重庆綦江区2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

重庆綦江区2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.3．设等差数列的公差为d，且，则（）A.12 B.4C.6 D.84．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有人，到过井冈山研学旅行的人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A. B.C. D.5．（）A.-2 B.0C.2 D.36．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.7．下列说法中正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱台的所有侧棱延长后交于一点C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.正棱锥的各条棱长都相等8．已知数列满足，令是数列的前n项积，，现给出下列四个结论：①；②为单调递增的等比数列；③当时，取得最大值；④当时，取得最大值其中所有正确结论的编号为（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④9．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对10．2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：满意程度学生族上班族退休族满意一般不满意记满分为分，一般为分，不满意为分.设命题：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取人，则退休族应抽取人；命题：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.11．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）12．若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．动直线，恒过的定点是________14．曲线在点处的切线方程为______15．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为___________.16．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由18．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由19．（12分）已知数列为等差数列，公差，前项和为，，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和20．（12分）已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且，两点（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线PM与y轴交于点S，直线PN与x轴交于点T，求证：四边形MSTN的面积为定值21．（12分）已知p：关于x的方程至多有一个实数解，.（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.22．（10分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件：①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线处，使问题完善，并解答你构造的问题.（如果选择多个关系并分别解答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）.问题：已知命题，，命题___________，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可.【详解】解：由题得对任意恒成立，(当且仅当时等号成立)所以故选：A2、C【解析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，消去即得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.【详解】设，由得，，，即，由在椭圆上，故，即，消去得，，根据椭圆上点满足，又两点不同，可知，整理得，故，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.3、B【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【详解】，所以.故选：B4、B【解析】作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，根据题意求出的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数.【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，由题意可得，解的，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为.故选：B.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.5、C【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果【详解】由故选：C6、A【解析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.【详解】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准方程是.故选：A.7、B【解析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确；正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.故选：B.8、B【解析】求出，即可判断选项①正确；求出，即可选项②错误；求出，利用单调性即可判断选项③正确；求出，即可判断选项④错误，即得解.【详解】解：因为，①所以，，②①②得，，整理得，又，满足上式，所以，因为，所以数列为等差数列，公差为，所以，故①正确；，因为，故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，因为，，所以数列为递减的等比数列，故②错误；，因为为单调递增函数，所以当最大时，有最大值，因为，所以时，最大，即时，取得最大值，故③正确；设，由可得，，解得或，又因为，所以时，取得最大值，故④错误；故选：B9、C【解析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.10、A【解析】由抽样比再乘以可得退休族应抽取人数可判断命题，求出上班族对数字媒体内容满意程度的平均分，由方差公式计算方差可判断，再由复合命题的真假判断四个选项，即可得正确选项.【详解】因为退休族应抽取人，所以命题正确；样本中上班族对数字媒体内容满意程度的平均分为，方差为，命题正确，所以为真，、、为假命题，故选：11、A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.12、D【解析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将直线方程转化为，从而可得，即可得到结果.【详解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）故答案为：14、【解析】求导后令求出切线斜率，即可写出切线方程.【详解】由题意知：，当时，，故切线方程为，即.故答案为：.15、【解析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，∴“欧拉线”的方程为.故答案为：.16、##【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.【详解】圆即为，直线为过原点的直线，如图，连接，故，解得，此时，故的面积为，当且仅当时等号成立，此时即，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值【小问1详解】由题意知，，根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，则，，曲线的方程为；【小问2详解】由题意知直线的方程为且m≠0)，设直线与椭圆的交点为，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，为．18、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，，，椭圆方程为：，椭圆过点，，解得t=1，所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，，同理可得，，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.19、（1）；（2）【解析】（1）根据成等比数列，有，即求解.（2）由（1）可得，，∴，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由成等比数列，得，即，整理得，∵，∴，∴，即（2）由（1）可得，，∴，故【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆方程为，利用待定系数法求得的值，即可得出答案；（2）设，，，易得，分别求出直线PM和直线PN的方程，从而可求出的坐标，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：依题意设椭圆方程为，将，代入得，解得得，，∴所求椭圆方程为；【小问2详解】证明：设，，，，P点坐标满足，即，直线PM：，可得，直线PN：，可得，.21、（1）（2）【解析】（1）根据命题p为真命题，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要条件，则，列出不等式组，解之即可得出答案.【小问1详解】解：命题p：关于x的方程至多有一个实数解，∴，解得，∴实数a的取值范围是；【