高二数学下学期学段一质量检测试题

江苏省宜兴市张渚高级中学2020-2021学年高二数学下学期学段一

质量检测试题

一、单项选择题(木大题共8小题，每小题5分，共计40分.)

1.设2=1^+2"则忖=()

A.0B.-C.1D.y/2

2

2.设函数/(x)=V+x,则曲线y=/(x)在点((),())处的切线方程为()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

3.从5名男医生和5名女医生中选3人组队参加援汉志愿者医疗队，其中至少有一名女医

生入选的组队方案数为()

A.180B.110C.100D.120

4.[1+：)(1+2幻4展开式中f的系数为()

A.10B.24C.32D.56

5.2021年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额

分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种

数为()

A.462B.126C.210D.132

6.设复数z满足条件回=1,那么|z+20+i|的最大值是()

A.43.16C.2D.2a

什In2,In3In5

7.右ci=---b=---,c=----,则a,b,c的大小关系为()

235

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c

8.满足C：+2C：+3C；+L+〃C,；＜2020的最大自然数〃=()

A.7B.8C.9I).10

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.)

9.已知复数z=(a-i)(3+2i)(a£R)的实部为一1,则下列说法正确的是()

A.复数z的虚部为-5B,复数z的共视复数N=l—5,

C.|z|=V26D.z在复平面内对应的点位于第三象限

10.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多

少种？下列结论正确的有（）.

A.C\C\C\C\B.C.&I）.18

11.中国南北朝时期为著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设“，h利（m＞0）

为整数，若。和。被勿除得的余数相同，则称。和〃对模m同余，记为a=0（mod"?）.若

220

«=C?o+C；o.2+C^0.2+...+C^.2,〃=b（mod8）,则〃的值可以是（）

25B.2026C.2017D.2018

12.关于函数/（x）="+〃sinx,xw（一",+8）,下列说法正确的是（）

A.当。=1时，/⑴在（0,7（0））处的切线方程为2一了+1=0；

B.当〃=1时，存在唯一极小值点与，且一1＜一（/）＜（）;

C.对任意。＞0,/（X）在（—乃,+0。）上均存在零点；

D.存在avO,/*）在（-）,+oc）上有且只有一个零点.

三、填空题（本大题共4小题，母小题5分，共计2C分.请把答案填写在答题卡相应位

置上）

13.用。、1、2、3、4、5这六个数字可以组成不重复的四位偶数有个.

14.已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i

为虚数单位）：

LZZ2

甲：z+z=2；乙：z-z=2v3z；丙：z-z=4；「：—=一.

z2

在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=.

15.在二项式（«+金尸的展开式中，有理项的个数为.

16.己知函数〃x）=。?一若函数在单调递增，则实数。的取值范

围是•

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

z=bi（b£R）,三二是实数，i是虚数单位.

1+Z

（1）求复数Z;

（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数〃［的取值范围.

18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（2）全体排成一排，女生必须站在一起；

（3）全体排成一排，男生互不相邻.

19.已知（卬7+3^）〃展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

⑴求展开式中二项式系数的最大项；（2）求展开式中系数最大的项.

/(x)=ex-a(x-\),其中。£R,e为自然对数底数.

(1)讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间；

(2)已知〃£/?,若函数/(X)之力对任意都成立，求。山的最大值.

21.自2020年以来.由于新冠疫情.网络教学已成为前期学生获取知识的主要途径,假设

某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式

)，二*一+4(九一6)2,其中2vxv6,加为常数.已知销售价格为4元/套时・，每日可售

x-2

出套题21千套.

(1)求勿的值：

(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，

试确定销售价格x的值，使网校每口销售套题所获得的利润最大.(结果保留1位小教)

22.己知函数/'(x)=alnx—/+(2a—l)x,其中a£R.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若函数Ax)有两个不同的零点，求a的取值范围.

2021年春学期张渚高级中学高二年级学段一质量检测

高二数学试卷

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.)

1.设2=1+2晨则忖=(C)

A.0B.-C.1I）.>/2

2

2.设函数4x）=/+x,则曲线y=/（x）在点（0,0）处的切线方程为（D）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

3.从5名男医生和5名女医生中选3人组队参加援汉志愿者医疗队，其中至少有一名女医

生入选的组队方案数为（B）

A.180B.110C.100D.120

4.（l+_）（l+2x）4展开式中一的系数为（D）

A.10B.24C.32I）.56

5.2021年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额

分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给•个名额，则关于分配方案的种

数为（B）

A.462B.126C.210D.132

6.设复数z满足条件忖=1,那么卜+2夜+/］的最大值是（A）

A.43.16C.2D.2&

7.若。=皿，h=—tC=—,则/b,c的大小关系为（D）

235

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c

8.满足C；+2C：+3C；+L+〃C；<2020的最大自然数〃=（B）

A.7B.8C.9D.10

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.）

9.已知复数z=（a—i）（3+2i）（acR）的实部为一1,则下列说法正确的是（ACD）.

A.复数z的虚部为-5B.复数z的共桅复数彳=1一5，

C.|Z|=A/26D.z在夏平面内对应的点位于第三象限

10.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多

少种？下列结论正确的有（BC）.

A.C\C\C\C\B.C.c*cXD.18

11.中国南北朝时期［著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设〃，h

为整数，若。和被勿除得的余数相同，则称〃和人对模川同余，记为。=〃（mod〃z）.若

220

a=C^0+C；o.2+C"0.2+...+C^.2,。二/mod8）,则力的值可以是（AC）

25B.2026C.2017D.2018

12.关于函数/（x）="+asinx,XG（-^,+X）,下列说法正确的是（ABD）

A.当a=l时,/（x）在（0J（0））处的切线方程为2x—y+l=0；

B.当。=1时，存在唯一极小值点％,且一1</（/）<0；

C.对任意a>0,/（久）在（一肛口）上均存在零点；

D.存在avO,/（x）在（-匹+<功上有且只有一个零点.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计2C分.请把答案填写在答题卡相应位

置上）

13.用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成不重史的四位偶数有156个.

14.已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i

为虚数单位）：

2

lzz

甲：z+z=2；乙：z-z=2y/3i；丙：z-z=4；T：—=一.

z2

在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=_l+i

15.在二项式（五十2严的展开式中，有理项的个数为_3—.

16.已知函数/（x）=ar=xlnx,若函数人力在单调递增，则实数。的取值范

国是—,+co

2

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

z—2

z=bi(bsR),--是实数，i是虚数单位.

1+i

(1)求复数z；

(2)若复数(m+z『所表示的点在第一象限，求实数〃?的取值范围.

AO+J-田％,6gj-.uz—2bi—2(Z?z—2)(1—z)b—2b+2.

17.解析(1)因为z=〃，(〃eR),所以---=------=-------------=------1--------1.

1+z1+/(1+/)(1-/)22

又因为三二2是实数，所以处2=().

1+/2

所以〃=-2,即z=-2i.........................................................5分

(2)因为z=—2i,mwR,所以(〃z+z)2=(m-2z)2=m2-4加+4/=_4)-4加,

又因为复数。〃+z)2所表示的点在第一象限，所以＜'解得加＜一2,

[-4阳〉0,

即实数机的取值范围为(-8,-2)..........................................................10分

18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(2)全体排成一排，女生必须站在一起；

(3)全体排成一排，男生互不相邻.

18.解析(1)先排甲，有5种方法，其余6人有A：种排列方法，共有5xA：=3600

(种)..................................4分

(2)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A：种方法，再将女生全排列，有A：

种方法，共有A：・A：=576(种)...............................8分

(3)先排女生，有A：种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，

有A；种方法，共有A：・A；=1440(种)...............................12分

19.已知(切+3"尸展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项.

19.解析：(1)令x=l,则二项式各项系数和为(1+3尸=4、

展开式中各项的二项式系数之和为2".

由题意，知4"-2°=992.・•・(2")2—2"—992=0.)•⑵+31)(2"—32)=0.

・・・2"=-31(舍)或2"=32,・・・〃〃=5为奇数，....................4分

2

・•・展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是石=仁(后尸(3父)2=90凡5=比

2

(疝)2(3*M=270请.....................................................6分

2

⑵展开式通项公式为。+尸/3'・(石严(*)r=c-3「•旨与

♦31,

假设4+1项系数最大，则有］弓3,2仁+1■3z+l,..................................8分

5!5!______(31

(5—7)!r\X32(6—?)!(7•-1)!»J_r26一尸79

5!5!_______AI13

{(5—r)!r!2(4—?)!(r+1)!义3.15—1-

.\r=4,..........................................................................................10分

104X416

・••展开式中系数最大项为4=C：-34•=405T.......................12分

f(x)=ex-a(x-\),其中为自然对数底数.

(1)讨论函数/(X)的单调性，并写出相应的单调区间；

(2)已知〃£/?,若函数/")之〃对任意都成立，求出?的最大值.

20.解：(1)V/'(X)=e'-6Z,

①当aWO时，函数/(x)在R上单调递增：..........2分

②当4>0时，由/'(/)=已’一〃=()得工=1114,

・•.xw(7o,ln。)时，/,(x)<0,〃x)单调递减；x€(lna,+oo)Bt,/'(x)>0,f(x)

单调递增.

综上，当时，函数f(x)的单调递增区间为(—8,+8)；当〃>0时，函数.f(x)的单

调递增区间为(Ina,+8),单调递减区间为(—8,hia)............6分

(2)由(1)知,当。＜0时，函数/(X)在R上单调递增，

・・・/(同2。不可能恒成立；.......................................7分

当。=0时，bWO,此时。h=()；..............................8分

当。＞0时，由函数对任意X£R都成立，得力在工.(工)，

,•*/min[x)=f(\nci)=2a-a\na,：,b^2a-a\na/.ab^la2-a2\na.......10分

设g(a)=2/一/Ina(4＞O),/.g'(a)=4a-(2〃lna+a)=3a-2alna,

3

由于。＞0,令g'(4)=0,得ln〃=Q,67=el,

/3\/3\

当“e0,c2时，g(a)单调递增；“WC2,-HX＞时，g(a)〉O,g(a)单调递

减.

33°1?

，gmax(a)=一e，即岫的最大值为e一，此时a=e2,〃=—e?...........12分

222

21.自2020年以来，由于新冠疫情，网络教学已成为前期学生获取知识的主要途径，假设

某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格/(单位：元/套)满足的关系式

)，=一"一+4。-6)2,其中2vxv6,加为常数.己知销售价格为4元/套时，每日可售

x-2

出套题21千套.

(1)求勿的值；

(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，

试确定销售价格*的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(结果保留1位小数)

21.解：(1)因为x=4时，y=21,代入关系式)，=』一+4*-6)2,

x-2

得3+16=21,解得加=10............................2分

2

(2)由(1)可知，套题每日的销售量丁=A-+4(x—6)2,

x-'2

所以每口销位套题所获得的利润

/(x)=(x-2)-^-+4(x-6)2=10+4(X-6)2(X-2)

_x-2

-4--561+240x-278(2<x<6).......................................................................6分

2

从而f(x)=12x-112A+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).

令r(x)=(),得x=¥，且在(2,弓)上，f\x)>0,函数/(x)单调递增；

(10)

在［l,6j上，r(幻<(),函数/*)单调递减，

所以x=¥是函数f(x)在Q,6)内的极大值点，也是最大值点，

所以当工二§才3.3时，函数/(外取得最大值................................10分

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大...............12分

22.已知函数f(x)=alnx—(2a—1)x，其中a£R.