A．5B．3

C．23D．5

【答案】A

【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的运算律

【分析】运用模长公式结合垂直结论可解.

22

【详解】|a+b||a+b|2a2abb,由于ab，则ab0，代入计算得，

|a+b||a|2|b|2145．

故选：A.

3．（2023广东）已知向量a，b满足ab1，|a|2,|b|3，则|ab|（）

A．13B．6C．11D．5

【答案】C

【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律

【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即得.

【详解】向量a，b满足ab1，|a|2,|b|3，

22222

所以|ab|(ab)ab2ab232111.

故选：C

4．（2023浙江）已知平面向量a、b满足|a|2|ab|,|b|3，则|3a2b||a2b|的最大值是（）

A．410B．12C．82D．263

【答案】A

【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、已知模求数量积、已知数量积求模

2

3|a|361212

【分析】由题意可得ab，从而可得3a2ba2b3|a|218|a|，令

822

1212

m3,1,n|a|2,18|a|，利用mnmn即可求解.

22

a2ab2

23|a|36

【详解】由可得3a8ab360，即ab，

8

b3

2229212

|3a2b|9|a|12ab4|b||a|18，即|3a2b|3|a|2，

22

2221212

|a2b||a|4ab4|b|18|a|，即|a2b|18|a|，

22

1212

|3a2b||a2b|3|a|218|a|，

22

1212

令m3,1,n|a|2,18|a|，

22

22

则mnmn，即1212221212，

3|a|218|a|31|a|218|a|410

2222

2

1212164

当且仅当|a|2318|a|,即a时，等号成立，

225

所以|3a2b||a2b|的最大值是410.

故选：A

【点睛】思路点睛：

1212

求|3a2b||a2b|3|a|218|a|的最大值时，可利用mnmn来求解.

22

5．（2024湖北）已知ab1，且ab0，则ab.

【答案】2

【知识点】已知数量积求模

2

【分析】根据ab(ab)，结合条件求模长.

222

【详解】ab(ab)a2abb2.

故答案为：2.

6．（2024安徽）已知单位向量a与单位向量b的夹角为120，则a3b．

【答案】7

【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、零向量与单位向量、数量积的运算律

【分析】根据向量的数量积及模长转化法求出模长.

【详解】因为ab1,a,b的夹角为120°，

11

所以a·ba·bcos12011，

22

22

222

a3ba3ba9b6a·ba9b6ab·1937.

故答案为：7.

3

7．（2024浙江）已知向量e,e为互相垂直的两个单位向量，若向量a(1t)e3te，

12212

33

b(1t)e(1t)e(tR)，则当t时，|a|取到最小值；此时，

4122

|ae1||be2||e1e2|(,R)的最小值是．

【答案】/0.23

�

【知识点】向量�加法法则的几何应用、已知数量积求模、数量积的运算律

【分析】利用数量积的运算律求出|a|，借助二次函数求解即得；由|e1e2||e1e2|，结合向量的三

角不等式求解即得.

urururur

【详解】由向量为互相垂直的两个单位向量，得22，

e1,e2e1e21,e1e20

333

于是|a|[(1t)e2te]2(1t)24t25t22t1

21222

31431

5(t)2，当且仅当t时取等号，

25555

6339

此时aee,bee，而|ee|22|ee|，

515251521212

因此|ae1||be2||e1e2||ae1||be2||e1e2|

6339912

|()ee||e()e||ee||ee|3，

51525152125152

6339

3

当且仅当且，即时取等号，

5555,1

4

1

所以t时，|a|取到最小值，|ae||be||ee|的最小值为3.

51212

1

故答案为：；3

5

【点睛】关键点点睛：由数量积运算律化|e1e2|为|e1e2|，再利用向量的三角不等式是解决问题的

关键.

rr

8．（2023新疆）已知向量a与b的夹角为120，且|a|3，|b|2，则|ab|.

【答案】7

【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积

22

【分析】通过|ab|2a2abb，代入条件计算即可.

2221

【详解】由已知|ab|a2abb923247，

2

所以|ab|7.

故答案为：7.

rr

9．（2024广东）已知向量a2，b3，ab7，那么ab．

【答案】19

【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、向量的模、已知数量积求模、数量积的运算律

【分析】利用向量的数量积的定义、性质及运算律分析运算即可得解.

【详解】解：由题意，a2，b3，ab7，

222222

∴ababa2abba2abb222ab327，

解得：ab3，

222222

∴ababa2abba2abb22233219，

又∵ab0，

∴ab19.

故答案为：19．

π

10．（2023·浙江）已知向量a，b为单位向量，且夹角为，若向量c满足(c2a)(cb)2，则|c|的取值

3

范围是.

117117

【答案】,

22

【知识点】已知数量积求模

2

c1

【分析】由条件求出|2ab|，设向量c与向量(2ab)的夹角为，将(c2a)(cb)2，转化为cos，

7c

结合cos的范围解不等式即可得|c|的取值范围.

2π

【详解】由(c2a)(cb)2得c(2ab)c211cos2，

3

2

即c(2ab)c1，

222π

又|2ab|4a4abb4411cos17，

3

则|2ab|7，

设向量c与向量2ab的夹角为，

2

则c7ccos1，

2

因为c(2ab)c1，由已知等式可知c0，所以c0，

2

c1

所以cos，因为cos[1,1]，

7c

2

c1

所以11，

7c

117117

解得c,.

22

117117

故答案为：,

22

1．（2024湖南）如图，VABC是边长为2的等边三角形，则ABAC（）

A．4B．4C．2D．2

【答案】C

【知识点】用定义求向量的数量积

【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可.

【详解】因为VABC是边长为2的等边三角形，所以BAC60，

1

所以ABACABACcosBAC222.

2

故选：C

π

2．（2024云南）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A,b2,c1，则CAAB（）

3

A．3B．3C．1D．1

【答案】C

【知识点】用定义求向量的数量积、诱导公式二、三、四

【分析】利用三角函数诱导公式cos(A)cosA及定义法求向量数量积．

【详解】解：VABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A，b2，c1，

3

则CAABCAABcos(A)bccosA1，

故选：C．

3π

3．（2023江苏）在平行四边形ABCD中，AB2,AD2,BAD,E是线段CD的中点，则AEAC

4

（）

A．1B．4C．6D．7

【答案】A

【知识点】数量积的运算律

【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.

1

【详解】AEACADACABAD

2

1

ADABADABAD

2

1

2ADABABAD

2

122

AB2AD3ABAD

2

2

123π

222322cos1.

24

故选：A

4．（2023云南）已知a2,b3,a与b的夹角为，则ab（）

3

A．-3B．3C．33D．33

【答案】B

【知识点】用定义求向量的数量积

【分析】由数量积公式求解即可.

π1

【详解】ababcos233.

32

故选：B

AECD1

5．（2022江苏）如图，在边长为3的正VABC中，D，E分别在AC，AB上，且，则DEBC

EBDA2

（）

93192199

A．B．C．D．

2222

【答案】C

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用

2212

【分析】结合平面向量的线性运算得到DEBCACABACAB，进而根据平面向量的数量积的定

33

义即可求出结果.

AECD121

【详解】因为，所以DAAC,AEAB

EBDA233

DEBCDAAEBAAC

21

ACABABAC

33

2212

ACABACAB

33

又因为正VABC边长为3，所以ACAB3，BAC60，

2212

故DEBCACABcos60ACAB

33

121

333232

233

9

2

故选：C.

6．（2024福建）已知a1,b2，a与b的夹角为60，则ab

【答案】1

【知识点】用定义求向量的数量积

【分析】根据条件，利用数量积的定义，即可求解.

【详解】因为a1,b2，a与b的夹角为60，

所以ababcosa,b12cos601，

故答案为：1.

π

7．（2024浙江）向量a,b是两个单位向量，夹角为，则a(ab)．

3

1

【答案】/0.5

2

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模

【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

π1

【详解】由向量a,b是两个单位向量，夹角为，可得ab1,ab，

32

211

则a(ab)aab1.

22

1

故答案为：.

2

1

8．（2024广东）设D为VABC所在平面内一点，AC4，BCAC，CDAC，则DAAB.

4

【答案】20

【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示

【分析】通过转化的方法求得DAAB.

15

【详解】∵CD=AC，∴DAAC，

44

∵BCAC，则ACBC0，

5

因此，DAABAC(ACCB)

4

5255

ACACBC4220.

444

故答案为：20

9．（2023广东）已知向量a和b的夹角为90，a2，b3，则ab.

【答案】0

【知识点】用定义求向量的数量积

【分析】利用平面向量数量积的定义可求得ab的值.

【详解】由平面向量数量积的定义可得ababcos900.

故答案为：0.

1．（2023新疆）若|a|2，|b|1，且(ab)b，则a与b的夹角为（）

5111

A．πB．πC．πD．π

12346

【答案】B

【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示

【分析】设a与b的夹角,0,π，通过(ab)b0代入条件计算即可.

【详解】设a与b的夹角,0,π，

因为(ab)b

2

所以(ab)babb2cos10

1

解得cos，

2

1

所以π，

3

故选：B.

2．（2023河北）已知向量a，b满足a1，b2，aba，则a与b的夹角为（）

πππ2π

A．B．C．D．

6433

【答案】C

【知识点】向量夹角的计算

21

【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得aba0，即aab0，代入已知条件，求得cosa,b，

2

rrπ

所以ab，得解

3

2

【详解】因为aba0，所以aab0

22

所以aababcosaba

1

又a1，b2，cosa,b，a,b0,π,

2

π

所以a,b，

3

故选：C．

3．（2023广东）设a,b,c都是单位向量,且abc,则向量a,b的夹角等于（）

ππππ

A．B．C．D．

3642

【答案】A

【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算

【分析】根据等式将b移到另一端,两边同时平方,由a,b,c都是单位向量可求出a,b的夹角.

2221

【详解】解析:由abc,可知cab,故ca2abb,∴ab.

2

1π

设a,b的夹角为,即cos,又0π,∴.

23

故选::A

4．（2024安徽）已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为.

【答案】

3

【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算

【分析】根据垂直条件，得到数量积为0，结合a2b及夹角公式求解即可.

rrr

【详解】因为abb,

rrr

所以abgb0，

2

即a·b|b|0,

2

所以a·bcosa,b|b|0,

因为b0,a2b,

1

所以cosa,b，

2

因为a,b0,π,

π

所以a,b.

3

π

故答案为：.

3

，，

5．（2023甘肃）已知向量a、b满足aab5且a2，b1则向量a与b的夹角为.

π

【答案】

3

【知识点】向量夹角的计算

【分析】设向量a与b的夹角为，则0π，利用平面向量数量积的运算性质以及定义可得出cos的

值，再结合的取值范围可得出的值.

【详解】设向量a与b的夹角为，则0π，

221

所以，aabaabaabcos42cos5，可得cos，

2

π

故.

3

π

故答案为：.

3

6．（2023广东）已知向量a,b满足a1，b3，ab2，则a与b的夹角的余弦值为.

2

【答案】

3

【知识点】向量夹角的计算

【分析】根据题意，结合向量的夹角公式，即可求解.

ab22

【详解】因为向量a,b满足a1，b3，且ab2，可得cosa,b，

ab133

2

所以a与b的夹角的余弦值为.

3

2

故答案为：

3

1．（2024安徽）已知向量a1,3,b3,m，若a∥b，则m（）

A．9B．9C．1D．1

【答案】B

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量平行坐标运算即可求参.

【详解】因为a//b,

所以1m33,m9.

故选：B.

2．（2024云南）已知平面向量a1,2,b2,x.若a∥b，则实数x的值是（）

A．4B．1C．1D．4

【答案】A

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解.

【详解】因为a1,2,b2,x，且a∥b，所以x224.

故选：A.

3．（2024湖南）已知向量a1,2，bm,4，且a//b，则m（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.

【详解】由题意得42m，解得m2.

故选：B.

4．（2024湖南）已知a1,2,b1,x，若a//b，则x（）

13

A．B．C．D．0

22

−�

【答案】A

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量平行得到方程，化简求得x的值.

【详解】由于a//b，所以x212.

故选：A.

5．（2022河北）已知向量a1,2，b2,，若ab，则实数（）

A．1B．1C．4D．4

【答案】A

【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示

【分析】根据向量垂直的坐标公式，求得结果.

【详解】由ab，可得1220，解得1.

故选：A.

6．（2023吉林）已知向量a3,1与bx,6垂直，则实数x的值为（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】C

【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示

【分析】运用平面向量的垂直的坐标结论可解．

【详解】向量a3,1与bx,6垂直，则ab0，即3x60，解得x2.

故选：C.

7．（2024浙江）已知a3,1,b1,m，且ab，则实数m（）

1

A．2B．3C．3D．

3

【答案】B

【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示

【分析】根据向量垂直关系的坐标表示解方程可得m3.

【详解】由ab可得ab311m0，解得m3.

故选：B

8．（2024广东）已知向量a(x,3)，b2,1，ab，则x（）

33

A．6B．C．6D．

22

【答案】D

【知识点】向量垂直的坐标表示

【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可.

3

【详解】∵ab，∴ab0，即2x310，解得x，

2

故选：D．

9．（2023浙江）已知平面向量a1,1，b2,，若ab，则实数（）

A．2B．2C．1D．1

【答案】A

【知识点】已知向量垂直求参数

【分析】依题意可得ab0，根据数量积坐标表示计算可得.

【详解】因为a1,1，b2,且ab，

所以ab1210，解得2.

故选：A

10．（2023江苏）已知向量a2,0,b1,3,akbkab，则实数k（）

A．1B．0C．1D．1或1

【答案】D

【知识点】已知向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表

示

【分析】求出akb,kab的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.

【详解】由已知向量a2,0,b1,3，

可得akb(2k,3k),kab(2k1,3)，

由akbkab可得(2k,3k)(2k1,3)0，

即(2k)(2k1)3k0，解得k1，

故选：D

11．（2023安徽）已知向量a1,2,bx,x2．若a//b，则x．

【答案】2

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】