数学苏教七年级下册期末题目及解析

数学苏教七年级下册期末题目及解析一、选择题1．下列各式运算中正确的是（）A．a3﹣a2=a B．a2+a3=a5 C．a3·a3=2a6 D．（a2）4=a82．下列图形中，和不是内错角的是（）A． B． C． D．3．如果2﹣x，0，2，2x﹣4这四个实数在数轴上所对应的点，从左到右依次排列，那么x的取值范围是（）A．x＜2 B．x＞2 C．2＜x＜3 D．x＞34．下列各式计算正确的是（）A． B．C． D．5．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞16．下列命题:(1)如果，那么点是线段的中点;(2)相等的两个角是对顶角;(3)直角三角形的两个锐角互余;(4)同位角相等;(5)两点之间，直线最短.其中真命题的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．观察一组等式：，，，，，，……根据这个规律，则的末位数字是（）A．0 B．2 C．4 D．68．在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（）A． B． C． D．二、填空题9．计算：__________．10．命题“两个锐角的和是钝角”是_____命题（填“真”或“假”）．11．如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形的内角和是______度．12．已知，，则的值为__________．13．若方程组的解满足条件0＜x+y＜2，则k的取值范围是_____．14．在平面直角坐标系中，点、的坐标为：、，若线段最短，则的值为______．15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______度．16．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数_____°．17．计算下列各题：（1）（﹣1）2019÷（）﹣2﹣（3.14﹣π）0；（2）2021×2019﹣20202；（用简便方法计算）（3）2x3y•（﹣3xy）2÷xy2；（4）（a+b）（a﹣2b）﹣a（a﹣b）．18．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．19．解方程组：（1）；（2）．20．解不等式组：（1）（2）三、解答题21．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、G，点E在AC上，且∠1＝∠2．（1）求证：DEBC；（2）如果∠B＝46°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．22．端午节将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要3600元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要5900元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价各多少元？（2）该商家准备将2800元全部用来购买甲、乙两种粽子，销售每个甲种粽子可获利3元，每个乙种粽子可获利6元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1860元，问商家最多可购进甲种粽子多少个？23．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．24．已知，，点为射线上一点．（1）如图1，写出、、之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，，，求的度数．25．（问题情境）苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：（1）探究1：如图1，在中，P是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：∵和分别是和的角平分线，∴，．∴．又∵在中，，∴∴（2）探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线和的交点，若，则______．若，则与有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中，在中，P是与的平分线和的交点，过点P作，交于点D．外角的平分线与的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是______；A．B．C．（4）探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线和的交点，在探究3条件的基础上，①试判断与的位置关系，并说明理由；②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为______【参考答案】一、选择题1．D解析：D【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则进行计算，然后作出判断．【详解】解：A、a3与a2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；B、a2与a3不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；C、a3•a3=a6，故此选项不符合题意；D、（a2）4=a8，正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，理解运算法则是解题基础．2．B解析：B【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角解答．【详解】解：A、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；B、∠1和∠2不是内错角，故选项符合题意；C、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；D、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；故选B．【点睛】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．3．D解析：D【分析】根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：由题意得，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞3，∴不等式组的解集为x＞3，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，实数和数轴的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于x的不等式组．4．D解析：D【分析】根据积的乘方、完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式法则分别计算即可求出答案．【详解】解：A、原式=9a2，故A不符合题意．B、原式=a2+6a+9，故B不符合题意．C、原式=-（a-3）（a+3）=-a2+9，故C不符合题意．D、原式=a2+2a-3，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的混合运算法则，本题属于基础题型．5．C解析：C【分析】分别解出不等式，进而利用不等式的解得出m+1的取值范围，进而求出即可；【详解】解：∵不等式组的解集是x＞2，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＞m+1，不等式组的解集是x＞2，∴不等式①解集是不等式组的解集，∴m+1≤2，解得：m≤1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次方程组，根据不等式组的解得出m+1的取值范围是解题的关键；6．A解析：A【解析】【分析】由等腰三角形的判定、对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、线段的性质对各选项分别判断即可．．【详解】解：（1）如果AC=BC，那么点C不一定是线段AB的中点，如在等腰△ABC中，AC=BC，则点C不是线段AB的中点，故（1）中的命题是假命题；（2）相等的两个角不一定是对顶角，故（2）中的命题是假命题；（3）直角三角形的两个锐角互余，故（3）中的命题是真命题；（4）如果两直线不平行，被第三条直线所截，则形成的同位角不相等，故（4）中的命题是假命题；（5）两点之间，线段最短，故（5）中的命题是假命题．故选：A．【点睛】本题考查命题和定理、等腰三角形的判定、对顶角相等的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、线段的性质等知识．解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假．7．B解析：B【分析】根据21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，可以得到21，21+22，21+22+23，21+22+23+24，21+22+23+24+25的末位数字，从而可以末位数字的变化特点，得到21+22+23+24+…+22021的末位数字．【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，∴21的末位数字是2，21+22的末位数字是6，21+22+23的末位数字是4，21+22+23+24的末位数字是0，21+22+23+24+25的末位数字是2，…，∵2021÷4=505…1，∴21+22+23+24+…+22021的末位数字是2，故选B.【点睛】本题主要考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现所求式子的末位数字变化特点，求出所求式子的末位数字．8．B解析：B【分析】用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果．【详解】解：∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则．二、填空题9．【分析】利用单项式乘单项式的乘法法则计算即可.【详解】解：故答案为：【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式的乘法法则，熟记法则是解题的关键.10．假【分析】根据真假命题的判定直接解答即可．【详解】解：因为20°+20°＝40°＜90°，所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题．故答案为：假．【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握知识点是解题的关键．11．1260【分析】首先根据外角和与外角和及每个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n-2）计算出答案．【详解】解：∵多边形的每一个外角都等于，∴它的边数为：，∴它的内角和：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，根据多边形的外角和计算出多边形的边数是解题关键．12．6【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．【详解】∵，，∴=3×2=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键．13．﹣4＜k＜6【分析】将方程组中两个方程相加可得5x+5y=k+4，整理可得，根据0＜x+y＜2知，解之可得．【详解】将方程组中两个方程相加可得5x+5y＝k+4，整理可得，∵0＜x+y＜2，∴，解得：﹣4＜k＜6；故答案为：﹣4＜k＜6【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．B解析：-3【分析】点B是一个定点，表示直线y=3上的任意一点，根据垂线段最短确定AB与直线y=3垂直，然后即可确定a的值．【详解】解：∵点是一个定点，表示直线y=3上的任意一点，且线段AB最短，∴AB与直线y=3垂直．∴点A的横坐标与点B的横坐标相等．∴．故答案为：．【点睛】本题考查平面直角坐标系中根据点的坐标确定点的位置和垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题关键．15．108°【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每解析：108°【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.16．80【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°解析：80【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝50°＋30°＝80°，故填：80．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（1）-；（2）-1；（3）36x4y；（4）-2b2【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、负整指数幂运算即可；（2）利用平方差公式进行运算即可；（3）根据单项式的乘法、除法以及乘方法则解析：（1）-；（2）-1；（3）36x4y；（4）-2b2【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、负整指数幂运算即可；（2）利用平方差公式进行运算即可；（3）根据单项式的乘法、除法以及乘方法则计算即可；（4）首先利用多项式的乘法法则计算，然后合并同类项即可；【详解】解：（1）原式=-1÷4-1=-；（2）原式=（2020+1）（2020-1）﹣20202=20202﹣1﹣20202=-1；（3）原式=2x3y•9x2y2÷xy2=36x4y；（4）原式=a2-ab-2b2-a2+ab=-2b2；【点睛】此题考查了整式的混合运算以及零指数幂、负整指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（1）（4x﹣y）2；（2）（a+b）（a﹣b）（x﹣y）．【分析】（1）运用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式（x﹣y），再用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝（4x﹣y解析：（1）（4x﹣y）2；（2）（a+b）（a﹣b）（x﹣y）．【分析】（1）运用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式（x﹣y），再用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝（4x﹣y）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y），＝（x﹣y）（a2﹣b2），＝（a+b）（a﹣b）（x﹣y）．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底．19．（1）；（2）【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先将方程组变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：（1），②+①得，，将代入①得，，∴方解析：（1）；（2）【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先将方程组变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：（1），②+①得，，将代入①得，，∴方程组的解为；（2）方程组变形为，②×3+①得，，将代入②得，，∴方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，并能准确计算是解题的关键．20．（1）原不等式组的解集是；（2）不等式组的解集为；【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集；（2）先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解析：（1）原不等式组的解集是；（2）不等式组的解集为；【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集；（2）先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集；【详解】解：（1）由①得，解得：；由②得，解得：；原不等式组的解集是：．（2）解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集为：；【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法进行解题．三、解答题21．（1）见解析；（2）108°【分析】（1）根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2=∠BCD，已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠BCD，故可证平行；（2）根据三角解析：（1）见解析；（2）108°【分析】（1）根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2=∠BCD，已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠BCD，故可证平行；（2）根据三角形内角和求出∠ACB=72°，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：（1）证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG．∴∠2=∠BCD，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DE∥BC．（2）∵∠B=46°，∠ACB-10°=∠A，∴∠ACB+（∠ACB-10°）+46°=180°，∴∠ACB=72°，由（1）知，DE∥BC，∴∠DEC+∠ACB=180°，∴∠DEC=108°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．22．（1）甲种粽子每个进价为5元，乙种粽子每个进价为8元；（2）该商家最多可购进甲种粽子320个．【分析】（1）甲种粽子每个进价为元，乙种粽子每个进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）解析：（1）甲种粽子每个进价为5元，乙种粽子每个进价为8元；（2）该商家最多可购进甲种粽子320个．【分析】（1）甲种粽子每个进价为元，乙种粽子每个进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）该商家应购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，根据题意列一元一次不等式即可求解．【详解】（1）解：设甲种粽子每个进价为元，乙种粽子每个进价为元，由题意得解得答：甲种粽子每个进价为5元，乙种粽子每个进价为8元．(2)设该商家应购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个．由题意得≥，解得．答：该商家最多可购进甲种粽子320个．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，理解题意明白题中的等量关系和不等式关系是解题的关键．23．（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为【分析】（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”；（2）分别解两个方程为x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范围解析：（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为【分析】（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”；（2）分别解两个方程为x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范围为即可求解．【详解】解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝，由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，∴x﹣y＝，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；（2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，由，解得，∵两个方程是“友好方程”，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴﹣1≤≤1，∴∴k的最小值为﹣，最大值为．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H解析：（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）设∠EAI=∠BAI=α，则∠CHE=∠BAE=2α，进而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=α+5°，再根据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．【详解】解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．理由：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHG，∵∠EHG是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵AI平分∠BAE，∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α，如图3，∵AB∥CD，∴∠CHE=∠BAE=2α，∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，∴∠EDI=α+30°