高等数学微积分期末试卷及答案

大一高等数学微积分期末试卷

选择题(6X2)

1.即(©=2叩,gCr)=(；严在区间(0彳)内()。

A/(x)是增函数，g(x)是减函数

B/(x)是减函数，g(x)是增函数

C二者都是增函数

D二者都是减函数

2、x->OH寸，一cosx与sinx相比是()

A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小

3、x=0是函数y=(1-sinx)'的()

A连续点B可去旬断点C跳跃间断点D无穷型间断点

4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()

n

AXn=(-l)--BXn=sin

n2

CXn=[(o>l)DXn=cosl

an

5、若尸'(x)在X。处取得最大值，则必有()

Af，(X0)=。B-

C—且f"(Xo)<0DF(Xo)不存在或『氏)二0

(4)

6、曲线y=xe厂()

A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线

C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线

1~6DDBDBD

一、填空题

1、d()=—dA

x+1

2、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=』相切。这条直线方程为:

x

x

3、函数y=；^?的反函数及其定义域与值域分别是：

2+i

4、丫=次的拐点为：

5、若lim"-2,则6加勺值分别为:

ex?+2x-3

32

1In|x+l|;2y=x-2x;3y=log2^-,(0,1),R;4(0,0)

(x-l)(x+w)..x+m1+m-

lim------------------=lim--------=--------=2

5解：原式=—(x-l)(x+3)—x+34

in=7:.b=-7,a=6

二、判断题

1、无穷多个无穷小的和是无穷小()

2、1淅咄在区间(-oo,+oo)是连续函数()

x->0x

f

3、f(x0)=0一定为f(x)的拐点()

4、若f(X)在X。处取得极值，则必有f(x)在X。处连续不可导()

5、设函数f(x)在[0,1]上二阶可导且

尸(幻<0令A=A<0),B=/n),C=/(l)―/(O)^l@^A>B>C()

1~5FFFFT

三、计算题

I

1用洛必达法则求极限lim—/

AM店—..e'er(-2x)/

解：原式=hm—；—=hm--------------=hm^'=+oo

XTOIx->0A->0

2若/3)=(d+10)\求"(0)

f\x)=4(X3+IO)3•3/=12x2(x3+10)3

解:f\x)=24x(7+10)3+124・3.(%3+10)2•3x2=24x•(x3+10)3+108x4(x3+10)2

.*./"U)=0

4

3求极限1EJ(COSXV

44,

s

.T,H4—I«COSA-]imh"8x

解：原式二lime*=

xf0

1/.、

-(-sinx)

4Ineosx-tanx--x-

•/lim—Incosx-lim9lima---l-i-m---------=lim——=-2

xf0JCX-0X"XT。xXT()XDX

-4222

.•・原式=]

4求y=(3x-l)3J土」■的导数

Vx-2

解:Iw|y|=—/n|3x-l|+—/n|x-l|--Zn|x-2|

322

J=53]_J___J_

yy33x-l+2x-\2x-2

y'=(31"借13Al2(1)2(尢1-2)

5tan3xdx

解；原式二「an2xtanxdr=J(see2%-l)tanxdx

=jsec2/tanxdx-Jtanxdx

sinx,

二Jtanxdtan%-j-----ax

cosx

1,

=jtanxdtanx-j-----acosx

cosx

」tan2x+/〃|cosx|+c

2

6求Jxarctanxdx

解：原式二gJarctanxd(x2)=^(x2arctanx-jx2darctanx)

12rx"+l—1,

=—(zx"arctanx--------dx)

2J1+x2

x2arctanx-|(l-----^—)dx

21I八

1+x2X

-------arctanx——+c

22

四、证明题。

1、证明方程丁+x—1=0有且仅有一正实根。

证明：设，。）=丁+入.一］

•・•/（0）=-］<0,/（1）=1>0,即*）在［0,1］上连续

至少存在&e（0,1）,使得TC）=0

即/（幻在（0,1）内至少有一根，即/（幻=0在（0,+oo）内至少有一实根

假设/0）=0在（0,4-00）有两不同实根X］,X2，%2

•・・/（幻在［.，看］上连续，在（工2，±）内可导

且m）=/（/）=（）

二.至少北£（出，々），S«t/（^）=0

而产修）-31+11与假设相矛盾

方程7+］_1=0有且只有一个正实根

2、证明arcsinx+arccosx=—(-1WxWD

2

证明：设/(x)=arcsinx+arccosx

“正卷-卷心

z.f(x)=c=/(0)=arcsin0+arccos0=—

71

/(I)=arcsin1+arccos1=—

71

/(-I)=arcsin(-l)+arccos(-l)=—

冗

二.综上所述,/(x)=arcsinx+arccosx=~^fXG[-1,1]

五、应用题

1、

2、描绘下列函数的图形

1

y=x~+—

x

解：l.Dy=(-oo,0)u(0,+x)

c,c12x3-i

2.y'=2x--=——

rx

令V=0得工=打

)一-2Z+十-3

vX

令y“=0,得X=_l

3.

X(-°0,-1)-1(-1,0)0

(few)

(05<5)^5

不存

Y'II—+

在

Y”+0++

拐点

y,凹(-1,/凸,凹极小/凹

0)

7179

4.补充点(一2,：).(一不一Q.(1,2).(2,Q

2222

5lim/(x)=co,/(x)有铅直渐近线¥=0

解：Df(x)=R

f\x)=2x--=2d(x+1)(r£0)

XX

令f'(x)-o,得r=-1,超=i

X(-8,」)-1(-1.0)0(0,1)1(I")

Y'0+不存—0+

在

极