2025年福建省中考数学试卷

第40页（共40页）2025年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（4分）（2025•福建）下列实数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．22．（4分）（2025•福建）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025•福建）若x-1在实数范围内有意义，则实数A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．24．（4分）（2025•福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（）A． B． C． D．5．（4分）（2025•福建）不等式12x+1≤2A． B． C． D．6．（4分）（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（）A．14 B．13 C．12 7．（4分）（2025•福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（）A．5° B．15° C．25° D．35°8．（4分）（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（）A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝69．（4分）（2025•福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．（4分）（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（）A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）（2025•福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作．12．（4分）（2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为m．13．（4分）（2025•福建）若反比例函数y=kx的图象过点（﹣2，1），则常数k＝14．（4分）（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为．15．（4分）（2025•福建）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表：项目员工听说读写最终成绩甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判断A，B的大小关系是AB．（填“＞”“＝”或“＜”）16．（4分）（2025•福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为千克．三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）（2025•福建）计算：20+|1-218．（8分）（2025•福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD．19．（8分）（2025•福建）先化简，再求值：(2+1-aa)÷a20．（8分）（2025•福建）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）日期队员2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成绩的平均数分别是x甲=85，x乙=85；方差分别是s甲2＝58.4，s乙信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）年份20202021202220232024获奖分数线9089908990试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？21．（8分）（2025•福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．（1）求∠DCE的大小；（2）求证：△CEG是等边三角形．22．（10分）（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．23．（10分）（2025•福建）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）．（1）求ba（2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1-3（i）求该二次函数的表达式；（ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：(x24．（12分）（2025•福建）阅读材料，回答问题．【主题】两个正数的积与商的位数探究．【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数．【分析探究】问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．【推广延伸】小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a．借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n．证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，即abc=10当c≥a且c≥b时，ac≤1，所以abc≤b＜10，又abc≥ac＞110，所以110＜abc当c≥a且c＜b时，ac≤1bc＞1，所以abc当c＜a且c≥b时，①；当c＜a且c＜b时，②．综上所述，命题成立．【拓展迁移】问题2若正数A、B的位数分别为m，n，那么AB（1）解决问题1；（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；（3）解决问题2．25．（14分）（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）求证：AH2＝HF•HC；（3）若tan∠ABC=5，AD＝2DE，CD=6，求△

2025年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案A．DDACBBCCA一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（4分）（2025•福建）下列实数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．2【考点】实数大小比较；算术平方根．【专题】数形结合；实数；运算能力．【答案】A．【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵﹣1＜0＜2＜∴最小的数是：﹣1．故选：A．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．（4分）（2025•福建）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（4分）（2025•福建）若x-1在实数范围内有意义，则实数A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出x的取值范围即可求出结果．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，∴x≥1，∴实数x的值可以是2．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的定义，形如a（的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4．（4分）（2025•福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】A【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得选项A的图形．故选：A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．5．（4分）（2025•福建）不等式12x+1≤2A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵12x+1≤2∴12x≤2﹣112x≤1则x≤2，故选：C．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．6．（4分）（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（）A．14 B．13 C．12 【考点】列表法与树状图法；相反数．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是26故选：B．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（4分）（2025•福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（）A．5° B．15° C．25° D．35°【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】结合三角形外角性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：根据题意得，∠ACB＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠DEF＝∠DAC+∠ADE＝60°，∴∠ADE＝15°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．8．（4分）（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（）A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】C【分析】设矩形的一边长为x米，根据矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．9．（4分）（2025•福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】C【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．（4分）（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（）A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】A【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．【解答】解：∵y＝3x2+bx+1，∴当x＝0时，y＝1，∴抛物线过点（0，1），∴抛物线的开口向上，对称轴为x=-∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵3＜b＜4，∴-2∵-2+12=-∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离，∴1＜y1＜y2，故选：A．【点评】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）（2025•福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作﹣1．【考点】正数和负数．【专题】实数；符号意识．【答案】﹣1．【分析】增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解．【解答】解：为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了学生对正负数意义理解与掌握，用正负数表示两种具有相反意义的量．12．（4分）（2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为4m．【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】4．【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵E是AB的中点，∴DE=12AB=12×8故答案为：4．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．13．（4分）（2025•福建）若反比例函数y=kx的图象过点（﹣2，1），则常数k＝﹣2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】﹣2．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象过点（﹣2∴k＝﹣2×1＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．14．（4分）（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为1．【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】1．【分析】根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积＝△BOE的面积，进而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴△DOF的面积＝△BOE的面积，∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积=12×2×1故答案为：1．【点评】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键．15．（4分）（2025•福建）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表：项目员工听说读写最终成绩甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A＞B．（填“＞”“＝”或“＜”）【考点】加权平均数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】＞．【分析】根据加权平均数公式解答即可．【解答】解：由题意得：4A+70×3+80×2+90×14+3+2+1=82，解得4B+90×3+80×2+70×14+3+2+1=82，解得∵90＞80，∴A＞B，故答案为：＞．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按权重进行计算．16．（4分）（2025•福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为0.8千克．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】0.8．【分析】利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入求出m的值即可．【解答】解：将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx，得0.5g＝0.5k，解得k＝g，∴F与x的函数关系式为F＝gx，将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx，得mg＝0.8g，解得m＝0.8，∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为0.8千克．故答案为：0.8．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）（2025•福建）计算：20+|1-2【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】实数；运算能力．【答案】-2【分析】根据零指数幂的性质、绝对值的性质和如何把二次根式化成最简二次根式进行计算即可．【解答】解：原式=1+=1-1+2=-2【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、绝对值的性质和如何把二次根式化成最简二次根式．18．（8分）（2025•福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】证明见解答．【分析】由∠CBE＝∠CDF，推导出∠ABC＝∠ADC，而∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB＝AD．【解答】证明：∵∠CBE＝∠CDF，∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF，∵∠ABC＝180°﹣∠CBE，∠ADC＝180°﹣∠CDF，∴∠ABC＝∠ADC，在△ABC和△ADC中，∠ABC∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB＝AD．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠ABC＝∠ADC，进而证明△ABC≌△ADC是解题的关键．19．（8分）（2025•福建）先化简，再求值：(2+1-aa)÷a【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】1a【分析】先把括号内的2写成分母是a的分式，再根据同分母分式相加法则计算括号里面的，再把除式的分子分解因式，除法写成乘法进行约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可．【解答】解：原式=(=a=1当a=5-原式==1=5【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的非负和分式的约分．20．（8分）（2025•福建）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）日期队员2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成绩的平均数分别是x甲=85，x乙=85；方差分别是s甲2＝58.4，s乙信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）年份20202021202220232024获奖分数线9089908990试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？【考点】方差；加权平均数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）见解答；（2）选甲更合适，理由见解答；（3）选甲更合适，理由见解答．【分析】（1）根据方差公式可得a的值，再根据平均数和方差的意义解答即可；（2）根据两人10次成绩判断即可；（3）根据两人10次成绩判断即可．【解答】解：（1）由题意得：a=110×[2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2+（92﹣85）2]两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定；（2）选甲更合适，理由如下：因为当地近五年高中数学联赛获奖分数的平均数为：90+89+90+89+905=89.6，在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6，所以甲获奖的概率更高，所以（3）选甲更合适，理由如下：因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更合适．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握这些知识点是关键．21．（8分）（2025•福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．（1）求∠DCE的大小；（2）求证：△CEG是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平移的性质．【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）60°；（2）见解析．【分析】（1）等边三角形的性质推出∠DCB＝30°，垂直，得到∠BCE＝90°，角的和差关系求出∠DCE的大小即可；（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC＝∠DCA＝30°，角的和差关系推出∠EAC＝∠ECA，进而得到AE＝CE，∠AEC＝120°，根据AB＝CB，推出BE垂直平分AC，进而得到∠GEC=12∠AEC=60°，推出∠GEC＝∠GCE【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵D是AB的中点，∴∠DCB＝∠DCA=12∠ACB=12∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．（2）证明：由平移可知：CD∥EF，∴∠EAC＝∠DCA＝30°，又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°，又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC，∴∠GEC=12∠AEC=12由（1）知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°，∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，∴△CEG是等边三角形．【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（10分）（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．【考点】作图—复杂作图；勾股定理．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）见解析；（2）102【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；（2）利用勾股定理求出BD，再根据tan∠ADB=ABAD=【解答】解：（1）正方形EFGH即为所求；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴BD=AB2∴OB＝OD=5∵tan∠ADB=AB∴OE=5∵四边形EFGH是正方形，∴OE＝OH=52，EO⊥∴EH=2OE=∴正方形EFGH的边长为102【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．23．（10分）（2025•福建）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）．（1）求ba（2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1-3（i）求该二次函数的表达式；（ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：(x【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】（1）﹣3；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2；②证明见解析．【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为1-3②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝3，然后把(x【解答】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象的对称轴为直线x=-∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，∴2-(-b∴-b∴ba（2）①解：由（1）可得，∵b＝﹣3a，∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax﹣2，∴函数图象的顶点坐标为(3∵函数的最大值为1-3∴a＜0，且-9解得a＝﹣1，或a＝4（舍去），∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2，②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x﹣2的图象上，∴m=-由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线x=32对称，不妨设x1＜则x2-32=32-x∴(=(=(=-=-＝0，∴(x【点评】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程，掌握以上性质是解题的关键．24．（12分）（2025•福建）阅读材料，回答问题．【主题】两个正数的积与商的位数探究．【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数．【分析探究】问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．【推广延伸】小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a．借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n．证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，即abc=10当c≥a且c≥b时，ac≤1，所以abc≤b＜10，又abc≥ac＞110，所以110＜abc当c≥a且c＜b时，ac≤1bc＞1，所以abc当c＜a且c≥b时，①当c＜a且c≥b时，可得abc＞b≥1，当c＜a且c＜b时，②当c＜a且c＜b时，可得abc＞b＞1，可得1＜abc＜100，得综上所述，命题成立．【拓展迁移】问题2若正数A、B的位数分别为m，n，那么AB（1）解决问题1；（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；（3）解决问题2．【考点】不等式的性质；命题与定理．【专题】因式分解．【答案】（1）小明的猜想不正确，反例：3×4＝12；（2）见解析；（3）当A的数字大于或等于B的数字时，AB的位数是m﹣n+1；当A的数字小于B的数字时，AB的位数是m﹣【分析】（1）举反例即可；（2）①当c＜a且c≥b时，可得abc＞b②当c＜a且c＜b时，可得abc＞b＞1，可得1＜abc＜100（3）设AB=C，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A．当a≥b时，必有a≥c，m＝n+x﹣1，即x＝m﹣n+1；当a＜b时，必有a＜c，m＝n+x，即x＝m【解答】解：（1）小明的猜想不正确，反例：3×4＝12；（2）①ac＞1，bc≤1②ac＞1所以abc＞由（*）知abc=10所以p＝m+（3）当A的数字大于或等于B的数字时，AB的位数是m﹣n+1当A的数字小于B的数字时，AB的位数是m﹣n证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n，设AB=C，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1，当a＜b时，必有a＜c，此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n，综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，AB的位数是m﹣n+1当A的数字小于B的数字时，AB的位数是m﹣n【点评】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．25．（14分）（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）求证：AH2＝HF•HC；（3）若tan∠ABC=5，AD＝2DE，CD=6，求△【考点】圆的综合题．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36．【分析】（1）利用等腰三角形的性质定理和圆周角定理解答即可；（2）连接CD，利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到AH＝HD，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到HD2＝HC•HF，利用等量代换的性质解答即可得出结论；（3）连接AO并延长交CB于点M，连接CD，利用垂径定理得到AM⊥BC，CM＝BM，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠ABC=AMBM=5，设BM＝k，则AM=5k，BC＝2k，利用勾股定理得到AB，利用相似三角形的判定与性质得到BAEA=ADAB，得到k＝a，则DE＝k，AE＝3k，利用相似三角形的判定与性质求得【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB．∵∠ADB＝∠DBE+∠E，∴∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）证明：连接CD，如图，∵BG＝DG，∴∠ABD＝∠GDB，由（1）知：∠ABC＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA，∴∠DBE＝∠GDA，∵∠DBE＝∠CAD，∴∠CAD＝∠GDA，∴AH＝HD．∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠GDB．∵∠CHD＝∠DHF，∴△CHD∽△DHF，∴HDHF∴HD2＝HC•HF，∴AH2＝HF•HC；（3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图，∵AB＝AC，∴AB=∴AM⊥BC，CM＝BM，∴tan∠ABC=AM设BM＝k，则AM=5k，BC＝2k∴AB=BM∵AD＝2DE，∴设DE＝a，则AD＝2a，∴AE＝AD+DE＝3a．∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠BAD＝∠EAB，∴△BAD∽△EAB，∴BAEA∴6k∴k＝a，∴DE＝k，AE＝3k，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴DEBE∴kCE∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0，∵CE＞0，∴CE＝k，∵△EDC∽△EBA，∴CDAB∴6AB∴AB＝36．由（2）知：AH＝HD，BG＝DG，∴△AGH的周长＝AG+GH+AH＝AG+GH+HD＝AG+GD＝AG+GB＝AB＝36．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，抓紧时间的边角关系定理，连接同弧所对的圆周角，作出等腰三角形的高线是解决此类问题常添加的辅助线．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．3．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．4．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．5．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．6．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．7．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．8．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．9．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．10．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．11．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．12．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．13．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．14．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x16．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．17．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．19．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．20．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE22．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．23．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．24．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．25．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、26．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．