山东省济钢高级中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省济钢高级中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则等于（

）．A． B． C． D．2．若复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．3．下列命题是真命题的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．函数在上的图象大致为A． B．C． D．5．若事件A，B满足：，，，则（

）．A． B． C． D．6．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．7．已知数列的前项和为，且满足，则的值为（

）A．7 B．126 C．247 D．2548．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题9．函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A．的最小正周期为2B．把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象C．在区间，上单调递减D．是图象的一个对称中心10．已知为等差数列的前项和，若，，则（

）A．为递增数列 B．为递减数列C．当时，的值最大 D．当时，的值最大11．已知函数有2个零点，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为13．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则.14．已知平面向量满足，则的最大值是.四、解答题15．已知函数(1)求函数的对称轴和对称中心；(2)当，求函数的值域．16．某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下:零件直径(单位:厘米)[1.8，2.0]零件个数1025302510(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率.(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望.参考数据:若随机变量，则，，.17．已知数列是各项均为正整数的等比数列，且，成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，设数列的前项和为，求证：．18．在中，角，，的对边分别为，，．且满足．(1)求角的大小；(2)若的面积，内切圆的半径为，求；(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．19．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不同的零点，.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《山东省济钢高级中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题》参考答案题号12345678910答案DCBDDBCDCDBCD题号11答案AD1．D【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再求对数型复合函数定义域求出集合，再根据补集和交集运算求解即可.【详解】，所以或，又，所以.故选：D2．C【分析】根据复数模和四则运算，即可得到答案；【详解】，复数的虚部是，故选：C.3．B【分析】举例说明判断ACD；利用不等式的性质推理判断B.【详解】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，由，得，则，，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：B4．D【解析】根据函数的奇偶性，以及特殊值，进行判断.【详解】函数，满足，函数为奇函数，排除A；由于，，，结合图象，排除B，C.故选：D.【点睛】本题考查函数图像问题，此类问题一般从函数单调性、奇偶性、特殊值进行判断.5．D【分析】根据全概率公式及交事件概率得性质即可得解.【详解】由，，得，又，所以，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据及全概率公式是解决本题的关键.6．B【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可.【详解】由于向量，满足，，，所以，解得，则在方向上的投影向量为.故选：B7．C【分析】根据和的关系得到，计算，，故，利用分组求和法计算得到答案.【详解】，当时，，故；当时，，，相减得到，数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，，，.故选：C.8．D【分析】利用函数的奇偶性得，，根据已知将问题化为在恒成立，应用换元法及导数研究右侧的单调性求右侧的范围，即可得.【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，且①，所以，即②，联立①②，解得，，所以不等式，可化为，因为，所以，设，则，故，因为，，所以，故在上是增函数，则，又在上是增函数，所以，则，因为在恒成立，所以，所以正实数a的取值范围是.故选：D9．CD【分析】根据函数的部分图象求出、、和的值，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．【详解】解：由函数的部分图象知，，，解得，所以，选项错误；由，得，所以，，，所以，函数．图象上所有点向右平移个单位长度，得的图象，所以，选项错误；，时，，，所以函数单调递减，选项正确；因为，所以是图象的一个对称中心，选项正确．故选：．10．BCD【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解.【详解】由，得，即，所以，又，所以，设的公差为，所以，所以，所以为递减数列，故A错误，B正确；由上知，，所以，所以与均是的最大值，故C，D均正确.故选：BCD.11．AD【分析】令可将题意转化为，设，求出的单调性，奇偶性和对称性，求出的最小值可判断A，B；由可得可判断C；由题意可得出，令，求出的单调性可得可判断D.【详解】，令，，则，即为偶函数，当时，，且，即函数在上单调递增，所以关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，所以，解得，故正确，故错误；由知，，故C错误；由知，，令，，即在上单调递减，所以，所以，故正确.故选：.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.12．【分析】根据展开式的二项式系数之和求出n,再根据展开式的通项求解即可.【详解】由，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：．故答案为:.13．【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和周期的定义，得到，得到函数是周期为4的周期函数，进而求得的值，结合周期性，即可求解.【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，所以，即且，又由，可得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，因为，所以，，，所以，则.故答案为：.14．5【分析】不妨设，，根据且，求出，然后设，由，得，从而得到的轨迹方程，又利用向量数量积的坐标表示，即求2x最大值，根据圆的性质即可得到.【详解】已知且，由点积公式，所以夹角，设，因为，，设，则，解得，不妨取，设，则，由，得，化简得，即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，则，需在圆上求的最大值，因为圆心横坐标为，半径1，故的最大值为，因此的最大值为，即的最大值为5，故答案为:5.15．(1)函数的对称轴为，对称中心(2)【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质运算求解；（2）采用整体替换的方法，先确定出的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出的值域.【详解】（1）因为，令，解得；令，解得；所以函数的对称轴为，对称中心.（2）因为，则，当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值；所以函数的值域为.16．(1)0.8186(2)分布列见解析，1【分析】（1）利用正态分布概率公式来分段计算即可；（2）利用二项分布来计算分布列和期望即可.【详解】（1）因为零件的直径服从正态分布，所以，则，即.（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，由题意知的所有可能取值为

故，，，，，故X的分布列为01234∵满足二项分布，的数学期望为.17．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由成等差数列，结合等比数列通项公式求出公比，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得，代入可得，通过放缩，转化为裂项相消法求和，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，因为成等差数列，所以，又，所以，因为，所以所以或，又数列各项均为正整数，所以，所以．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，所以，所以，所以．所以．不等式得证.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的概念、通项公式及求和公式的应用，放缩法证明数列不等式，裂项求和法的应用，属于中档题．18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得.（2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边.（3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边，的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值．【详解】（1）由，得，则，即，而，所以.（2）由等面积法得：，即，因此，，在中，由余弦定理得，即，所以.（3）由平分，得，在中，设，则，在中，由正弦定理，得，则，在中，由正弦定理，得，则，得，故有．在中，由正弦定理，得，则，得代入式，可得，即．由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“=”．于是，．即的面积的最小值为．【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题．19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解；（2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解；（ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证.【详解】（1）当时，，所以，所以，又，所以曲线在处的切线方