第三章 一次方程与方程组（知识清单）（挖空版）

第三章一次方程与方程组1.一元一次方程的相关概念方程的定义：含有_____________的_____________叫做方程.一元一次方程的概念：只含有_____________未知数（元），且未知数的次数都是_____________，这样的_____________方程叫一元一次方程.一元一次方程的标准形式：_____________（_____________是常数，且_____________）.方程的解：能使方程两边的值_____________的未知数的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.2.等式的性质等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），结果仍_____________.即：如果a=b，那么a±c=_____________等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍_____________.即：如果a=b，那么ac=_____________；如果a=b(c≠0)，那么ac=3.一元一次方程的解法基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=_____________.步骤具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的_____________1）不要_____________不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成________，再_______.3）如果分子是多项式，去分母后要加_____________.去括号先去_______，再去_______，最后去__________1)去括号时，括号前的数要乘括号内的_____________;2)不要弄错_____________.移项把含有未知数的项________方程一边，其它项都________方程另一边1）移项时不要_____________;2）将方程中的项从一边移到另一边要_____________.而在方程同一边改变项的位置时_____________.合并同类项把方程变为________的形式1）系数的符号处理要得当；

2）字母及其指数_____________.系数化为1将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=_____________1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以_____________;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的_____________.4.二元一次方程组的相关概念1）二元一次方程二元一次方程概念：含有_____________未知数，并且未知数的项的次数都是_____________，像这样的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值_____________的_____________的值，叫做二元一次方程的解.2）二元一次方程组二元一次方程组的概念：方程组有_____________未知数，每个含有未知数的项的次数都是_____________，并且一共有_____________方程，像这样的方程叫做二元一次方程组.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的_____________，叫做二元一次方程组的解.5.解二元一次方程组消元思想：二元一次方程组中有_____________未知数，如果消去其中_____________未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的_____________，我们就可以先求出_____________未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数_____________，逐一解决的思想，叫做消元思想.1）代入消元法定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用_____________的式子表示出来，再_____________另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2）加减消元法定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数_____________时，把这两个方程的两边分别_____________，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.3）整体消元法定义：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个_____________，代入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解.如：6.三元一次方程（组）三元一次方程组：方程组中含有_____________未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是_____________，并且一共有_____________方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思路;化“_____________”为“_____________”，再化“_____________”为“_____________”）序号易错点易错题注意事项1根据一元一次方程定义求参数是忽略一次项系数不等于01-2一元一次方程需满足以下条件：①只含有一个未知数；②一次项系数不为0；③一次项的次数为1；④出现高次时，高次的系数为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值.2等式两边同时除以一个字母时，未考虑字母不为03若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立3解一元一次方程常见变形错误4-8见知识清单34根据二元一次方程定义求参数是忽略含未知数项的系数不等于09二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式.5解二元一次方程组时出现变形错误或符号处理错误10-121．如果是一元一次方程，那么．2．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是．3．若，则下列等式变形不正确的是（

）A． B． C． D．4．下列方程的变形过程中，不正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得5．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（

）A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误6．小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（

）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．下列变形正确的是（

）A．由，移项得B．由，去括号得C．由，去分母得D．由，系数化为1得8．将方程去分母，下列变形正确的是（

）A． B．C． D．9．已知方程是二元一次方程，则．10．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（

）A．由①，得 B．由②，得C．由①，得 D．由②，得11．在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（

）A．B．由①变形得③，将③代入②C．D．由②变形得③，将③代入①12．用加减法解方程组时，有下列四种变形，正确的是（）A．B．C． D．重难点01一元一次方程的基础1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则．2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（

）A． B．0 C．1 D．23．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是．4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程．(1)求a的值．(2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值．重难点02等式的性质5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，下列变形中不一定正确的是（

）A． B．C． D．7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如果字母a，b，c表示互不相等的有理数，且满足，那么下列变形正确的是（

）A． B．C． D．8．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如．(1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由．(2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值．，．9．（2023七年级上·安徽阜阳·专题练习）求未知数的值(1)(2)(3)重难点03判断解一元一次方程时变形正误10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（

）①，变形为；②，变形为；③，变形为；④，变形为．A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（

）A． B．C． D．12．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（

）A． B．C． D．13．（2024七年级上·全国·专题练习）把方程去分母正确的是（

）A． B．C． D．14．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）方程去分母后，可化为（

）A． B．C． D．重难点04利用合适的方法解一元一次方程15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）解方程：(1)(2)16．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）解方程：17．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程：18．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：解：________，得

第一步去括号，得

第二步移项，得

第三步合并同类项，得

第四步方程两边同除以2，得

第五步(1)以上求解步骤中，第一步进行的是________；(2)以上求解步骤中，第________步开始出现错误；(3)请写出正确解方程的过程．19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程：(1)；(2)．重难点05已知一元一次方程解之间的关系求参数20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程．(1)求m的值；(2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值．21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值．22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值．重难点06与解一元一次方程有关的实际问题23．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则；24．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：（1）方程妙解方程（填“是”或“不是”）（2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．则．25．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于有理数a、b定义一种新运算，规定．(1)求的值；(2)若，求x的值．26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料：让我们来定义一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题．(1)______（只填最后结果）；(2)求的值，使（写出解题过程）．27．（23-24七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由；(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值．重难点07一元一次方程与实际问题28．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．29．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（

）秒时，点是线段的中点．A． B． C．1 D．30．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（

）A．31 B．33 C．35 D．3731．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（

）A．86 B．88 C．90 D．9632．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（

）A． B．C． D．33．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示：品名卡套小挂件批发价（元/个）63零售价（元/个））96(1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？(2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元．①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有个，原价售出的小挂件有个．②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率．35．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）根据如表素材，探索解决任务．新年礼盒生产方案的设计素材1某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套．素材2甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套；乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套．问题解决任务1该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？任务2经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？任务3在任务2的条件下写出所有可行的生产方案．36．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？37．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，．(1)求的长；(2)若为的中点，求的长．重难点08利用一元一次方程解决数轴问题38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段．例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；若，则的值为或．【拓展应用】(1)若，则的值为______；若，则的值为_____；(2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒．①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______；②当为何值时，（单位长度）；③当为何值时，恰好满足．39．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数）【理解运用】根据阅读材料完成下列各题：(1)如图，，分别表示数，7，求线段的长；(2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值．(3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间．40．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m．(1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________；(2)借助数轴思考，当________时，与的值相等；(3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________；(4)若点P位于表示的点左侧，化简：．41．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点．(1)A，B两点之间距离为__________；(2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度；(3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．重难点09二元一次方程（组）实际问题42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（

）A． B． C．0 D．143．（23-24七年级上·安徽·期末）二元一次方程的解可以为（

）A． B． C． D．44．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知是方程的一个解，那么常数a的值是（

）A．5 B． C．3 D．45．（21-22八年级上·山东济南·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（

）A．3 B．5 C． D．重难点10解二元一次方程组46．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：．47．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组：(1)(2)48．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组(1)；(2)．重难点11利用特殊方法解二元一次方程组49．（2023七年级上·全国·专题练习）情境

珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：尝试

（1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下.请将下面解题过程补充完整．解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______；应用

（2）利用上述方法解方程组50．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为．(1)若方程组的解为，则方程组的解为_____；(2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解．重难点12已知二元一次方程组解的关系求参数51．（20-21七年级上·安徽六安·期末）关于x、y的方程组．与关于x、y的方程组的解相同，求52．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值．53．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．54．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组(1)若方程组的解满足，求的值；(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．重难点13二元一次方程错解复原问题55．（22-23七年级下·山东威海·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．(1)求a、b的值；(2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？56．（21-22七年级上·安徽六安·期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得解为，乙因看漏c，从而求得解为，试求a，b，c的值．57．（20-21七年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，解题时由于甲看错了方程①中的a，得到方组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．重难点14二元一次方程组与实际问题58．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？59．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.(1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；(3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费.60．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．61．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示：名称进价（元）4560售价（元）6690(1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？(2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？62．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米，车费元，另一次里程千米，车费87.5元．(1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整；(2)列方程组求解，．63．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？64．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况：销售时段销售数量销售收入种型号种型第一天件件第二天件件(1)求、两种型号的飞机模型的销售单价；(2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？(3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由．65．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表：船型四座电动船六座电动船价格元/小时元/小时已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题：(1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？(2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格