2026届浙江省镇海中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届浙江省镇海中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）A.20 B.14C.12 D.63．在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（）A. B.C. D.4．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于A. B.C. D.5．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）A. B.C. D.6．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（）A. B.C. D.7．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.8．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（）A. B.C. D.9．已知点，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.10．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面11．已知，则（）A. B.1C. D.12．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是1，且，.记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.14．已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________.15．已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=______16．已知函数，则的导函数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.18．（12分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？19．（12分）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为（1）求及；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和20．（12分）已知定点，动点与连线的斜率之积.（1）设动点的轨迹为，求的方程；（2）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.21．（12分）已知圆过点且与圆外切于点，直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧（1）求圆的标准方程；（2）直线的斜率22．（10分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【详解】复数在复平面内对应的点为则复数在复平面内对应的点位于第四象限故选：D2、B【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，故选：B3、C【解析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】，，，为锐角三角形，的外接圆就是它的最小覆盖圆，设外接圆方程为，则解得的最小覆盖圆方程为，即，的最小覆盖圆的半径为.故选：C4、B【解析】根据椭圆标准方程，可得，结合定义及余弦定理可求得值，由及三角形面积公式即可求解.【详解】椭圆则，所以，则由余弦定理可知代入化简可得，则，故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.5、C【解析】根据导数的定义即可求解.【详解】.故选：C.6、A【解析】不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以故选：A7、D【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.【详解】设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D8、A【解析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.【详解】连接、，因，因为是线段上一点，且，则，因此，因此，.故选：A.9、A【解析】由两点坐标，求出直线的斜率，利用，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线AB的倾斜角为，因为，所以直线AB的斜率，即，因为，所以.故选：A10、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D11、B【解析】先根据共轭复数的定义可得，再根据复数的运算法则即可求出【详解】因为，所以故选：B12、C【解析】先利用序列的所有项都是1，得到，整理后得到是等比数列，进而求出公比和首项，从而求出和，利用，列出不等式，求出，从而得到的最小值【详解】因为，，所以，又序列的所有项都是1，所以它的第项，所以，所以数列是等比数列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值为4.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.【详解】圆即为，直线为过原点的直线，如图，连接，故，解得，此时，故的面积为，当且仅当时等号成立，此时即，故答案为：.14、【解析】由题意得:考点：等差数列通项15、【解析】利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得，再令即可求解.【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：因为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得，再转化为前项和公式的形式，代入的值即可.16、【解析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【详解】函数定义域为，则，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件推导证得，再借助直角三角形中锐角的正切列式求解作答.(2)由给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量求解面面角作答【小问1详解】连结BD，如图，因底面ABCD，且平面ABCD，则，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，则，有，又，则有，有，则，解得，所以.【小问2详解】依题意，DA，DC，DP两两垂直，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，，，，，，，，设平面AMP的法向量为，则，令，得，设平面BMP的法向量为，则，令，得，设二面角A-PM-B的平面角为，则，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值为.18、（1）8745，1686元（2）37天【解析】（1）根据等比数列的性质求出结果；（2）对活动天数进行讨论，列出不等式求出的范围即可.【小问1详解】设第天的捐步人数为，则且，∴第5天的捐步人数为由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为元.【小问2详解】设活动第天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，若，则，解得（舍）若，则，解得∴活动开始后第37天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余.19、（1）；（2）【解析】(1)先根据已知求出，再求及.(2)先根据已知得到，再利用分组求和求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.20、（1）；（2）以为直径的圆过定点，定点坐标为和.【解析】(1)设动点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.(2)设上任意一点，求出点M，N的坐标，再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.【小问1详解】设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，，依题意，，化简整理得：，所以的方程是：.【小问2详解】由(1)知，令是上任意一点，则点，直线：，则点，直线：，则点，以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，，有，当点Q与M，N之一重合时，也成立，因此，以MN为直径的圆的方程为：，化简整理得：，而，即，则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，即圆恒过两个定点和，所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.【点睛】知识点睛：以点为直径两个端点的圆的方程是：.21、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圆心在轴上，可设圆心，根据圆过点、可得出关于的方程，求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，即可得出圆的标准方程；（2）利用几何关系可求得圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式可求得的值.【小问1详解】解：圆的圆心为，记点、，直线即为轴，因为圆与圆外切于点，则圆心在轴上，设圆心，由可得，解得，则圆心，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线截圆所得的弦在圆上对应的圆心角为，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.22、（1）；（2）【解析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；（2）将代入，得由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则代入可求得的范围【详解】(1)设双曲线的方程为，则，再由，得故的方程为(2)将代入，得由直