2026届新高考数学热点精准复习2024年高考题第16题解析几何说题

2026届新高考数学热点精准复习

2024年高考第16题

解析几何说题2024年高考第16题解析几何说题12345题意分析思想方法分析题目的价值题目的推广解题思路分析一、题意分析2024年新高考全国Ⅰ卷数学第16题，考查的内容是椭圆的离心率及标准方程，直线与椭圆的位置关系.题目如下：（一）题目呈现知识目标：本题考查的是椭圆的标准方程及离心率，直线与椭圆的位置关系，弦长公式（两点距离公式），点到直线距离公式能力目标：本题考查了逻辑思维能力，运算求解能力.通过将三角形面积问题转化为两条平行线间的距离问题进行求解来感受数形结合思想的价值，判断图形的性质，通过推理论证，发现应该先求点B的坐标，再求直线l的方程.圆锥曲线问题需要考生具有很强的逻辑推理能力和运算求解的能力.（二）题目分析一、题意分析学科素养：本题考查的学生素养是理性思维和数学运算.考生通过将三角形面积问题转化为两条平行线间的距离问题进行求解来考查逻辑推理；通过两平行线之间的距离先求出满足条件的点B的坐标再来求直线l方程，调整运算方向，考查数学运算.题目的背景：本题是综合性题目，属于课程学习情境，具体是数学运算学习与数学推理学习情境，本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质及标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，侧重于三角形面积为定值时求直线的考查.一、题意分析（二）题目分析2024年高考第16题解析几何说题12345题意分析思想方法分析题目的价值题目的推广解题思路分析二、解题思路分析(1)第一问已知椭圆标准方程形式及两个点的坐标，利用待定系数法，列两个方程求椭圆的这两个未知数，进而求椭圆的半焦距，最终求出椭圆的离心率.灵活处理的方法突破点在于观察几何对象的特征，理解是A点是椭圆的上顶点，可以适当简便运算.具体解答如下：二、解题思路分析二、解题思路分析二、解题思路分析解题思路一：问什么设什么，点B坐标设而不求，直接求直线l方程.二、解题思路分析解法一思路常规清晰，求解的重点在于直接求直线l的方程，但消元转化为统一变量后式子繁琐复杂，运算量好大，很难计算结果，好想难算.其原因是底和高都在变。以BP为底二、解题思路分析解题思路二：先求点B坐标，再求直线l的方程.直角坐标(m,n)参数坐标(三角换元)两平行线间的三角形同底等高面积相等，转化为两平行线的问题直线l的方程点B坐标点B在椭圆上转化解法二解法三解法四点B到直线AP的距离为定值面积为定值AP为定长转化不变量解题思路二把AP作为底，底不变高在变，把问题转化为点B到直线AP距离为定值的问题，抓住问题本质是求点B坐标，从而调整运算方向，优化运算.以AP为底二、解题思路分析解题思路三：利用直觉思维，找到面积为9的三角形及点B，再求直线方程.已知坐标有“3”面积9=3×3△APB面积是△AOP面积的2倍延长边长，找到符合条件的△APB点B在极端位置，特殊位置点B坐标直线l方程直觉思维几何性质三角形面积比可转化为边长比解法五解题思路三通过几何眼光解决几何问题，通过三角形面积比转化为边长比的几何性质，巧妙运算.具体解题过程：容易遗漏形式复杂，畏难止步不前具体解题过程：易想难算具体解题过程：抓住“不变量”具体解题过程：解法三：（上同解法二）具体解题过程：解法四：（上同解法二）具体解题过程：灵活运用面积比的性质，以及在特殊位置寻找答案具体解题过程：具体解题过程：2024年高考第16题解析几何说题12345题意分析思想方法分析题目的价值题目的推广解题思路分析三、思想方法分析（1）数形结合的思想，转化与化归思想：通过作图，直观想象到两平行线之间的三角形同底等高，面积相等，体现了数形结合思想；将三角形面积问题转化为两条平行线间的距离问题进行求解，把几何问题转化为代数运算问题，体现了转化与化归思想.（2）逻辑思维能力，理性思维：通过将三角形面积问题转化为两条平行线间的距离问题进行求解，判断图形的性质，通过推理论证，发现问题的实质是求点B的坐标，再求直线的方程.三、思想方法分析（3）数学运算的核心素养：通过对三角形面积问题不同角度的审视，找到不同的解决问题的思路，但是不同解法间运算量差异很大.所以通过对几何对象几何性质的分析，把握问题实质，调整运算方向，优化运算，不仅要“会算”，更要“巧算”.（4）直觉思维，特殊化思想，极端思想：题目中点的坐标和三角形面积数据相关性强，可以考虑在特殊的位置或极端位置找到符合条件的点B，直击问题实质，进而解决问题.2024年高考第16题解析几何说题12345题意分析思想方法分析题目的价值题目的推广解题思路分析四、题目的推广

解析几何是用代数方法解决几何问题，但本质还是几何问题.而几何问题本质是平面几何图形的几何性质的应用.

该题对教学有很好的导向作用——回归基础，回归数学不变性，高考反“套路”反“刷题”，平时教学一定要扎实的从简单到复杂，从单一到综合的组织内容，给学生提供归纳、概括的机会.

在“三角形、四边形面积问题”的教学中，可以做以下的任务单让学生体会从不同角度不同问法的分析、比较，研究图形的几何特征，以掌握处理代数式的一般方法，明确不同方法的差异与联系.四、题目的推广椭圆上的点到直线的距离转化两平行线之间的距离问题转化为三角形面积定值或最值（取值范围）问题扩展为圆锥曲线上点到直线的距离及其他问题四、题目推广四、题目推广动点或动直线产生的三角形面积最值问题或存在性问题2023年新高考全国II，52020年新高考全国II，212019年新高考全国III，理21高考链接圆锥曲线中三角形面积是定值，求满足条件的点或直线方程变式1,2,32024年新高考全国I，16椭圆上的点到直线的距离转化为三角形面积定值或最值（取值范围）问题题目原型人教版新教材高中数学选择性必修第一册，第116页，习题3.1第13题变式4,5三角形、四边形面积问题单一简单综合复杂2024年高考第16题解析几何说题12345题意分析思想方法分析题目的价值题目的推广解题思路分析五、题目的价值

解析几何是用代数方法解决几何问题，但本质还是几何问题.深刻理解常见平面图形（三角形，平行四边形，梯形，圆形）的几何性质，合理优化运算方向，以简便运算.在本题的启发和引导下，应注意以下五个原则：（一）通性通法不等同于解题“套路”“步骤”，要避免机械刷题（二）观察题目中几何条件的“不变量”是优化运算的突破口（三）利用特殊位置极端位置突破几何问题（四）夯实平面几何图形基础，切忌盲目背诵二级结论

(五)加强运算能力的教学和培养五、题目的价值（一）通性通法不等同于解题“套路”“步骤”，要避免机械刷题

这道题考生容易掉入的常规思维陷阱，看到问直线方程不做进一步分析，机械化地应用解析几何中直线与曲线的位置关系的步骤.以为思路清晰，反而因为运算困难把这种套路刷题的考生筛选出来.这也是高考试题所要达到的目标，反“套路”，反“刷题”，淘汰机械刷题的考生.五、题目的价值（二）观察题目中几何条件的“不变量”是优化运算的突破口

想要减小运算量，首先要通过数形结合观察题目的几何条件是否有“不变量”.题目中给定三角形面积和其中一边为定值，则对应的高也为定值.明确了问题的实质是点B的坐标.又通过三角形同底等高面积相等这一几何性质可知，推理出点B在与AP平行的直线上，把问题转化为通过与平行的直线的方程求出点坐标，最后求出问题所求的直线方程.（解法四）这样减少运算量和降低运算的难度，真正体现了运用几何性质引导运算方向的作用.五、题目的价值（三）利用特殊位置极端位置突破几何问题

解析几何的核心是几何，几何问题常常在特殊位置或者极端位置能找到解决问题的突破口.观察到已知两个点的坐标都有数字“3”，所给定三角形的面积为“9=3×3”，数字相关性大，能否在特殊位置（顶点对称点等）构造出符合条件的三角形呢？又发现三角形ABP的面积是三角形AOP的面积的2倍，由两个同底（或等高）的三角形面积比等于高（或底）的比，容易发现下顶点和P的中心对称点满足条件，进而解决问题.（也就是解法五）思路巧妙，运算量小.

（四）夯实平面几何图形基础，切忌盲目背诵二级结论

高考趋势就是回归基础，回归数学不变性，反“套路”，反“刷题”，在解析几何问题中要要更夯实平面几何图形基础，训练以几何眼光解决几何问题的能力,切忌盲目背诵二级结论.比如本题的解法四解法五都是从三角形面积关系中发现解题的突破口，而没有应用二级结论.其次，解析几何在解答题位置的改变，也意味着任何板块的知识都需要重视基础性.最后，问题的答案不是目的，解决问题的过程才是目的.解决问题过程中如何把复杂问题转化或化归成简单问题,才是训练数学思维的目的.五、题目的价值

(五)加强