山东省济宁市金乡县青华园实验高中2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山东省济宁市金乡县青华园实验高中2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某道路，，三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25s、35s、45s，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为（

）A． B． C． D．2．两个事件A，B相互独立，则（

）A． B．C． D．3．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4，把两个玩具各抛掷一次，向下的面的数字之和能被5整除的概率为（）A． B． C． D．4．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（

）A． B． C． D．5．有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上数字，若就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（

）A． B． C． D．6．现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（

）A． B． C． D．7．现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（

）A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立8．当时，若，则事件与（

）A．互斥 B．对立C．独立 D．不独立二、多选题9．概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过试验和观察的方法可以得到试验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：序号频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.552410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折线图表示频率的波动情况如下图所示：根据以上信息，下面说法正确的有（

）A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性；B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越少越好；C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近；D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率．10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（

）A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是三、填空题12．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是.(填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．13．已知事件互相独立，且，则.14．袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．四、解答题15．判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：（1）“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；（3）“至少有1名男生”和“全是男生”；（4）“至少有1名男生”和“全是女生”．16．某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查．（1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？（2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率．17．从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，试求下列事件的概率：(1)这张牌是红色牌；(2)这张牌是黑色A；(3)这张牌是黑色K、黑色Q或黑色J；(4)这张牌牌面是5的倍数且是红色；(5)这张牌不是方片．18．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.19．如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.《山东省济宁市金乡县青华园实验高中2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题》参考答案题号12345678910答案ABBCDDDCACABD题号11答案AC1．A【分析】根据题意，写出每处红绿灯开放绿灯的概率，相乘即可．【详解】由题，每处红绿灯开放绿灯的概率分别为，，．所以，所求概率．故选：A．2．B【分析】根据事件独立的定义，即可得出答案.【详解】A：，则，而，所以不成立；D：，，，所以，若，所以在上有两解，则，，显然不成立；根据事件独立的定义，B项一定成立，而C项说明两事件互斥，故不可能独立，故选：B.3．B【分析】利用列举法和古典概型概率计算公式可得答案【详解】根据题意，把两个玩具各抛掷一次，向下的面出现的数字共16种情况：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)；其中向下的面的数字之和能被5整除的有(1,4),(2,3)(3,2),(4,1)共4种；则向下的面的数字之和能被5整除的概率为，故选：B4．C【分析】利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，另3位棋手分别记为丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率.故选：C.5．D【分析】根据古典概型公式列举求解即可.【详解】解：甲、乙两人抛掷玩具所有可能的结果有36种，其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种，所以，甲乙两人“默契配合”的概率为.故选：D.6．D【分析】依据题意，将转化为，再结合古典概型公式求解即可.【详解】因为，所以，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，从7张卡片抽2张，基本事件有，，共有个基本事件，且设的概率为，符合题意的事件有，，共9种，所以，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查概率，解题关键是合理消元，转化条件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可．7．D【分析】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选：D.8．C【解析】根据对立事件概率公式化简已知等式得到，由此得到结论.【详解】，，即，，事件与独立.故选：C.9．AC【分析】根据频率、概率的知识确定正确选项.【详解】“试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性”，A正确；“试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越多越好”，B错误；“随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近”，C正确、D错误.故选：AC10．ABD【解析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.11．AC【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键12．必然【分析】根据必然事件定义即可作出判断.【详解】从3双鞋子中，任取4只，必有两只鞋是一双，所以这个事件是必然事件，故答案为必然【点睛】本题考查必然事件的定义，属于基础题.13．/【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得结果.【详解】，.故答案为：14．【详解】从袋子中取出两个小球，其号码的所有情况有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，其中取出的小球上标注的数字之和为5或7有：(1,4),(2,3)，(2,5),(3,4)，共4种．由古典概型概率公式得所求概率为．答案：点睛：求古典概型概率的关键是求试验所有的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，求基本事件个数的方法有列举法、列表法和树形图法，解题时要根据具体需要选择合适的求解方法．15．（1）（4）是互斥事件；（2）（3）不是互斥事件，理由见解析.【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可.【详解】（1）是互斥事件.理由是：在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件.（2）不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，而“至少有1名女生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生，所以不是互斥事件.（3）不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件.（4）是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件.16．（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）.【分析】（1）根据分层抽样的等比例分配原则计算各部门需要抽取的人数，利用抽取的人数除以总人数即得每一位员工被抽到的概率；（2）用列举法计数，得到总的抽取方法数和至少有一人合格的抽取方法数，根据古典概型公式即得结论.【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1，由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人．该企业总共有名员工，记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，所以每一位员工被抽到的概率为．（2）记事件：“至少有1人合格”记其中合格的2人的分别为，，不合格的4人的分别为，，，，则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至少有1人的合格的结果有：，，，，，，，，，共9种，故至少有1人的合格的概率为．17．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【分析】根据等可能事件概率的定义计算.【详解】（1）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，所有基本事件个数为52，事件“这张牌是红色牌”含有基本事件26个，概率为；（2）事件“这张牌是黑色A”含有基本事件2个，概率为；（3）事件“这张牌是黑色K、黑色Q或黑色J”含有基本事件6个，概率为；（4）事件“这张牌牌面是5的倍数且是红色”含有基本事件个，概率为；（5）事件“这张牌不是方片”含有基本事件个，概率为．18．（1）；（2）不影响比赛的公平性..【解析】（1