重难点培优01插空捆绑隔板分配涂色常见题型（复习讲义）

重难点培优01插空、捆绑、隔板、分配、涂色常见题型目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 7题型一相邻问题与不相邻问题（★★） 7题型二相同元素隔板法分配问题（★★★） 11题型三不同元素分组分配问题（★★★） 15题型四涂色问题（★★★） 1903实战检测・分层突破验成效 23检测Ⅰ组重难知识巩固 23检测Ⅱ组创新能力提升 301.相邻问题相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数不相邻问题1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数2.相同元素隔板法分配问题隔板法：解相同元素的组合问题相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题.①当每组至少含一个元素时,5个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将5个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？②当每组至少含一个元素时,6个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将6个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？③当每组至少含一个元素时,7个相同的小球放入4个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求4个不同的盒子，只需3个隔板即可放3个隔板可以将7个小球分为4组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？④当每组至少含一个元素时,个相同的小球放入个不同的盒中，一共有多少种放法？①任意分组时,5个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将5个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？②任意分组时,6个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将6个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？③任意分组时,7个相同的小球放入4个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求4个不同的盒子，只需3个隔板即可放3个隔板可以将7个小球分为4组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？④任意分组时,个相同的小球放入个不同的盒中，一共有多少种放法？3.不同元素分组分配问题分组问题与分配问题Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题.分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为：如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？4.涂色问题秒杀策略：涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。模型演练模型1：如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种。(用数字作答)模型2：如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()DDBCAA.96 B.84 C.60 D.48选B。题型一相邻问题与不相邻问题【技巧通法·提分快招】相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数不相邻问题1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数1．（2025·全国·调研）为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（

）A．120 B．360 C．180 D．90【答案】A【分析】相邻节目捆绑，然后捆绑的节目与器乐固定顺序，其余三个节目选三个位置排列，再按固定顺序插入捆绑的节目与器乐节目，再由分步乘法原理计算．【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序；歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序，故选：A．2．（2025·天津滨海新·联考）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（

）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【答案】D【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得.【详解】先选男生甲的位置，有2种；再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种；故选：D.3．（2025·全国·模拟预测）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（

）（

）A．24 B．48 C．144 D．240【答案】C【分析】先将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，结合分步乘法计数原理可得.故选：C.4．（2025·天津·联考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（

）①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种③甲乙不相邻的排法种数为种④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】结合分类与分步计数原理，根据特殊元素特殊位置有限原则、捆绑法、插空法以及部分定序法分别判断各个命题.故选：D.5．（2025·天津滨海新·联考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？(3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？(4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？【答案】(1)576(2)240(3)3720(4)2880【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可；（2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可；（3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可；（4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，（2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法，因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法，（3）7个人全排列，有种排法，甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法，（4）先排4名女生，有种排法，从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法，4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法，6．（2025·天津滨海新·调研）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有种.【答案】144【分析】本题需要分步处理排列条件，首先将“射”与“御”捆绑为一个整体，然后结合插空法求解可得.【详解】由题意知：“乐”与“书”不能相邻，“射”与“御”要相邻，可将“射”与“御”进行捆绑看成一个整体，共有种.然后与“礼”、“数”进行排序，共有种.最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种.故答案为：144.7．（2025·天津和平·调研）在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（

）【答案】B【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.【详解】选择左、右两边其中一边将教练组人捆绑看作一个整体安排，共有种排法，将剩余的名队员全排列，共有种排法，故选：B.8．（2025·天津南开·模拟预测）有7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名.(1)若老师站在最中间的站法有多少种?(2)若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种?(3)若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种?(4)现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种?【答案】(1)(2)(4)【分析】（1）由特殊元素优先安排求解即可；（2）相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法求解即可；（3）利用间接法先不考虑甲，乙，然后减去甲站最左边，乙站最右边的方法数求解即可；（4）相同元素分配问题采用隔板法求解即可.（2）两位女生相邻，捆绑到一起有种方法，然后看成一个大元素与老师不相邻采用插空法，先将其他人排成一排种方法，有个空选个空插进去有种方法，（3）先不考虑甲，乙站成一排有，然后减掉甲站最左边有种方法，乙站最右边有种方法，（4）先将16个相同的口罩给每人发1个口罩，则剩下个口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发1个口罩即可，题型二相同元素隔板法分配问题【技巧通法·提分快招】隔板法：解相同元素的组合问题相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题.1．（2025·天津南开·模拟预测）（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？【答案】(1)81，(2)45，(3)210.【分析】(1)利用分步乘法计数原理原理求解；(2)利用分步乘法原理，结合排列的知识求解；(3)利用隔板法求解即可.(3)将11个相同的小球排成1排，在排列的两端各放置1块隔板，在小球之间的10个空隙中选择4个空隙插入隔板，即可将11个小球分为5段，依次将各段小球放入5个盒子中，可得满足要求的放法，故满足条件的放法有种，即满足条件的放法有210种.2．（2025·天津南开·调研）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有种（用数字作答）.【答案】【分析】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，其中有空盒的放法种数；接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，结合隔板法和间接法可求得结果.【详解】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，那么其中有空盒，可考虑在每个盒子中各加一个球，问题转化为将个相同的小球放入个不同的盒子，接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，有种情况.故答案为：.3．（2025·天津·联考）袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球.取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球.(1)请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）(2)当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？（请用数字作答）【答案】(1)【分析】（1）设取出个红球，个白球，依题意得到不等式组，求出、，再由组合数公式及分步乘法计数原理计算可得；（2）依题意可得取出红球个，白球个，再利用插空法计算可得.（2）总分为7分，则取的个数为红球个，白球个，将取出的球排成一排分两步完成，4．（2024·天津·一模）把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（）A．16 B．24 C．64 D．81【答案】A【分析】依题意分成按1，1，1放或按1，2放两类情况分别计数，再运用加法原理计算即可.【详解】把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，可分成两类情况：由分类加法计数原理：不同方法有：4+12=16种．故选：A．5．（2025·天津·调研）口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球，从中随机摸出2个球.则2个都是黄球的概率为；2个球颜色不同的概率为.【答案】；/.【分析】先求出从6个球中随机摸出2个球的方法数，再求出摸出的2个球都是黄球的方法数，然后利用古典概型的概率公式可求出2个都是黄球的概率；再求出摸出的2个球颜色不同的情况，再利用古典概型的概率公式可求出2个球颜色不同的概率.所以摸出2个都是黄球的概率为，因为摸出的2个球颜色相同的有3种，所以摸出2个球颜色不同的有12种，故答案为：；.A． B． C． D．【答案】C【分析】应用组合数求出7个球任取3个所有可能种数及数字的最小值为2的情况数，再应用古典概型的概率求法求概率.故选：C7．（2025·天津·一模）抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各个，抽奖规则为：每次从中随机抽取个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值元的奖品，每个白球获得价值元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为元的概率是．【答案】【分析】根据所得奖品的价值为元可以确定红球、白球的个数，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】因为抽到每个红球获得价值元的奖品，每个白球获得价值元的奖品，所以当所得奖品的价值为元时，必有一红一白，故答案为：8．（2025·天津·联考）将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8【分析】（1）1号小球可放进任意一个盒子里，故4种放法，2、3、4号小球也可任意放进一个盒子里，故各4种放法，根据分步计数原理，共44=256种放法；（2）每盒至多一球，即每个盒子中一个球，是全排列问题；（3）四个球放三个盒子，即有两个球在一个盒子里，进而求解；（4）首先任选一球放进编号相同的盒子，有C41种放法，其余球任放进一个盒子里，且使得编号不同，有2种放法，即可得解.【详解】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.(2)这是全排列问题,共有A44=24(种)放法.(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有C42种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有A43种投放方法,所以共有C42A43=144(种)放法.(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有C41×2=8(种)放法.题型三不同元素分组分配问题【技巧通法·提分快招】分组问题与分配问题将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题.分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.1．（2025·天津·期中）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为．【答案】210/【分析】根据分组分配先将6人分成三组，再进行分配即可求得不同的安排方法；再利用古典概型计算可得所求概率.【详解】根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题意的分组为2，1，3或2，2，2；故答案为：210，.2．（2026·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．150 D．240【答案】B【分析】先选名学生分配给甲，再将剩余人分成两组分配给乙、丙，由分步乘法计数原理可得.故选：B.3．（2025·天津·调研）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（

）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种【答案】B【分析】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解.【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式，故选：B4．（2025·天津东丽·联考）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.【答案】12【分析】结合排列和组合数直接求解即可．【详解】由题意知小张或小赵只有一人入选，且只能从事安保工作，其余三人从事不同工作，故答案为：12．5．（2025·天津和平·调研）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择（1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种.【答案】30【分析】（1）把4人分成3组，再分配课程，减去甲乙选择同一课程的情况即可；（2）在丙丁恰有1人选择“九章算术”时，按只有1人、有2人选择“九章算术”分类求出事件含有的基本事件数即可.故答案为：30；6．（2025·天津·调研）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生.(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法?(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种?(3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法?【答案】(1)20(2)324(3)252【分析】（1）根据组合直接求解即可，（2）先选人，再将4人分配到3项活动中，结合排列组合即可求解，（3）先求解全部情况，去除掉不符合的情况，由排列组合即可求解.【详解】（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数，（3）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种，7．（2025·天津西青·调研）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为.【答案】【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，再将个组分到四个社团，由分步和分类计数原理即可求解．【详解】将人分成组，由题可知，有一组必有2人，故答案为：.8．（2025·天津和平·模拟预测）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有种.（用数字作答）【答案】540【分析】本题为先分组再分配问题，第一步先分组，第二步再分配.【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，故答案为：540.题型四涂色问题【技巧通法·提分快招】秒杀策略：涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。1．（2025·天津西青·模拟预测）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（

）种A．72 B．48 C．360 D．420【答案】D【分析】分使用颜色分别为3种、4种和5种3个情况分析计算即可求解.当使用颜色为4种时，AB区域同色且CD区域不同色，或AB区域不同色且CD区域同色，故选：D2．（2025·天津河东·调研）如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有种不同的涂色方法.【答案】1260【分析】分类讨论所涂区域所用的颜色种类，结合排列数、组合数分析求解即可.此时与的颜色相同，与的颜色相同，与的颜色相同，所以共有种不同的涂色方法；当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法；当涂时，则与的颜色相同，与的颜色相同，有1种不同的涂色方法；当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法；故答案为：1260.3．（2025·天津·调研）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（

）A．144种 B．120种 C．108种 D．96种【答案】A【分析】利用分步计数原理，按照顺序去考虑涂色，注意区域1和区域3同色和不同色的问题即可.再涂区域3，这时有两类：故选：A.A．120 B．144 C．264 D．96【答案】A【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，故选：A．5．（2025·天津东丽·调研）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（

）A．420 B．340 C．260 D．120【答案】A故选：A6．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有种不同的涂色方法．【答案】260【分析】分3步，第一步给涂色，第二步给涂色，第三步给和涂色，分2类：与同色或不同色，计算得解.【详解】第一步给涂色，有5种方法；第二步给涂色，有4种方法；故答案为：260.【答案】960【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.故答案为：.8．（2025·天津·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．288种 B．296种 C．362种 D．384种【答案】D【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案.综上，共有384种涂法.故选：D.检测Ⅰ组重难知识巩固1．（2026·天津西青·调研）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为.【答案】/【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可.故答案为：，2．（2025·全国·模拟预测）四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列．【答案】分布列见解析【分析】设所亮灯数为，先求出的可能值，再利用排列组合及列举法求出的各个值对应的概率，进而列出分布列即可．【详解】设所亮灯数为，则可能的取值为0，2，4，8，设4个小朋友，，，的妈妈分别为，，，，则站在，，身边，有种站法，假设站在身边，即分成两种情况：①站在身边，则，分别站在，，有1种站法，②不站在身边，则站在或身边，还有两种可能，若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法，若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法，从，，，中选1个小朋友站对，有种站法，假设站在身边，还有两种可能：若站在身边，则，分别站在，，有1种站法，若站在身边，则，分别站在，，有1种站法，所以亮灯数的分布列为：02483．（2025·天津·调研）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（

）A．8种 B．10种 C．12种 D．14种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可.【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，故选：B4．（2025·天津·联考）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球.(1)求取出的4个球颜色相同的概率；(2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率；【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）先结合组合数的计算，根据题意得出从甲、乙两盒中各任取2个球及事件A各包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解.（2）先根据题意分析所求事件包含的可能情况，并求出其包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解.（3）先根据题意得出根据题意可得：X的可能取值及相应的概率，从而可得出X的分布列；再根据数学期望公式即可求解.【详解】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”.所以取出的4个球颜色相同的概率为．（2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”，所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为．（3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4，所以X的分布列为：X1234P5．（2025·天津西青·调研）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为种.(用数字作答)【答案】【分析】由插空法，捆绑法结合分步计数原理可得答案.故答案为：6．（2025·天津·调研）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

）A．8400 B．11760 C．13440 D．20160【答案】B【分析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果，再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，进而根据计数原理得到最终结果.故选：B7．（2025·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果.【详解】由题意可知：每人均有3种菜品可供选择，故选：B.8．（2025·天津·调研）高二某班有7名学生干部，其中男生4名，女生3名．若从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据古典概型的计算公式计算即可.故选：DA．128 B．256 C．512 D．1024【答案】B【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和.【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为，故选：B.10．（2025·天津和平·调研）一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为.【分析】利用计数原理和古典概型的概率公式求出采用不放回的方式取出的球中恰好有2个红球的概率，利用独立重复实验的概率公式求出采用有放回的方式恰好有两次取到红球的概率即可.【详解】采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，采用有放回的方式取出三次小球，则每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为，故答案为：；11．（2025·天津和平·调研）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（

）A．100 B．120 C．200 D．210【答案】D【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解.【详解】先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天），故选：D.【答案】/故答案为：13．（2025·天津静海·调研）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有.(用数字作答)【分析】第一空：将字相同的卡片看成—组，从5组中选出—组，再从剩下4组，选出2组，在各取一张，得到4张卡片，全排列即可.【详解】先把字相同的卡片看成—组，第一步：从这5组中选出—组，第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选—张卡片，第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学，14．（2025·天津南开·学业考试）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数可以利用分步计数原理得到，满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数，可以借助数对，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果.【详解】由题意知，本题是一个古典概型，满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数，故选：D.15．（2025·天津西青·调研）现有6个人排成一排照相，由于甲、乙性格不合，所以要求甲、乙不相邻，丙最高，要求丙站在最中间的两个位置中的一个位置上，则不同的站法有种.【答案】16