上海市卢湾高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市卢湾高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合，，则．2．不等式的解集是．3．设，其中为虚数单位，则的虚部为.4．已知，则．5．的二项式展开式中的系数为．6．已知函数的表达式为，则的解集为.7．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则.8．今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为．9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为．10．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是．（精确到0.001）11．已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为.12．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是．二、单选题13．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．14．设，则是的（

）条件．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．在一次试验中，随机事件，满足，，则（

）A．事件，一定互斥 B．事件，一定不互斥C．事件，一定互相独立 D．事件，一定不互相独立16．已知正项数列满足，下列说法正确的是（

）A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增C．当时，存在正整数，当时，D．当时，存在正整数，当时，三、解答题17．如图，在直三棱柱中，已知，，．(1)求三棱柱的体积；(2)求直线与平面所成的角的大小．18．已知函数.(1)求的最小正周期和严格增区间;(2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径.19．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：(1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数；(2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；(3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值．20．已知椭圆为坐标原点；(1)求的离心率；(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；21．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《上海市卢湾高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷》参考答案题号13141516答案ABBD1．【分析】由交集的概念即可得解.【详解】已知集合，，则.故答案为：.2．【分析】将不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】不等式，解得，所以不等式的解集为.故答案为：3．【分析】根据复数的运算法则化简，进而根据虚部的定义求解即可.【详解】由，则的虚部为.故答案为：.4．【分析】根据诱导公式直接求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：5．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数．【详解】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为.故答案为：6．【分析】根据分段函数解析式得到或，解得即可.【详解】因为，对于不等式，则或，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：7．/【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得.【详解】由题意可知，，，，则，解得.故答案为：.8．【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种.故答案为：.9．【分析】设，则根据题意可知，，，，又易知，在中，由勾股定理建立方程，即可求解．【详解】设，则根据题意可知，，所以，，又易知，在中，由勾股定理可得：，解得，又，所以，所以的面积为．故答案为：10．1.172【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值.【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接，令圆的半径为，则，解得，设，因此，当且仅当时取等号，所以步行道、长度之和的最小值是.故答案为：11．【解析】根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果.【详解】因为等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，所以，当为奇数时，，显然单调递减，因为，所以，又，所以；当为偶数时，，显然单调递增，因为，所以，又，所以，综上，对任意的，都有，所以，，则，所以，即，因此对任意的，都有；为使对任意的，均有恒成立，只需，，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出后，利用分类讨论的方法，根据的单调性，求的最值，进而即可求解.12．【分析】根据题意在球中讨论，结合空间向量数量积的应用可求出最值.【详解】因为空间向量，，，是单位向量，所以把向量，，，平移到以为起点，终点在半径为的球面上，如图：由，得，所以，同理，令，则，，根据，两边同时平方解得，，所以绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，因为，所以，则，观察图形得当旋转到平面内时，向量与的夹角最小，令此最小角为，则，则，，所以的最大值是，故答案为：.【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，解答本题的关键点是将这四个单位向量转化到球中去，结合图形更易判断，求出向量间的夹角，最后结合两角差的余弦值可求得最终结果.13．A【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.【详解】因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.14．B【分析】取，则，；当时，，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】设，，取，则，，所以得不到；当时，即，，所以能得到,综上所述：是的必要不充分条件.故选：B15．B【分析】根据互斥事件和独立事件的概念判断即可得出答案.【详解】根据题意，根据互斥事件的概念可知，事件不是互斥事件，选项A错误，选项B正确；由事件的概率不能确定事件的相互独立关系，选项C，D错误.故选：B.16．D【分析】构建，结合导数分析的单调性和大小关系，利用递推法分析数列的单调性和取值范围，结合选项即可判断.【详解】设，可知在内单调递增，构建，则，可知在内单调递减，且当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；可得的函数图象，如图所示：对于选项AC：若，则，且，可得，若，则，且，可得，依此类推，可得，可知数列单调递增，且，即不存在正整数，当时，，故AC错误；对于选项BD：若，则，且，可得，若，则，且，可得，依此类推，可得，可知数列单调递减，且，所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：构建，分析两个函数的单调性从而得到大小关系，结合图象分析数列性质.17．(1)(2)【分析】（1）取线段的中点，连接，可知，求出的长，可求出的面积，然后利用柱体的体积公式可求得三棱柱的体积；（2）取的中点，连接，则，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中，由，即可求出.【详解】（1）取线段的中点，连接，因为，，则，且，所以，，在直三棱柱中，，故.（2）如图所示：取的中点，连接，则，又平面，平面，则，而，且平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，在中，，在中，，所以，得.即直线与平面所成的角的大小为.18．(1)的最小正周期；严格增区间(2)1或2【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据周期公式求最小正周期，根据正弦函数的单调性求单调增区间.（2）已知和的值，可以先求出的值，再根据正弦定理（为外接圆半径）求出.【详解】（1），由两角差的正弦公式得.所以，展开得，即.再根据辅助角公式得.

根据周期公式得，因为的单调增区间是.令，则，解得，所以的严格增区间是.（2）已知.因为是三角形内角，即，则.所以，或，解得，或.已知，根据正弦定理.当，，则，解得.当，，则，解得则三角形的外接圆半径为1或2.19．(1)(2)(3)，，【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可；（2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可；（3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解.【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，因为，所以第75百分数为；（2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为，第二种生产方式中优秀的概率为，所以选出的两个人均为优秀的概率为.（3）依题意，则，又因为，所以，因为，所以，所以，所以，，.20．(1)(2)的最大值为，最小值为(3)【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解.【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，则，则，所以.（2）依题意，设，则，，故，则，所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为.（3）设，又，易得，则直线为，即，而，，，联立，消去，得则，得，所以，故，所以，故存在，使得恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值.【详解】（1）由题意得：，曲线在处切线为：，即（2）由（1）知：当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增

又，