第三章 一次方程与方程组（举一反三单元测试·拔尖卷）（教师版）

第三章一次方程与方程组·拔尖卷【沪科版2024】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若x-2y+92与x-A．3 B．9 C．12 D．27【答案】D【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及非负数的性质，先根据相反数的定义列出关于x、y的方程，求出x、y的值再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x-2y∴x-而x-2y∴x-解得x=15∴x+故选：D．2．（3分）二元一次方程组x+y=3ax+2A．-6 B．-8 C．8 D【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．先把a看作已知数求出x=-2a【详解】解：对方程组x+②－①×2，得a-∴x=-∵关于x、y的方程组x+∴a-2=±1,±2,，即∴满足条件的所有a的值的和为0+1+3+4=8．故选：C．3．（3分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）按照下面的程序计算：当输入x为32时，输出结果为155；当输入x为11时，输出结果为245；若输入的x的值为正整数，输出结果为45，那么满足条件的x的值最多有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解一元一次方程；分情况考虑，45是一次输出的结果；45是两次运算输出的结果；45是三次运算输出的结果；分别利用一元一次方程求解即可．【详解】解：若45是一次计算输出的结果，则5(x解得：x=10若45是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为45，故5(x解得：x=3若45是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为3，第三次输出的结果为45，故5(x解得：x=由于输入的x的值为正整数，故满足条件的x的值最多有2个；故选：B．4．（3分）（24-25七年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程k-3xA．10 B．-4 C．4 D．6【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了整数的定义．根据方程的解x=4k-1是整数，可得k-1是4【详解】首先对方程进行化简：(k(k(k(k(k因为方程的解为整数，所以x=那么k-1是4的因数，4的因数有当k-1=1时，当k-1=-1时，当k-1=2时，当k-1=-2时，当k-1=4时，满足条件的整数k=2+0+3+(-1)+5+(-3)=6．故选D．5．（3分）（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组x+my=7①mxA．x=4y=-1 B．x=1y=-4【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组．根据题意①+②得【详解】解：①+②得，x+x-x-根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，∴x-y-所以这个公共解为x=5故选：C．6．（3分）（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（

）种购买方案．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了二元一次方程的解应用，正确列出二元一次方程并确定其解的情况成为解题的关键．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出方程并求解满足条件的正整数解，然后统计解的个数即可解答．【详解】解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件，由题意得：4将方程变形为：y要求y为正整数，即48-4x必须能被3整除且结果大于等于1依次代入x的正整数值验证：当x=3时，y当x=6时，y当x=9时，y其他x值代入后y均不为整数或小于1．因此共有3种购买方案．故选B．7．（3分）已知m，n为常数，关于x的方程3kx+m2=1+x-nk3A．-45 B．-30 C．-27【答案】B【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到m和n的值是解题的关键．把x=2代入方程，由k可以取得任意值可得到关于m和n式子，进而求得m和n【详解】解：把x=2代入方程3化简，得18+2n由于k可以取任意值，则18+2n=010-3∴mn=故选B．8．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组ax-y=24x+byA．a=4，b=-1 B．aC．a=2，b=1 D．a【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组ax-y=2①4x+【详解】解∶ax②×2-①，得∵方程组有无数组解，∴8-a=0，∴a=8，b故选∶D．9．（3分）（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行，第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是（

）米．A．370 B．260 C．420 D．350【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据两次相遇两人的路程之和间的关系，可得出第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍，设这个圆形跑道的周长是x米，利用第二次相遇两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵第一次相遇，两人的路程之和为半个圆形跑道的周长，第二次相遇，两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长，∴第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍．设这个圆形跑道的周长是x米，根据题意得：80×3+x解得：x=370∴这个圆形跑道的周长是370米．故选：A．10．（3分）（24-25七年级下·山东日照·期末）对x、y定义一种新运算T，规定：Tx,y=ax+by-5（其中a、b均为非零常数）．例如T0,1=a×0+b×1-5=b-5，若T2,3=2,T1,-4=-7，则下列结论：A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性．【详解】由T2,3=2得：2a由T1,-4=-7得：a-联立方程组：2a解得：a=2，b=1，故结论Tm,n=0，即2m方程2mn=1时，mn=3时，m共有2组解，结论③错误．由Tkx2kx∴2k对所有x,y成立，需2k-1=0综上，正确的结论为①、②，共2个，故选B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）如果4xa+2b-5-【答案】22【分析】本题考查了二元一次方程的概念及解二元一次方程组，掌握这两个知识是解题的关键；由题意得方程组a+2【详解】解：∵关于x、y的方程4x∴a+2整理得：a+2①+2×②得：解得：a=2把a=2代入②，得：3×2-解得：b=2∴方程组的解为a=2故答案为：2，2．12．（3分）（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若关于x的方程-x+2x-k=3x的解是方程【答案】-【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程x0.4-3=12【详解】解：x去分母得：5x解得x=∵关于x的方程-x+2x-k∴方程-x+2x∴-3+2解得k=-3故答案为：-313．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程(a+1)x+(a【答案】x【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于x，y的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解．【详解】解：已知(a+1)x+(a去括号得：ax+整理得：a(∵当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，∴可得方程组x+解得：x=0∴这些方程的公共解为x=0故答案为：x14．（3分）（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在长方形ABCD中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少1cm，则小长方形的长为cm．【答案】7【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设小长方形宽为xcm，则长为4x-1cm【详解】解：设小长方形宽为xcm，则长为4根据题意得：4+8+4x解得x=2则4×2-1=7cm故答案为：7．15．（3分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小莹和小亮同时解关于x，y的方程组ax+by=3mx-3y=6，小莹解得正确结果为x【答案】3【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把x=5y=3代入方程组得5a+3b=3①5m-9=6②【详解】解：把x=5y=3代入方程组ax∵x=-3y=-3∴-3联立①②③，并解得a=3∴4a故答案为：3．16．（3分）（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．卡片编号abcde两数的和5466597148请你帮李明回答卡片上的数从小到大的排序：．【答案】a【分析】本题考查了等式的性质，解二元一次方程组，由题意可得a+b=54①，b+c=66②，c+d=59【详解】解：由题意得，a+b=54①，b+c=66②-①，得③-⑥，得④-⑤，得⑦⑧联立得，d+解得a=12∴c=24，b=42，∴a<故答案为：a<第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）解下列方程．(1)x6(2)3x【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解；（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解．【详解】（1）解：x6去分母，得2x去括号，得2x移项、合并同类项，得5x系数化为1，得x=30（2）解：3原方程可化为6x去分母，得36x移项、合并同类项，得10x系数化为1，得x=-0.718．（6分）（24-25七年级上·四川眉山·期中）解方程组(1)3(2)x【答案】(1)m(2)x【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键；（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；（2）①-②得，-x+2y=2④，将④代入③得，求得z=4，将z=4代入①得，x+y+4=8⑤【详解】（1）解：3②-①×3得，2解得：n将n=-23代入①得，3解得：m=-∴原方程组的解为：m（2）解：x①-②得，-x将④代入③得，2-z解得：z将z=4代入①得，x④+⑤得，3解得：y将y=2代入④得，解得：x∴原方程组的解为：x19．（8分）已知关于x，y的方程组x+(1)求此相同的解；(2)求a，【答案】(1)x(2)a=1，【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，把只含x，y的两个方程联立，求出（1）把只含x，y的两个方程联立，可求出（2）将x，y的值代入其余的两个方程，得到关于a，【详解】（1）解：∵已知关于x，y的方程组x+∴x+y解x+y=5故相同的解为x=2（2）解：将x=2y=3得到8a解得a∴a=1，20．（8分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如x=6是方程3x=18的解．已知方程3a-1=18，若把a-1【尝试运用】（1）已知方程34m+5=18，则（2）已知方程3n-72024=18【拓展创新】（3）已知关于x的一元一次方程12024x+3=2x+【答案】（1）6；（2）6；（3）y【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键，（1）将方程两边同除以3即可求得答案；（2）将方程两边同除以3即可求得答案；（3）将程y+3+6072=4048y+3+2024b两边同除以2024可得【详解】（1）解：∵方程3∴4m故答案为：6；（2）解：∵方程3n∴n故答案为：6；（3）解：已知关于y的一元一次方程y+3两边同除以2024变形得：12024∵关于x的一元一次方程12024x+3=2∴y+3=2，解得：∴关于y的一元一次方程(y+3)+6072=4048y+321．（10分）（24-25七年级上·河北唐山·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲，乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，购买一套队服和一个足球共需花费180元．(1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？(2)甲商场推出的优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过90套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和m（m>10①请用含m的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；②若学校的预算是12000元，选择在哪家商场购买的足球更多？③请你说明m为何值时，两家商场费用相同？【答案】(1)每个足球的售价80元，每套队服的售价是100元；(2)①甲商场买装备所花的费用为(80m+9200)元；

乙商场买装备所花的费用为64m+10000元；②选择在甲商场购买的足球更多；③当m=50【分析】（1）设每个足球的售价x元，则每套队服的售价是x+20元，根据题意列得方程，解得x的值再代入x（2）①根据题意分别用含m的代数式表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用即可；②结合①中所求列得方程，解得m的值后进行比较即可；③结合①中所求分情况讨论即可；本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：设每个足球的售价x元，则每套队服的售价是x+20由题意得：x+解得：x=80则x+20=80+20=100答：每个足球的售价80元，每套队服的售价是100元；（2）解：①100×100+80m即甲商场买装备所花的费用为80m100×100+0.8×80m即乙商场买装备所花的费用为64m②当80m解得：m=35当64m解得：m=31.25∴则选择在甲商场购买的足球更多；③80m解得：m=50即当m=5080m解得：m>50当m>5080m解得：m<50当10<m22．（10分）（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战4轮，每轮4个题目，每轮结果呈现形式为m:n（其中答对m题，答错第1轮第2轮第3轮第4轮总积分甲3:12:23:12:28乙2:22:22:22:24丙1:32:21:33:1-(1)结果为2:2，积___________分；结果为3:1，积___________分．(2)设1:3的结果积x分，请利用方程的知识，求x的值．【答案】(1)1；3(2)-【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】（1）解：设结果为2:2积a分，根据乙同学的总积分可得：4a=4，解得故结果为2:2积1分；设结果为3:1积b分，根据甲同学的总积分可得：2b+2=8，解得故结果为3:1积3分；故答案为：1；3．（2）解：根据题意列方程为：2x解得x=-3故x的值为-323．（12分）（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b，其中a＝-3+18÷-3×(1)求a，b的值；(2)求A，B两点之间的距离；(3)一动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，另一动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．若点C，点D同时出发，在数轴上点N处相遇，求点N对应的有理数．【答案】(1)a=-5，(2)12(3)3【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键．（1）运用有理数的运算法则进行计算即可求解；（2）根据数轴的性质可得A，B两点间的距离等于点B表示的数减去点A表示的数，计算有理数的减法即可；（3）设同时出发x秒后相遇，当C、D两点相遇时，运动的总路程为A，B两点之间的距离，据此建立方程，解方程得：4秒后C、D两点相遇，故BN=1×4=4，因为ON【详解】（1）a=b=故a=-5，b（2）A，B两点之间的距离为7--（3）设同时出发x秒后相遇，得2x解得x=4故BN=1×4=4∵OB∴ON故点N对应的有理数是3．24．（12分）（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择．信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予15%补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与20%的补贴（不超过信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表）(1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？(2)小红家如果购买三种电器都