北京市门头沟区市级名校2025年高二上数学期末教学质量检测试题含解析

北京市门头沟区市级名校2025年高二上数学期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列中，，，则（）A.1 B.2C.3 D.42．观察数列，（），，（）的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A. B.C. D.3．是等差数列，且，，则的值（）A. B.C. D.4．数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.5．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则6．下列双曲线中，渐近线方程为的是A. B.C. D.7．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A. B.C. D.8．已知，若，是第二象限角，则=（）A. B.5C. D.109．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A B.C. D.10．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.11．已知直线，，若，则实数的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-312．设是可导函数，当，则（）A.2 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______14．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为________15．已知过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,直线经过抛物线C的焦点F,则___________16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为___________.（写出一个即可）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.18．（12分）如图，在四棱锥中，，为的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19．（12分）已知数列满足，（1）设，求证:数列是等比数列;（2）求数列的前项和20．（12分）已知函数，数列的前n项和为，且对一切正整数n、点都在因数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前n项和，求证：21．（12分）如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值22．（10分）年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，个贫困县全部摘帽，万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植、两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份编号年份单价（元/公斤）经济作物的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年经济作物的单价；（2）用上述频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由附：，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列中，因，，而，于是得，解得，所以.故选：B2、D【解析】利用观察法可得，即得.【详解】由题可得数列的通项公式为，∴.故选：D3、B【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，所以故选：B4、A【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.【详解】根据规律可知数列的前三项为，所以该数列一个通项公式为故选：A5、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.6、A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.7、A【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.【详解】设，则由余弦定理知：，解得，故该正四面体的棱长均为由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，高故该正四面体的体积为故选：A8、D【解析】先由诱导公式及同角函数关系得到，再根据诱导公式化简，最后由二倍角公式化简求值即可.【详解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故选：D9、D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.10、B【解析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.【详解】由可得：，由可得，所以直线：过定点，作出图象如图所示：，，若直线与线段相交，则或，所以实数的取值范围是或，故选：B11、C【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.【详解】由知：,解得：或故选：C.12、C【解析】由导数的定义可得，即可得答案【详解】根据题意，，故.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】在长方体中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答.【详解】在长方体中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因点H，A，三点共线，令，点，则，又，则，解得，所以点到平面ABCD的距离为.故答案为：14、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【详解】根据题意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案为200【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，考查正弦定理，三角形内角和问题，考查转化化归能力，是基础题15、64【解析】用字母进行一般化研究,先求出切点弦方程,再联立化简,最后代入数据计算【详解】设,点处的切线方程为联立,得由,得即,解得所以点处的切线方程为,整理得同理,点处的切线方程为设为两切线的交点,则所以在直线上即直线AB的方程为又直线AB经过焦点所以,即联立得所以所以本题中所以故答案为:64【点睛】结论点睛:过点作抛物线的两条切线,切点弦的方程为16、（答案不唯一）【解析】设出抛物线方程，根据题意即可得出.【详解】设抛物线的方程为，根据题意可得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据勾股定理先证明，然后证明，进而通过线面垂直的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而求出两个平面的法向量，然后通过空间向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小问2详解】以点为坐标原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，由，，有取，可得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，由，，有取，可得平面的一个法向量为，所以，故平面与平面的夹角的正弦值为.18、（1）证明过程见解析；（2）.【解析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为为的中点，所以，而，所以四边形是平行四边形，因此，因为，，为的中点，所以，，而，因为，所以，而平面，所以平面；【小问2详解】根据（1），建立如图所示的空间直角坐标系，，于是有：，则平面的法向量为：，设平面的法向量为：，所以，设平面与平面的夹角为，所以.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）将变形为，得到为等比数列，（2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得【详解】（1）由，，可得，因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列，（2）由（1），由，可得，，，上面两式相减可得：，则【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列和或差数列的求和(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据数列中和的关系，即可解出；（2）利用裂项相消法求出，即可进一步汽车其范围.【小问1详解】由题知，当时，，当时，也满足上式，综上，；【小问2详解】，则，由，得，所以.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据离心率为可得，把代入方程可得，又，解方程组即可求得方程；（2）设直线的方程为，整理方程组，求得，及参数的范围，由斜率公式表示出，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，，所以椭圆的方程为.（2）证明：设直线的方程为，又，，三点不重合，∴，设，，由得，所以，解得，，①，②设直线，的斜率分别为，，则（），分别将①②式代入（），得，所以，即直线，的斜率之和为定值考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可