重庆市江北知易外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页重庆市江北知易外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．2．已知，直线，且，则的值为（）A．2 B．1 C． D．3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知，，对曲线上的任意一点恒有，则的离心率为（

）A． B． C． D．25．如图，已知平行六面体，则（

）A． B． C． D．6．已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．7．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-18．已知实数、、、满足，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的方程为 B．椭圆的离心率为C． D．11．椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（

）A．B．的最大值为C．当点横坐标为1时，的内切圆半径D．若，则三、填空题12．直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于.13．若直线被圆截得的弦长为2，则.14．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.四、解答题15．已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且(1)求双曲线的标准方程；(2)求双曲线渐近线方程.16．如图，四棱锥的侧棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点，且离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，若的面积为2，求的值.18．已知表示圆的方程.(1)求实数的取值范围；(2)当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程.(3)为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值.19．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；(3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．《重庆市江北知易外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案BADACACDBDAD题号11答案ABD1．B【分析】根据渐近线方程的公式即可得到答案.【详解】由题意得，则其渐近线方程为.故选：B.2．A【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解.【详解】已知，直线，且，则，所以.故选：A.3．D【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.解得.故选：4．A【分析】根据椭圆的定义以及离心率公式即可求解.【详解】由于，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，依题意，，，故，则离心率为，故选：A5．C【分析】由空间向量的加法法则可得答案.【详解】由.故选：C6．A【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果.【详解】由题意知，则，所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为．故选：A．7．C【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解.【详解】依题意，则为直线的斜率，结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），即的最小值为.故选：C8．D【分析】确定、在圆上，且，首先求出的最小值，转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算，即得到答案.【详解】设、，，，，故、在圆上，且，因为，则，因为，则是边长为的等边三角形，

而表示、到直线的距离之和，又原点到直线的距离为，如图所示：，，是的中点，作于，且，所以，，故在圆上，所以.故的最小值为，又，所以的最小值为.故选：D.9．BD【分析】利用线面的位置关系的性质定理逐项分析判断即可.【详解】选项A：若，，则或或直线n与平面相交，故A选项不正确；

选项B：若，则在平面内存在一条直线，使得，又，根据线面垂直定义得，所以，故选项B正确；选项C：若，，则或，故C选项不正确；选项D：若，，则，选项D正确；故选：BD.10．AD【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，.对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对；对于B选项，椭圆的离心率为，B错；对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点，将代入椭圆方程可得，故，C错；对于D选项，，故，D对.故选：AD.11．ABD【分析】由面积的最大值为，求得，得到，可判定A正确；由椭圆的定义，转化为，可判定B正确；取点的坐标为，结合面积相等法，求得的内切圆的半径为，可判定C不正确；由椭圆的光学性质，过点与垂直的直线为的角平分线，设，分别求得，结合，列出方程，求得的值，可判定D正确.【详解】对于A，由椭圆，可得，因为面积的最大值为，可得，解得，所以，即椭圆的方程为，所以A正确；对于B，由椭圆，可得，且由椭圆的定义，可得，所以，则，当且仅当共线，且位于的延长线上时，等号成立，所以B正确；对于C，当的横坐标为时，代入椭圆的方程，可得，不妨取点的坐标为，则面积为，又由的周长为，设的内切圆的半径为，可得，即，解得，所以C不正确；对于D，由椭圆的光学性质，可得点与垂直的直线为的角平分线，则，设，则且，因为且，所以，且,又由，可得，整理得，解得或，当时，，此时与点重合，不符合题意，舍去；所以，所以，所以D正确.故选：ABD.

12．【分析】根据直线方向向量的定义可得斜率.【详解】由已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为.故答案为：.13．【分析】先根据弦长求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值.【详解】圆的圆心为，半径为，由垂径定理，得点到直线距离为，根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离，化简可得，又，所以.故答案为：14．/【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.【详解】由为椭圆上任意一点，则又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为．故答案为：．15．(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的离心率和焦点坐标求方程；（2）根据双曲线的渐近线方程进行求解.【详解】（1）由题意，且，解得，所以双曲线的标准方程为（2），焦点在轴上，故渐近线方程为16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可.【详解】（1）如图，连接交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为是的中点，所以在中，，又平面，平面，所以平面；（2）因为四棱锥的底面是正方形，所以，又因为侧棱底面，底面，所以，，如图，以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，.所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)【分析】（1）根据离心率和椭圆过的点列式求，即可得椭圆方程；（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积.【详解】（1）因为，所以.又椭圆C：过点，所以.所以，.故所求椭圆方程为.（2）设点，，联立消去y得.所以，，又直线l与椭圆C相交，所以，解得.则.又点P到直线l的距离，所以，所以，所以，满足，则.18．(1)(2)和(3)【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案；（2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；（3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解.【详解】（1）解：由题可知：，该方程表示圆，则，即，解得.则实数的取值范围为；（2）解：令，，开口向下，对称轴为，当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为，设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长，即，解得，则另一条切线斜率不存在。即切线方程为，即；另一条切线方程为；（3）解：设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，由（2）知，又，则点M在圆C外面，所以，则.则可知的最小值为.19．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【详解】（1）由题意，因为，为直角三角形，所以.又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，,显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立消去得，，所以，即.且，因为，所以，所以，即，所以，整理得，即，化简得，即