河北省唐山市海港高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省唐山市海港高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l的方程为，则l的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知，，若，则m的值为（

）A．－1 B．－2 C．2 D．13．已知直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或4．已知双曲线，若点到的渐近线距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知圆不经过坐标原点，且与圆相切，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．6．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（

）A． B． C． D．8．已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足，，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．点，为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（

）A．当，且为圆的直径时，面积的最大值为3B．从点向圆引两条切线，切点分别为，，的最小值为C．，为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得D．当，时，的最大值为10．已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（

）A．若，则B．，直线的倾斜角为或C．若为抛物线上一点，则的最小值为D．的最小值为911．在直三棱柱中，，，，，点M为线段的中点，N为线段上的动点，则（

）A．B．存在点N使得垂直于平面C．若平面，则D．直线与平面所成角的最大值为三、填空题12．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是.13．已知直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），则的面积为．14．在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为.四、解答题15．已知圆过三点.(1)求圆的标准方程；(2)斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.16．如图，平面，，.（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值为，求线段的长.17．如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．18．已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点.点关于轴的对称点为点.(1)求双曲线的方程：(2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；(3)当时，求面积的最大值.19．已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示；(3)在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省唐山市海港高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ACABCACBABDAD题号11答案ACD1．A【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.【详解】由题意得，直线斜率为，即，又，则.故直线的倾斜角为.故选：A.2．C【分析】两向量垂直，则它们数量积为零，据此即可求解.【详解】∵，∴，∴，解得．故选：C.3．A【分析】由两直线平行公式计算的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得：，解得或.当时，，，两直线重合，不合题意.当时，，即，，两直线平行，符合题意.故的值为.故选：A.4．B【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，因为点到的渐近线距离为，即，解得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.5．C【分析】根据两圆相切以及不过原点先求解出的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值.【详解】因为与相切，所以或，所以或，因为不经过原点，所以，所以，又因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故选：C.6．A【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离.【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量，在平面上任取一点，则，点到平面距离故选：A.7．C【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标.【详解】设点、，线段的中点为，则，由题意，椭圆的离心率为，可得，因为、关于直线对称，且直线的斜率为，则，将点、的坐标代入椭圆方程可得，上述两个等式作差可得，可得，即，即，即，①又因为点在直线上，则，②联立①②可得，故线段的中点为.故选：C.8．B【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.【详解】因为四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点在底面的射影是底面四边形外接圆的圆心.因为，所以△为等腰三角形.因为，所以，故△为等边三角形，则.设底面四边形外接圆半径为，则根据正弦定理得，即，解得.设线段的中点,则，那么由勾股定理可知，所以，故是等边三角形的中心，则.设球的半径为，根据题意可知球心在射线上，当球心在线段上时，如图1所示，则，即，解得，此时，不符合题意舍去.当球心在射线上且在平面的下方时，如图2所示，，即，解得，此时符合题意，故球的半径，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为.故选：B.

【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.9．ABD【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B；由B项可判定C项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.【详解】对A：当，为直径时，（其中为点的纵坐标），所以当点为或时，三角形的面积最大，，所以A正确；

对B：设，交与点，由圆的切线性质，则，所以，越大，越小，当点在处时，最大，此时，，，即，B正确；

对C：当点在处，且，为切线时，最大，此时，即，，所以不存在符合的点，C错误；对D：设的中点，则，，所以点在以为圆心，为半径的圆上，，设小圆半径为，则，则的最大值为，D正确．

【点睛】思路点睛：选项D中根据圆的弦长公式求出点D轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值.10．AD【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到.【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为，由抛物线定义得，A正确；B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，设直线，联立，得，设，由于，则由韦达定理得，故，解得，故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误；C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点，由抛物线定义得，故，要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点，故的最小值为，最小值为，C错误；D选项，由题意得，由于，故，，因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，D正确.故选：AD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，对于A，因为，所以，则，即，故A正确；对于B，由A知，，设，则，即，所以，又平面，则，无解，所以不存在点N使得垂直于平面，故B错误；对于C，由B知，设，可得，又，设平面的一个法向量为，则，令，得，因为平面，所以，则，解得，此时，故C正确；对于D，由B知，设，可得，所以，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以当时，取得最大值，即直线与平面所成角的最大值为，故D正确.故选：ACD.

12．【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到的取值范围．【详解】直线恒过点.由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.

当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为：，根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得，当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，综上得，实数的取值范围是.故答案为：.13．【分析】解法一：设点，，联立可得，，由根与系数的关系可得，，由可得，解得.根据弦长公式可求得，根据三角形面积公式即可求解；（也可利用二级结论：在抛物线中，若是抛物线上异于原点的两点，且，则直线恒过定点，求得）解法二：设点，，联立可得，由根与系数的关系可得，.由，得，解得.根据直角三角形面积公式即可求解.【详解】设点，，联立可得，，由根与系数的关系可得，.因为，所以，解得.所以，，则.如图，直线交轴于点（二级结论

在抛物线中，若是抛物线上异于原点的两点，且，则直线恒过定点，本题也可利用此结论得，从而），所以.一题多解

多方法解题设点，，联立可得，，由根与系数的关系可得，.因为，所以，解得，所以，，.因为，所以.故答案为：.14．【分析】过点作的平行线交于点，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】正三棱锥中，因为平面，又平面，因此，故，故，则，延长交于点，过点作的平行线交于点，易知两两垂直，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，设直线与所成的角为，则，当或时，取最大值．故答案为：.15．(1)(2)或【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解，（2）根据等腰直角三角形的性质，可得，结合点到直线的距离即可求解.【详解】（1）设所求的圆的方程是，其中，把已知三点坐标代入得方程组解得所以圆的一般方程为.故圆的标准方程为.（2）设直线的方程为：，因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5.所以圆心到直线的距离解得或，所以直线的方程为：或.16．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.(Ⅱ)依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意｡所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证；（2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，由底面为矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得证．（2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．因为，设，（），则，，点是的中点，所以，由，所以是平面的一个法向量；由（1）知，，所以是平面的一个法向量．因为平面与平面所成二面角的大小为，则，解得（负值舍去）．所以，．18．(1)(2)证明见解析，定点坐标为(3)【分析】（1）设双曲线的标准方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程；（2）分析可知，，设，可得出直线的方程为，点、，则点，分析可知，直线过轴上的定点，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出定点的坐标；（3）利用三角形的面积结合韦达定理可得出，其中，结合函数的单调性可得出面积的最大值.【详解】（1）根据题意，设