3.6 三元一次方程组（举一反三讲义）（教师版）

专题3.6三元一次方程组（举一反三讲义） 【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三元一次方程（组）的定义】 2【题型2消元法解三元一次方程组的步骤判断】 4【题型3解三元一次方程组】 6【题型4求三元一次方程组中字母的值】 10【题型5三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】 12【题型6构造三元一次方程组求值】 14【题型7由两个三元一次方程求值】 15【题型8判断三元一次方程（组）的解】 17【题型9三元一次方程（组）的应用】 19知识点1三元一次方程组的相关概念1.三元一次方程含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．2.三元一次方程组（1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．（2）三元一次方程组需具备的3个条件①含有三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；③是整式方程组．三者缺一不可．3.三元一次方程组的解（1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．（2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解．知识点2三元一次方程组的解法1.解三元一次方程组的基本思路用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组．解三元一次方程组的一般步骤（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起．【题型1三元一次方程（组）的定义】【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（

）A．x+y-z=6x-3y+2【答案】D【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可．【详解】解：A．x+B．x+C．x+D．方程组x+6故选：D．【变式1-1】下列方程中，是三元一次方程的是（

）A．y＝2015＋2x B．x＋y＝1C．xy＝12z D．x＋y－z＝【答案】D【解析】解：根据三元一次方程的定义，x＋y－z＝2015是三元一次方程，故选D.【变式1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（

）A．a=1b=2b-c=3 B．【答案】A【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得．【详解】解：A、a=1B、方程组x+y=2C、方程组4x-3D、方程组xy+z=3故选：A．【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟记三元一次方程组的概念是解题关键．【变式1-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）若a+1x+5A．a=1,b=0C．a=±1,b=0【答案】A【分析】本题考查了三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零．【详解】解：∵a+1∴a+1≠0，b+1=1，即a≠-1，b=0，a=1即a∴a=1，b故选：A．【题型2消元法解三元一次方程组的步骤判断】【例2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组3x+2y+z=392x+3y+32139A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0【答案】A【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可【详解】解：3由②×3，得6x由④-①，得3x由⑤-①，得5y∴a=24由③×3，得3x由⑥-①，得4y∴b=4故选：A．【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．【变式2-1】三元一次方程组2a+bA．5a-2b=19a+b=1【答案】A【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数c可得5a【详解】解：2a②-③得：3a+3b③×3+①得：5a∴5a故选A【变式2-2】解三元一次方程组：a+具体过程如下：(1)②－①，得b＝2，(2)①×2＋③，得4a－2b＝7，(3)所以b=2(4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)．其中开始出现错误的一步是()A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)【答案】B【分析】根据所给提示进行计算验证即可.【详解】解：第（2）步①×2＋③，得4a-b=7,所以第（2）错误,故选B.【点睛】本题考查解三元一次方程组,中等难度,熟悉解三元一次方程组的一般步骤即可解题.【变式2-3】解方程组3x-y+A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②C．加减法消去z，将①＋②与③＋②D．代入法消去x，y，z中的任何一个【答案】C【分析】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.【详解】解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②故选C.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.【题型3解三元一次方程组】【例3】三元一次方程组x+y+【答案】x【分析】利用消元法求解三元一次方程组即可．【详解】解：x由y:x由y:z将x=23y，z解得y将y=45分别代入x=23y，则方程组x+y+故答案为：x=30【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组．【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组：(1)x(2)4(3)x(4)3【答案】(1)x(2)x(3)x(4)x【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．（1）把③-①消去x，得出关于y，z的二元一次方程组求解，然后把y=15.5代入①求出x（2）把②×2-③消去y，得出关于x，z的二元一次方程组求解，然后把x，z代入③求出y的值；（3）①+②+③，得x+y+z=6④，用④分别与①（4）①+②，得5x+2y=16④，③+②，得3x+4y=18⑤，联立④⑤，得出关于x，y的二元一次方程组求解，然后把【详解】（1）x③-①，得z联立②④，得y解得y把y=15.5代入①x∴x∴x（2）4②×2-③，得5联立①④，得4x-把x=5z=5+2∴y∴x（3）x①+②+③，得x用④分别与①，②，③相减，得z∴x（4）3①+②，得5③+②，得3联立④⑤，得5解得x把x=2y=32+3+∴z∴x【变式3-2】若x，y，z同时满足：x+y=13，【答案】59【分析】利用加减消元法求出x，y，z的值，再代入计算即可．【详解】解：x+y=13①，y①+②+③得：x+∴x+④-①得：z=2，④-②得：x=3，④-③得：y=10∴3x故答案为：59．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．【变式3-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B、C各代表一个数，已知A-B=8，A+B=14，C=A．10、2、22 B．11、3、25 C．11、8、30 D．12、2、26【答案】B【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的关键思想是消元，常用的消元方法有代入消元法、加减消元法，本题中首先①+②消去未知数B求出A=11的值，再②-①消去未知数A求出B=3，再把A=11和B=3代入【详解】解：由题意可得：A-①+②得：2A解得：A=11②-①得：2B解得：B=3把A=11和B=3代入③得：∴A=11，B=3故选：B．【题型4求三元一次方程组中字母的值】【例4】已知x=1y=2z=3是三元一次方程组axA．92 B．6 C．9 D．【答案】A【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，转化新方程组解答即可．【详解】∵知x=1y=2∴a+2三式相加，得4a解得a+故选A．【变式4-1】关于x，y，m的方程组3x-yA．5 B．-5 C．6 D．【答案】A【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把x=1y=1m=2代入方程x【详解】解：把x=1y=1m=2∴n=3∴m+故选：A．【变式4-2】已知方程组3x-y=52x+y-z=0A．a=-2b=-3c=1 B．a=-2【答案】D【分析】将两方程组中不含a，b，c项的方程联立，求出x，y，z的值，代入两方程组中的含a，b，c项的方程中得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值．【详解】解方程组3x解得x=1y代入可得方程组4a-解得a=2故选D．【点睛】此题考查了三元一次方程组的解，解三元一次方程组的方法是进行消元，化为二元一次方程组，再进行求解，三元一次方程组的解必须同时满足方程组中的三个方程．【变式4-3】已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组mx-ny-z=72nx-3A．125 B．119 C．113 D．71【答案】C【分析】把x、y、z的值代入方程组，求出m、n、k的值，最后代入求出代数式的值即可．【详解】∵x=2，y=﹣1，z=﹣3是三元一次方程组mx-ny-z=72nx-3y-2mz=5x+y+z=k的解，∴代入得：2m+n+3=74故选C．【点睛】本题考查了方程组的解、解三元一次方程组、求代数式的值等知识点，能求出m、n、k的值是解答此题的关键．【题型5三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组3x-y=5①2x+3y=7②，求x-4y的值．本题常规解题思路是，解方程组得(1)【模仿应用】已知方程组3x-y(2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？(3)【拓展延伸】对于有理数x，y，定义新运算x*y=ax+【答案】(1)19(2)30元(3)-【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．（1）将方程②×2+①即可求解；（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解；（3）由题意列出方程组3a+5b【详解】（1）解：解：3②×2得，4x①+③得，7x（2）解：解：设一支铅笔的单价为x元，一块橡皮的单价为y元，一本日记本的单价为z元，根据题意得，20①×2得，40x③-②得，x+④×5得，5x答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元；（3）解：解：根据新定义运算得，3①×3-②×2得a+∴1*1=a【变式5-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知三元一次方程组2x+y=52A．5 B．20 C．15 D．10【答案】D【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可．【详解】解：2x①+②+③，得：3x∴x+故选D．【变式5-2】若x+y=y+【答案】3【分析】已知等式变形得到三个等式，相加即可确定出所求式子的值．【详解】根据题意得x+①+②+③得：2x解得：x+【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-3】若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a、b、【答案】6【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键．根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解．【详解】解：∵3△6=16，3①+②，可得：10a∴5a∴5△4=5a故答案为：6．【题型6构造三元一次方程组求值】【例6】已知x、y、z满足x-2-z+3【答案】13【分析】根据非负数的性质可得x-2-z=03x-【详解】解：∵x-∴x-解得x=3∴x+故答案为：133【变式6-1】在等式y=ax2+bx+c中，当x=0【答案】5【分析】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值，根据题意可列得三元一次方程组，求出三元一次方程组的解，再把a、【详解】解：由题意可得，c=1解得a=-3∴a+故答案为：52024【变式6-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知|x-6y|+3【答案】5【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．【详解】解：由题意得x-6y故x+故答案为：52【变式6-3】如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为．【答案】3【分析】本题考查了等式的性质、三元一次方程组，设每个球体的质量为a，每个正方体的质量为b，每个圆柱体的质量为c，根据天平可得2a+b【详解】解：设每个球体的质量为a，每个正方体的质量为b，每个圆柱体的质量为c，根据题意得，2a+b根据等式的基本性质2，将2b=4c的两边同时除以2将b=2c代入2a根据等式的基本性质1，将2a+2c=5c∴与2个球体质量相等的圆柱体的个数为3，故答案为：3．【题型7由两个三元一次方程求值】【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知xyz≠0，满足x+4y-3z=0【答案】1:2:3【分析】本题考查解三元一次方程组，把z当作常数，解关于x、y的方程组，求出x、y的值，再求出比值即可．【详解】解：x+4由①得，x=-4y将③代入②，得4(-4y整理得，y=将y=23z代入∴x∴x故答案为：1:2:3．【变式7-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知2x+y-7z=0，【答案】-【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可．【详解】解∶联立2x+y得2x解得x=2∴2x故答案为∶-8【变式7-2】若2x+3y+4z=10且【答案】4【分析】已知两式相减就将系数都化为2，两边除以2即可得出结果．【详解】解：2①-②得，2∴故答案为：4．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将系数化为相同，便于整体计算．【变式7-3】已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+【答案】1【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和．【详解】解：要使S取最大值，2x+y∵x、y、z是三个非负整数，∴z=0解方程组3x解得：x=1∴S的最大值=2×1+1-0=3；要使S取最小值，联立得方程组3x①+②得4x∴y①-②×2得，x+3∴z=把y=7-4x3，整理得，S=x+2，当x∵x、y、z是三个非负整数，∴x的最小值是0，∴S最小值∴S的最大值与最小值的差：3-2=1；故答案为：1【题型8判断三元一次方程（组）的解】【例8】方程组x+A．无解． B．有1组解． C．有2组解． D．有无穷多组解．【答案】A【分析】本题考查了三元一次方程组，利用“加减消元法”即可求解．【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为：x将①+②可得，2将③和④联立可得：2由于30≠40，所以原方程组无解．故选：A．【变式8-1】三元一次方程x-y+A．{x=1y=1z=3 B．{【答案】D【分析】把x、y和z的值代入方程检验即可．【详解】因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以把A、B、C、D选项中x，y与z的值代入方程x-y+z故选：D【变式8-2】三元一次方程x+y+A．2组 B．4组 C．6组 D．8组【答案】C【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可．【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．故选：C．【变式8-3】三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（

）A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个【答案】C【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案．【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解；∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝2001×20002＝故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解【题型9三元一次方程（组）的应用】【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备A，B，C三种类型的食物共食物类型ABC每名志愿者准备量（份）689(1)如果C类型食物安排了16名志愿者，那么A，(2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案．【答案】(1)A，B两种类型食物各需13名，(2)见解析【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．（1）设A，B两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共（2）设A，B，C三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40【详解】（1）设A，B两种类型食物各需x名，x+解得x=13所以A，B两种类型食物各需13名，（2）设A，B，C三种类型的食物各需x，x+①×9-②得：3x∴y=50-3∵每种类型的食物至少安排11名志愿者，∴当x=11时，y当x=12时，y当x=13时，y所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人．【变式9-1】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需420元，购买甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．200元 B．300元 C．350元 D．400元【答案】A【分析】本题考查了方程的实际应用，根据题意设甲、乙和丙三种商品每件钱数为x、y和z元，得到方程组3x【详解】解：设甲、乙和丙三种商品每件的单价为x、y和z元，根据题意可列方程为3将①+②可得4x即x+答：购买甲、乙、丙三种商品各一件共需200元．故选：A．【变式9-2】已知青铜含有80%的铜，4%的锌和16%的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有74%的铜，16%的锌和10%的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（

）A．13:7 B．15:8 C．16:9 D．17:10【答案】C【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是x，锌的百分比是y，青铜在混合物中的百分比是z，根据题意列出方程组为{16%【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是x，锌的百分比是y，青铜在混合物中的百分比是z，根据题意得