行程问题课件 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大（2024）版数学七年级上册第五章

一元一次方程5.3.3行程问题第1页：情境导入——行程中的“相遇”与“追赶”如何建模？实际问题（配图提示：相遇、追及示意图）：问题1（相遇）：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度为60km/h，乙车速度为80km/h，A、B两地相距350km，多久后两车相遇？问题2（追及）：小明以5km/h的速度步行上学，出发1小时后，爸爸发现他忘带书包，以15km/h的速度骑车追赶，爸爸多久能追上小明？思考：这类问题的核心量是什么？（路程、速度、时间）不同运动方向（相向、同向）的等量关系有何区别？如何用公式“s=vt”建立方程？复习回顾：行程问题核心公式（必记）：路程=速度

×

时间（s=vt）；速度=路程

÷

时间（v=s/t）；时间=路程

÷

速度（t=s/v）。关键提醒：单位要统一（如速度km/h对应时间h、路程km）。第2页：解题核心思路——行程问题的“等量关系”建模核心分析：行程问题的关键是明确“运动状态”（相向而行、同向而行、同向不同时出发等），找到不变量（如总路程、路程差），再根据公式建立等量关系；常见运动状态分类：同向而行（追及）：路程差=速度差

×

时间；相向而行（相遇）：总路程=速度和

×

时间；同向同地不同时出发：前者路程=后者路程；单程往返：去程路程=返程路程。核心步骤（口诀：“定状态，找三量，设时间，建等式”）：分析运动状态：确定物体运动方向（相向、同向）、出发时间（同时/不同时）、出发地点（同地/不同地）；明确三量关系：找出已知的速度、路程，确定未知量（通常设时间为x）；设未知数：设运动时间为x（或其他未知量），用含x的代数式表示各物体的路程；建立等量关系：根据运动状态列等式（如相遇时总路程=两车路程和）；解方程：用一元一次方程解法求解；验证与作答：验证解是否符合实际（如时间、路程为正数），规范作答。第3页：实例解析1——相向而行（相遇问题）例1：两车相遇问题（情境导入题1）题目：甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车60km/h，乙车80km/h，两地相距350km，求相遇时间。步骤1：分析状态——相向而行、同时出发、不同地点，总路程=路程和；步骤2：设未知数——设x小时后相遇；步骤3：表示路程——甲车路程=60xkm，乙车路程=80xkm；步骤4：建立方程（总路程=路程和）→\(60x+80x=350\)；步骤5：解方程：合并同类项

→\(140x=350\)；系数化为1→\(x=2.5\)（小时）；验证：甲车路程=60×2.5=150km，乙车路程=80×2.5=200km，150+200=350km（符合总路程）；答：2.5小时后两车相遇。例2：步行相遇问题题目：小明和小红分别从相距12km的两地同时出发，相向而行。小明速度4km/h，小红速度2km/h，经过几小时两人相遇？相遇时小明走了多少km？步骤1：设x小时后相遇；步骤2：路程表示——小明路程=4x，小红路程=2x；步骤3：方程

→\(4x+2x=12\)；步骤4：解方程

→\(6x=12\)→\(x=2\)（小时）；步骤5：小明路程=4×2=8（km）；验证：4×2+2×2=12km（符合总路程）；答：经过2小时相遇，相遇时小明走了8km。第4页：实例解析2——同向而行（追及问题）例3：骑车追及问题（情境导入题2）题目：小明步行5km/h，出发1小时后爸爸骑车追赶，速度15km/h，求追赶时间。步骤1：分析状态——同向而行、不同时出发、同地，路程差=小明先走路程；步骤2：设爸爸x小时后追上小明；步骤3：路程表示——小明总路程=5(x+1)km（先走1小时），爸爸路程=15xkm；步骤4：建立方程（追上时路程相等）→\(15x=5(x+1)\)；步骤5：解方程：去括号

→\(15x=5x+5\)；移项

→\(15x-5x=5\)；合并同类项

→\(10x=5\)→\(x=0.5\)（小时=30分钟）；验证：爸爸路程=15×0.5=7.5km，小明总路程=5×(0.5+1)=7.5km（路程相等）；答：爸爸0.5小时能追上小明。例4：同地同向追及问题题目：甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈400m。甲速度3m/s，乙速度5m/s，两人同时同地同向出发，多久后乙第一次追上甲？步骤1：分析状态——同向同地同时出发，追上时乙比甲多跑一圈（路程差=400m）；步骤2：设x秒后乙追上甲；步骤3：路程差表示——乙路程-甲路程=400→\(5x-3x=400\)；步骤4：解方程

→\(2x=400\)→\(x=200\)（秒）；验证：5×200-3×200=1000-600=400m（符合路程差）；答：200秒后乙第一次追上甲。第5页：实例解析3——复杂行程（单程往返、变速问题）例5：单程往返问题题目：一辆汽车从甲地到乙地，去时速度60km/h，返回时速度80km/h，返回时比去时少用1小时，求甲、乙两地距离。步骤1：设去时用x小时，则返回时用(x-1)小时；步骤2：路程表示——去时路程=60x，返回路程=80(x-1)（往返路程相等）；步骤3：方程

→\(60x=80(x-1)\)；步骤4：解方程：去括号

→\(60x=80x-80\)；移项

→\(80=80x-60x\)；合并同类项

→\(20x=80\)→\(x=4\)（小时）；步骤5：两地距离=60×4=240（km）；验证：返回时间=4-1=3小时，80×3=240km（往返路程相等）；答：甲、乙两地距离为240km。例6：变速行程问题题目：小明从家到学校，先以4km/h的速度步行2小时，后因迟到，改乘速度为12km/h的公交车，再用1小时到达学校，求小明家到学校的总距离。步骤1：分析状态——分段行程（步行+公交），总路程=步行路程+公交路程；步骤2：设总距离为skm（或直接计算）；步骤3：路程表示——步行路程=4×2=8km，公交路程=12×1=12km；步骤4：总路程s=8+12=20（km）（或列方程：s=4×2+12×1）；答：小明家到学校的总距离为20km。第6页：易错辨析——行程问题“雷区”错误类型错误示例（以例3为例）正确做法错误原因路程表示错误设x小时追上，列方程\(15x=5x\)\(15x=5(x+1)\)忽略小明先走1小时，未加先行路程速度单位不统一小明速度5km/h，爸爸15m/min，直接列方程统一单位（15m/min=0.9km/h或5km/h≈83.3m/min）单位不一致，计算结果无意义相遇问题公式混淆相向而行列方程\(60x-80x=350\)\(60x+80x=350\)把“路程和”误写为“路程差”追及问题逻辑错误环形跑道追及列方程\(5x+3x=400\)\(5x-3x=400\)把“路程差”误写为“路程和”往返路程忽略相等例5中列方程\(60x+80(x-1)=总距离\)\(60x=80(x-1)\)未利用“往返路程相等”的隐含条件第7页：基础练习——巩固行程问题建模甲、乙两车从相距480km的两地相向而行，甲车80km/h，乙车70km/h，同时出发后几小时相遇？解：设x小时相遇

→\(80x+70x=480\)→\(150x=480\)→\(x=3.2\)（小时）；一列火车以120km/h的速度从A城开往B城，另一列火车以100km/h的速度从B城开往A城，两列火车同时出发，3小时后相遇，求A、B两城距离。解：设距离为s→\(s=120×3+100×3=360+300=660\)（km）；小丽以3km/h的速度从家出发，1.5小时后妈妈骑车以12km/h的速度追赶，妈妈多久能追上小丽？解：设x小时追上

→\(12x=3(x+1.5)\)→\(12x=3x+4.5\)→\(x=0.5\)（小时）。第8页：拓展练习——综合行程场景甲、乙两人相距20km，甲先出发1小时，速度6km/h，乙再出发，速度4km/h，若两人相向而行，乙出发后几小时相遇？解：设乙出发x小时相遇

→

甲总路程=6(x+1)，乙路程=4x→\(6(x+1)+4x=20\)→\(6x+6+4x=20\)→\(x=1.4\)（小时）；一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行50km，用了6小时，返回时比去时少用1小时，返回时的速度是多少？解：设返回速度为v→

路程=50×6=300km→\(v=300÷(6-1)=60\)（km/h）；甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车速度70km/h，乙车速度50km/h，甲车到达B地后立即返回，在距离B地20km处与乙车相遇，求A、B两地距离。解：设相遇时间为x小时

→

甲车路程=70x，乙车路程=50x，甲车比乙车多走2×20=40km→\(70x-50x=40\)→\(x=2\)（小时）；两地距离=50×2+20=120（km）。第9页：生活应用——行程问题的实际价值情境1：旅游规划——计算两地往返的时间、速度，合理安排行程（如自驾出游时确定出发时间）；情境2：交通调度——公交车、火车的相遇、追及问题（如调度员计算两车交汇时间）；情境3：日常出行——步行、骑车、乘车的时间计算（如估算上学所需时间，避免迟到）；拓展：行程问题的建模思想在物流运输（计算货物送达时间）、航空航天（轨道计算）等领域广泛应用，是最基础且重要的数学应用模型之一。第10页：知识小结核心公式：路程=速度

×

时间（s=vt），灵活变形为v=s/t、t=s/v；建模关键：相遇问题：总路程=速度和

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时间；追及问题：路程差=速度差

×

时间；往返问题：去程路程=返程路程；解题步骤：分析运动状态→设未知数→表示路程→建立等量关系→解方程→验证；易错点：单位不统一、路程表达式错误、相遇/追及的等量关系混淆、忽略先行/后行的时间差；衔接：本节课是一元一次方程应用的重点题型，后续将学习工程问题、利润问题等，进一步强化“实际问题→数学建模”的思维，为解决综合应用题奠定基础。1.若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_____米。2.小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分。3.小明家距离火车站1500米，他以4米/秒的速度骑车到达火车站需_____分钟。上面3个小题都是关于路程、速度、时间的问题，那么它们之间有何关系呢？我们知道路程=速度×时间。知道这三个量中的两个就可以求出另一个。问题：

小明每天早上要到距家

1000

m

的学校上学。一天，小明以

80

m/min

的速度出发，出发后

5

min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以

180

m/min

的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？（1）

问题中有哪些已知量和未知量？（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？解：设爸爸追上小明用了x

min，小明家学校80×580x180x（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。据题意得80×5+80x=180x。解：设爸爸追上小明用了x

min，小明家学校80×580x180x解得x=4。180×4=720（m），1000-720=280（m）。答：爸爸追上小明用了4min。追上小明时，距离学校还有280m。找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。小明家学校80×580x180x例1小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？260起点起点260260x300x260x300x追及问题相遇问题解：（1）设小华用x

min

追上小明，根据等量关系，可列出方程260+260x

=300x。解这个方程，得x=6.5。因此，小华用6.5min追上小明。追及问题260起点260x300x（2）设小华起跑后xmin两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程260x+300x=400-260。解这个方程，得x=0.25。因此，小华起跑后0.25

min两人首次相遇。起点260260x300x相遇问题行程问题的基本类型：相遇问题：甲的路程＋乙的路程＝总路程。追及问题：追者路程＝被追者路程＋相隔距离。解：“x=-1”表示第一个容器的容积比第二个容器的容积小，水已溢出.如果第一个容器的高度增加1cm，恰好能盛下.1.两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm，我们先在第二个容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中，问：倒完以后．第一个容器中的水面离容器口有多少厘米？小刚是这样做的：设倒完以后，第一个容器中的水面离容器口有xcm，列方程π×22×（39－x）=π×42×10，解得x=-1．你能对他的结果作出合理的解释吗？2.试联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用问题。解：设第二块实验田的面积是xm²，则第一块试验田的面积是（3x+100）m².根据题意，得x+（3x+100）=2900.解得x=700.3x=100=2200.答：第一块试验田的面积是2200m²，第二块试验田的面积是700m².

3.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m²，这两块试验田共2900m²，两块试验田的面积分别是多少？解：设正方形的纸片的边长为xm，那么宽为4cm的长条的面积为4xcm²，宽为5cm的长条的面积为5（x-4）cm².依题意，得4x=5（x-4）.解得x=20.则4x=80，5（x-4）=80.答：每一个长条的面积为80cm².3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？5.如图，某种卷筒纸的外直径为14cm，内直径为6cm,每层纸的厚度为0.02cm。假如把这筒纸全部拉开,那么这筒纸的总长度大约是多少米(π取3.14)?解：设卷筒纸的宽度为xcm

40πx卷筒纸的总长度为：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)答：卷筒纸的总长度为62.8m6.某物流中转站