专题05平面向量（讲义）数学学业水平考试合格考总复习

专题05平面向量目录目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：平面向量的线性运算与坐标运算考点二：平面向量基本定理考点三：平面向量的垂直与平行考点四：平面向量的夹角与数量积实战能力训练1、通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,了解平面向量的意义.理解平面向量共线和向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素.2、掌握平面向量的加法运算、三角形和平行四边形法则及加法运算律.借助实例和平面向量的几何表示,理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义.3、掌握平面向量的减法运算、三角形和平行四边形法则及减法运算律.4、理解两个平面向量共线的含义,了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.5、了解向量的一组基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理.6、借助于平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.7、掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题.8、掌握平面向量数量积的坐标表示,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.9、能利用坐标求向量的模、夹角及两个向量垂直的条件,并能应用它们解决相关问题.1、向量中的基本概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度或模.2．向量的表示:向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模.a,AB;a,AB.向量几何表示(有向线段);向量符号表示(箭头+3．零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时,AB=4．单位向量:长度为1的向量叫做单位向量.(在坐标系中)与a共线的单位向量为:±1aa(5．共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量.a//b,b6．相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量.7．相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a.(0的相反向量仍是0)若a,b为相反向量,2、平面向量的线性运算(加、减运算,数乘运算)1．向量加法运算及其几何意义:(1)三角形法则:a+b=AB+BC=(2)平行四边形法则:以向量AB=a,AD=b2．向量减法运算及其几何意义:(1)三角形法则:a-b=AB-(2)平行四边形法则:以向量AB=a,AD=b3．向量数乘运算及其几何意义:(1)规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa①λ②当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;【λa中的λ:对a起到同向或反向、伸长或缩短的作用.3、平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ①不共线的向量e1、②向量的夹角：已知非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ0∘≤θ≤180∘叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0∘时2．平面向量的坐标运算:设a=x(1)a+(2)a-(3)λa(4)设点Ax1,y3．共线定理的坐标表示:若a=x1,四、向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为⟨a,b⟩=θ,则5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角:(1)设非零向量a=x①a⋅b=x1(2)设a=x,y,则a设点Ax1,y考点精讲讲练考点一：平面向量的线性运算与坐标运算例题1（2024高二上·江苏·学业考试）在△ABC中，D为边BC的中点.若BC=a,AC=A．-12aC．-12a【答案】A【分析】由图及向量加减法可得答案.【详解】由图可得，AD=故选：A例题2．（1920高一下·江苏·期中）已知向量a=1,2,b=A．5,3 B．5,1C．-1,3 D．-5,-3【答案】A【分析】利用向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，即可得解.【详解】由a=1,2，得所以2a故选：A.【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.例题3．（2023·江苏徐州·模拟预测）AB+AC-A．AB B．3AB C．BA D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解.【详解】AB+故选：A1．如图，已知向量a,A．a+b=c B．a+b【答案】B【详解】根据向量加法的三角形法则，a,b向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，a+b与向量c反向且相等，所以2．已知向量AB=2,1，点A1,-1，则点BA．0,3 B．3,0 C．-1,-2 D．-2,-1【答案】B【分析】设点B的坐标为(x,y)，则AB=(x-1,y+1)，再结合AB=2,1可求出x,y【详解】解：设点B的坐标为(x,y)，则AB=(x-1,y+1)因为AB=所以x-1=2y+1=1，得x=3所以点B的坐标为3,0，故选：B3．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则AB-2AO=A．BD B．DB C．BC D．CB【答案】D【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解.【详解】如图，则AB-2故选：D考点二：平面向量基本定理例题1（2023高三·江苏·学业考试）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点，则（

）A．AB+AC=C．EF=12【答案】D【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，DE⋅DF=DE【详解】对选项A：AB+对选项B：AB-对选项C：EF=对选项D：DE⋅DF故选：D例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在△ABC中，已知AB=a,AC=b,M为AB的中点，NA．12a-C．32a-【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】BN=1故选：B例题3．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，AD=b，E为CDA．a+b B．a-b C．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】AE=故选：D.1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设AB=a,AD=A．12a-C．12a+【答案】D【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】AE=故选：D2．如图，在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若AB=a,AC=A．12a-12b B．1【答案】D【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为M，N分别是AB，AC的中点，所以AM=12所以MN=故选：D3．如图，已知AB=a,AC=A．512b-C．34a-【答案】A【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．【详解】由BC=4BD，得DC=所以DE=故选：A.考点三：平面向量的垂直与平行例题1（2024高二·江苏·学业考试）已知两点A2,-1,B3,1，与AB平行，且方向相反的向量aA．a=-1,-2 BC．a=-1,2 D【答案】A【分析】求出向量AB→的坐标，利用平面向量共线的基本定理可得出结论【详解】由A2,-1，B3,1得对于A：a=-1,-2=-对于B：设AB→=λa→(λ<0)对于C：设AB→=λa→(λ<0)对于D：设AB→=λa→(λ<0)故选：A.例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量a=2,0,b=A．-1 B．0 C．1 D．-1或1【答案】D【分析】求出a+kb【详解】由已知向量a=可得a+k由a+kb⊥即(2+k)(2k-1)-3k=0，解得k=±1，故选：D例题3．（2122高一下·江苏南京·期中）已知向量OA=2,3，OB=x,5，若OA⃑A．103 B．1 C．12 D【答案】D【分析】利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出OA⋅AB【详解】∵AB=OB-OA=x-2,2故选：D.1．已知m=1,x，n=x,2，若m//A．1 B．2 C．±2 D．【答案】C【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为m=1,x，n=所以1×2-x2=0故选：C.2．已知向量a=(1,2),b=(1,1),c=(3,4)．若(A．-2 B．2 C．-12 D【答案】A【分析】先求出a-λb【详解】由题a-λb=(1-λ,2-λ)，因为(故选：A．3．向量a=(k,-2)，b=(-2,1).若a//b，则实数A．4 B．-4 C．1 D．-1【答案】A【解析】由向量共线的坐标运算即可得解.【详解】解：因为向量a=(k,-2)，b又a//b，则即k=4，故选：A.考点四：平面向量的夹角与数量积例题1（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=2,∠BAD=3π4,E是线段A．1 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.【详解】AE⋅AC====122故选：A例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）若单位向量a,b满足〈a,b〉=120°，向量c满足A．3-14 B．1-34 C．【答案】D【分析】在平面直角坐标系中求出a,b的坐标，由(c-a)⊥(c-【详解】令a=OA,b=OB以点O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0),B(-1令c=OC，由(c-a)⊥(c设C(14+则a=12+所以a⋅c+故选：D例题3．（2024高二上·江苏·学业考试）已知向量a=-1,0,b=1,3A．π6 B．π3 C．2π【答案】C【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可.【详解】由题，cosa又a,b∈故选：C.1．已知在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=π3，点D为边BC上靠近B的三等分点，则AD⋅A．-113 B．-13 C．【答案】D【分析】利用AB、AC表示向量AD、BC，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD⋅BC【详解】如下图所示：AD=由平面向量数量积的定义可得AB⋅因此，AD=1故选：D.2．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为2π3，则向量aA．π6 B．π3 C．2π3【答案】A【解析】设向量a+b与a的夹角为θ，由向量数量积的几何含义可知cosθ=【详解】设向量a+b与a的夹角为θ∵|a+∴cosθ=32故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的几何意义求向量夹角的余弦值，进而求角即可.3．已知向量a,b满足a=3,A．-36 B．36 C．-【答案】A【解析】先由a+b2=5【详解】向量a,b满足a=3,故3+4+2a⋅b=5，即a⋅则cosα=故选：A.训练1、在平行四边形ABCD中，E为DC上的点，且DE=2EC，设AB=a，AD=A．23a-b B．23a【答案】C【分析】利用向量线性运算得到AE=【详解】因为DE=2EC，故所以AE=故选：C.2、已知向量a=(1,2),b=(2,2)，则aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求a+b，即【详解】因为向量a=(1,2),b=(2,2)所以a+故选：D.3、若向量a,b满足a=1,b=2，且a-b⊥a，则向量A．π6 B．π4 C．π3【答案】C【分析】利用向量垂直、数量积的运算可得答案.【详解】因为a-b⊥a即a2可得cosa,b=1故选：C.4、在正六边形ABCDEF中，设OA=a，则下列向量中与a不共线的是（A．CB B．EF C．OC D．DO【答案】C【分析】根据共线向量的定义即可.【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形ABCDEF的中心，所以CB与OA所在直线平行，所以是共线向量，故A错误；EF与OA所在直线平行，所以是共线向量，故B错误；OC与OA所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确；DO与OA所在直线共线，所以是共线向量，故D错误.故选：C.5、若向量AB=1,1，CD=m,-2，AB⊥A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示求参数m的值.【详解】因为AB⊥CD，所以即1×m+1×-2=0⇒故选：D6、已知向量a=2,x，b=-2,1，若a→A．-1 B．1 C．-4 D．4【答案】A【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可.【详解】因为向量a=2,x，b=所以2×1-x×-2=0，解得故选：A.7、已知AB=4,2，CD=2,y，若AB//A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为AB=4,2，CD=所以4y=2×2，解得y=1.故选：A8、CA+AB+A．AB B．BA C．CD D．DC【答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果.【详解】根据向量加法的三角形法则,得到CA⃗故选：C.9、已知向量a=(2,3)，b=(1,1)，则a+A．(3,4) B．(2,3) C．(1,1) D．(0,0)【答案】A【分析】根据向量加法的坐标运算求解.【详解】向量a=(2,3)，b所以a+故选：A10、已知向量a,b，化简4aA．3a-2bC．6a+b【答案】C【分析】利用向量的线性运算计算即得.【详解】4a故选：C11、如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O．AB=a，AD=b，且AO=