广东省广州市第十三中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广东省广州市第十三中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点和点的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．3．已知直线和，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（

）

A． B．C． D．5．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（

）A． B．9C．或9 D．7或6．如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，则点到平面的距离是（

）A． B． C． D．7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距是C．过点且在轴截距相等的直线方程为D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是110．已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（

）A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为11．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（

）A．B．点P在线段上C．平面D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为三、填空题12．过点（-1,3）且平行于直线的直线方程为．13．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是．14．在正四棱台中，，，，，，若平面，则．

四、解答题15．如图，在斜四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，记．(1)证明：；(2)求侧棱的长．16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．(1)求圆的方程；(2)若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．17．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18．已知定点，点为圆上的动点，为的中点．(1)求的轨迹方程；(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．19．如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为.(1)当时，求证：平面；(2)当时，（i）求点到底面的距离；（ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值.《广东省广州市第十三中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CAABDCCBABDACD题号11答案BC1．C【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角.【详解】由题过点和点的直线的斜率为，设过点和点的直线的倾斜角为，则，且，所以.故选：C.2．A【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解.【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：A3．A【分析】由直线平行求参数m，根据充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】由，则或，当，，满足平行；当，，满足平行；所以或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．B【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】因为，点N为BC中点，所以，故.故选：B.5．D【分析】根据两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数a的值.【详解】圆整理得：

圆心，半径，圆的圆心，半径由于两圆半径相同，故若圆与圆有且仅有一个公共点，则两圆外切所以，整理得，解得或.故选：D.6．C【分析】根据等体积法即可求出点到平面的距离.【详解】如图，连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为，所以，，因为为棱的中点，且平面，则易知，则，则，设点到平面的距离为，则，即，即，解得．故选：C.7．C【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程.【详解】若是关于的对称点，则，设饮马点为，如下图示，

由图知：，当且仅当共线时等号成立，所以.故选：C8．B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求线面角的正弦值.【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是，设直线与平面所成角为，，则，所以时，，即的最大值是.故选：B.9．ABD【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项.【详解】对于A，由，显然时，恒成立，即该直线恒过定点，故A正确；对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确；对于C，若截距均为0，则该直线为；若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得，即，故C错误；对于D，由两直线平行可知，此时方程可化为，故两直线距离为，故D正确.故选：ABD10．ACD【分析】对于A，判断两圆的位置关系，得出公切线条数；对于B，两圆作差得公共线直线方程；对于C，求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解；对于D，的最大值为加上两圆半径.【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2；圆的圆心，半径为1，因为，所以两圆相交，两圆有两条公切线，故A正确；对于B，因为圆，圆，两圆作差得即，所以直线的方程为，故B错误；对于C，圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以，故C正确；对于D，圆的圆心，半径为1，所以，故D正确．故选：ACD．11．BC【分析】对A，由面面平行说明；对B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C，P三点共线；对C，由向量法证，再由线线垂直证平面；对D，由向量法求线面角，进而讨论范围.【详解】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，所以，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，所以，，．因为，所以，所以，即，所以，所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；对于C，，，，，，由，因为，，平面，所以平面，C正确；对于D，，，平面的一个法向量为．设与平面的夹角为，为锐角，其正弦值为．由，得，D错误．故选：BC．12．【分析】根据已知直线的斜率及所过的点，由点斜式则所求直线为，整理即可得其一般式.【详解】由直线的斜率为，结合题意，知：所求直线为，∴整理可得：.故答案为：.13．【分析】根据题意求得，且，结合，即可求解.【详解】由题意，点和，可得，且，所以点到直线的距离是.故答案为：.14．/0.75【分析】画出图形，由题意平面，可以推理得出，再根据题目条件分别把这两个向量表示为，，由向量共线的条件即可求解.【详解】如图所示：

连接，设，平面平面，因为平面，且平面，所以；因为四棱台底面为正方形，且，，所以，，从而，又因为，，所以，，因为，所以.故答案为：.15．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由，，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可证结论；（2）由，应用数量积运算律得方程求侧棱的长．【详解】（1）由图，，所以又且底面是边长为1的正方形，则，所以，即.（2）由（1）知：，根据已知条件，所以，则.16．(1)(2)或．【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程；（2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点线距离求参数，求直线方程【详解】（1）由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切，所以，化简得，解得，则圆心，半径，所以圆的方程为．（2）由题意，直线l与圆C的距离，若斜率不存在，即，显然满足要求；若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则；直线l的方程为或．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出的方向向量与平面的法向量后计算即可得；（2）得到平面的法向量后结合空间向量夹角余弦公式计算即可得.【详解】（1）如图所示，建立以为原点的空间直角坐标系，由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，得，由是棱的中点，得，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以是平面的一个法向量，显然，则，又平面，所以平面，（2）由（1）知平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)或【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程；（2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案.【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，点为圆上的动点，，化简得，故的轨迹方程为．（2）圆的圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，化简得，因为，所以圆心到直线的距离，由圆心到直线的距离公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，故直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．19．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证；（2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解；（ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，，由二面角的定