2025年江苏省苏州市中考数学试卷

第48页（共48页）2025年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。1．（3分）（2025•苏州）下列实数中，比2小的数是（）A．5 B．4 C．3 D．﹣12．（3分）（2025•苏州）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•苏州）据人民网消息，2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出口40317000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%．数据40317000用科学记数法可表示为（）A．0.40317×108 B．4.0317×107 C．40.317×106 D．40317×1034．（3分）（2025•苏州）下列运算正确的是（）A．a•a3＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a55．（3分）（2025•苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．（3分）（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：温度t（℃）﹣1001030声音传播的速度v（m/s）324330336348研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（）A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s8．（3分）（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（）A．A′D∥BE B．A'C=2A'C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。9．（3分）（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝．10．（3分）（2025•苏州）某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66．这组数据的众数为．11．（3分）（2025•苏州）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为．12．（3分）（2025•苏州）过A，B两点画一次函数y＝﹣x+2的图象，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为（填一个符合要求的点的坐标即可）．13．（3分）（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝．14．（3分）（2025•苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为m．（结果保留π）15．（3分）（2025•苏州）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝.（结果保留根号）16．（3分）（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为．三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。17．（5分）（2025•苏州）计算：|﹣5|+32-1618．（5分）（2025•苏州）解不等式组：3x19．（6分）（2025•苏州）先化简，再求值：（2x-1+1）•x220．（6分）（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看．（1）甲同学选择A电影的概率为；（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．21．（6分）（2025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求证：△DAC≌△ECB；（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长．22．（8分）（2025•苏州）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表组别时间x（min）频率A20≤x＜400.16B40≤x＜600.24C60≤x＜800.30D80≤x＜1000.20E100≤x≤1200.10合计1根据提供的信息回答问题：（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；（2）调查所得数据的中位数落在组（填组别）；（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数．23．（8分）（2025•苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点（1）求A，B两点的坐标；（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．24．（8分）（2025•苏州）综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）【探索发现】（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．①求线段AD的长；（结果保留根号）②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．25．（10分）（2025•苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=10，sin∠AED=101026．（10分）（2025•苏州）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）机器人乙运动的路线长为m；（2）求t2﹣t1的值；（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值．27．（10分）（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点．（1）求直线BC对应函数的表达式；（2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．（3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值．

2025年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案D．AB．CCBBD一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。1．（3分）（2025•苏州）下列实数中，比2小的数是（）A．5 B．4 C．3 D．﹣1【考点】实数大小比较．【专题】实数；运算能力．【答案】D．【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：A．5＞2，故不符合题意；B．4＞2，故不符合题意；C．3＞2，故不符合题意；D．﹣1＜2，故符合题意；故选：D．【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．（3分）（2025•苏州）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（）A． B． C． D．【考点】点、线、面、体．【专题】线段、角、相交线与平行线；空间观念．【答案】A【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．【解答】解：将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是圆锥，故选：A．【点评】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．3．（3分）（2025•苏州）据人民网消息，2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出口40317000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%．数据40317000用科学记数法可表示为（）A．0.40317×108 B．4.0317×107 C．40.317×106 D．40317×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：40317000＝4.0317×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2025•苏州）下列运算正确的是（）A．a•a3＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】利用同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：a•a3＝a4，则A不符合题意，a6÷a2＝a4，则B不符合题意，（ab）2＝a2b2，则C符合题意，（a3）2＝a6，则D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．（3分）（2025•苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（）A．100° B．105° C．110° D．115°【考点】平行线的性质；方向角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案．【解答】解：∵使公路准确接通，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝70°，∴∠B＝110°．即∠α的度数应为110°．故选：C．【点评】本题主要考查方向角，灵活利用平行线的性质是解题的关键．6．（3分）（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35A．1 B．2 C．3 D．4【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】设红球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．【解答】解：设红球的个数为x个，由题意得：33+解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，即红球的个数为2个，故选：B．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．7．（3分）（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：温度t（℃）﹣1001030声音传播的速度v（m/s）324330336348研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（）A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可．【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33（6分）别代入v＝at+b，得b=330解得a=0.6∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．故选：B．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．8．（3分）（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（）A．A′D∥BE B．A'C=2A'C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】连接AA′交BE于点L，由正方形的性质得∠BAD＝∠ADC＝90°，因为E为边AD的中点，所以AE＝DE，由翻折得A′E＝AE＝DE，BE垂直平分AA′，则∠ALE＝90°，可证明∠AA′D＝90°，则A′D∥BE，可判断A正确；作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，由A′H∥AD，得∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，则DHA'H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA'A'D=tan∠AEB=ABAE=2，则DH＝2A′H＝2m，求得A′D=5m，AB＝CD＝AD＝5m，则CH＝3m，所以A′C=10m，则A′C=2A′D，可判断B正确；求得AA′＝25m，则S△A′AD＝5m2，所以S△A′DE=52m2，而S△A′CD=52m2，则S△A′CD＝S△A′DE，可判断C正确；因为AE=52m，所以S△A′BE＝S△ABE=254m2，求得S四边形A′BED=354m2，由S正方形ABCD＝25【解答】解：连接AA′交BE于点L，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵E为边AD的中点，∴AE＝DE=12AD=∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称，∴BE垂直平分AA′，∴∠ALE＝90°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′，∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′=12×180°∴∠AA′D＝∠ALE，∴A′D∥BE，故A正确；作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°，∴A′H∥AD，∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，∴DHA'H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE，∴A′D=A'H2+DH2∴AB＝CD＝AD=5×5m＝∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m，∴A′C=A'∴A'∴A′C=2A′D故B正确；∵AA′＝2A′D＝25m，∴S△A′AD=12×5m×25m＝∴S△A′DE＝S△A′AE=12S△A′AD=5∵S△A′CD=12×5m2=∴S△A′CD＝S△A′DE，故C正确；∵AE=12AD=∴S△A′BE＝S△ABE=12×5m×52∴S四边形A′BED=254m2+52m2∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2，∴S△A′BC＝25m2﹣2×254m2﹣2×52m2∴S四边形A′BED≠S△A′BC，故D不正确，故选：D．【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、平行线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。9．（3分）（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式．【专题】计算题；因式分解．【答案】（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．（3分）（2025•苏州）某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66．这组数据的众数为71．【考点】众数．【专题】数据的收集与整理．【答案】71．【分析】根据众数的定义直接求解即可．【解答】解：∵71出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是71；故答案为：71．【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键；众数是一组数据中出现次数最多的数．11．（3分）（2025•苏州）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为5．【考点】代数式求值．【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，∵y＝x+1，∴y﹣x＝1，∴当y﹣x＝1时，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．12．（3分）（2025•苏州）过A，B两点画一次函数y＝﹣x+2的图象，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为（1，1）（答案不唯一）（填一个符合要求的点的坐标即可）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】（1，1）（答案不唯一）．【分析】代入x＝1，求出y的值，进而可得出点B的坐标可以为（1，1）．【解答】解：当x＝1时，y＝﹣1×1+2＝1，∴点B的坐标可以为（1，1）．故答案为：（1，1）（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．13．（3分）（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝﹣3．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】﹣3．【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，结合x1＝1，即可求出x2的值．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2，又∵x1＝1，∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于-ba14．（3分）（2025•苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为40πm．（结果保留π）【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】40π．【分析】先根据题意求出∠AOB的度数，再求出圆O的半径，利用弧长公式进行求解即可；【解答】解：由题意得∠AOB＝360°×1030圆O的半径为128﹣68＝60（m），∴该轿厢所经过的路径（即AB）长度为120π×60180=40故答案为：40π．【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．15．（3分）（2025•苏州）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝55.【考点】作图—基本作图；解直角三角形；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】55【分析】过点B作BD⊥OC于点D，由作图过程得OC平分MON，得∠BOD=12∠MON＝30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出BD【解答】解：如图，过点B作BD⊥OC于点D，由作图过程可知：OC平分MON，∴∠BOD=12∠MON∴BD=12OB=12∵BC=6∴CD=B∴tan∠BCO=BD故答案为：55【点评】本题考查作图—基本作图，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作图方法是解答本题的关键．16．（3分）（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为34【考点】勾股定理；等边三角形的性质．【专题】三角形．【答案】34【分析】过点A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC得到AH=332，证明△DAC∽△FAD，可得AF=AD2AC=AD23，根据CF＝AC﹣AF可知，当AF有最小值时，CF有最大值，当AD⊥BC时，AD有最小值，即【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC•sinC=3∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，∴AFAD∴AF=∵CF＝AC﹣AF，∴当AF有最小值时，CF有最大值，∴当AD有最小值时，AF有最小值，∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，∴AD的最小值为33∴AF的最小值为(3∴CF的最大值为3-9故答案为：34【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，掌握以上性质是解题的关键．三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。17．（5分）（2025•苏州）计算：|﹣5|+32-16【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】10．【分析】利用绝对值的性质，有理数的乘方法则，算术平方根的定义计算后再算加减即可．【解答】解：原式＝5+9﹣4＝14﹣4＝10．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（5分）（2025•苏州）解不等式组：3x【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＞3．【分析】先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀“同大取大”，判断不等式组的解集即可．【解答】解：3x由①得：3x﹣x＞﹣3﹣1，2x＞﹣4，x＞﹣2．由②得：3（x﹣1）＞2x，3x﹣3＞2x，3x﹣2x＞3，x＞3，∴不等式组的解集是x＞3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．19．（6分）（2025•苏州）先化简，再求值：（2x-1+1）•x2【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】xx+1；【分析】将括号内的分式通分并计算，然后算乘法并约分，最后将已知数值代入化简结果中计算即可．【解答】解：（2x-1+=2+=x+1x=x当x＝﹣2时，原式=-2【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（6分）（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看．（1）甲同学选择A电影的概率为13（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）13（2）23【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵现有A，B，C共3部电影，∴甲同学选择A电影的概率为13故答案为：13（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为69【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（6分）（2025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求证：△DAC≌△ECB；（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）8．【分析】（1）根据CD∥BE得∠DCA＝∠B，根据点C是线段AB的中点得AC＝CB=12AB，由此可依据“ASA”判定△DAC和△（2）根据AB＝16得AC＝CB=12AB＝8．根据全等三角形性质得CD＝BE，再根据CD∥BE得四边形BCDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得出【解答】（1）证明：∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB=12在△DAC和△ECB中，∠A∴△DAC≌△ECB（ASA）；（2）解：∵AB＝16，∴AC＝CB=12AB＝由（1）可知：△DAC≌△ECB，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形．∴DE＝BC＝8．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．22．（8分）（2025•苏州）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表组别时间x（min）频率A20≤x＜400.16B40≤x＜600.24C60≤x＜800.30D80≤x＜1000.20E100≤x≤1200.10合计1根据提供的信息回答问题：（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；（2）调查所得数据的中位数落在C组（填组别）；（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数．【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）见解答；（2）C；（3）450人．【分析】（1）用“20≤x＜40”的频数除以其频率可得样本容量，进而得出“80≤x＜100”的频数，再把频数分布直方图补充完整即可；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）利用样本估计总体即可．【解答】解：（1）样本容量为：8÷0.16＝50，“80≤x＜100”的频数为：50﹣8﹣12﹣15﹣5＝10，把频数分布直方图补充完整如下：（2）由统计图可知，把50个数据从小到大排列，排在第25和26个数均落在C组，所以调查所得数据的中位数落在C组，故答案为：C；（3）0.30+0.20+0.10＝0.60，750×0.60＝450（人）．答：该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数约为450人．【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表以及中位数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．（8分）（2025•苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点（1）求A，B两点的坐标；（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．【考点】反比例函数综合题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4）；（2）k的值为16．【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得点A的坐标为（﹣2，0），令x＝0得点B的坐标为（0，4）；（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，由△BCD是以BD为底边的等腰三角形可得BE＝DE=k8，从而C（k8，8），根据点C在一次函数y＝2x+4的图象上，有8＝2即可解得k＝16．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，0），在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，∴点B的坐标为（0，4）；（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，∴CB＝CD，∵CE⊥BD，∴BE＝DE，在y=kx中，令y＝4得x∴D（k4，4∴BE＝DE=k在y=kx中，令x=k8得∴C（k8，8∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上，∴8＝2×k8解得k＝16，∴k的值为16．【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数和一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用等，解题的关键是用方字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．24．（8分）（2025•苏州）综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）【探索发现】（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．①求线段AD的长；（结果保留根号）②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【答案】（1）∠AFD＝15°，AD＝（62-43）cm；（2）①AD＝（6+23）cm；【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根据三角形的外角性质即可得∠AFD＝15°，最后根据解直角三角形可得AC，CD的长，根据线段的和差即可得；（2）①过点C作CG⊥DE，垂足为G，先解直角三角形可得CG，DG的长，再利用勾股定理可得AG的长，然后根据线段的和差即可得；②根据等腰三角形的性质可得∠CAG＝∠ACG＝45°，则可得∠DAB＝90°，由此即可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°，∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，在Rt△ABC中，AC=在Rt△CDE中，CD=∴AD=（2）①如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，∵△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，CD=4∴DG=CD⋅cos∠CDE=23cm，∵△CGA中，∠CGA＝90°，CA=62cm，CG＝∴AG=∴AD=②AB⊥DE，理由如下：∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AB⊥DE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．25．（10分）（2025•苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=10，sin∠AED=1010【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）BE的长是310【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由BD＝CD，得∠C＝∠DBC，而∠C＝∠BAD，则∠DBC＝∠BAD，所以∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，即可证明BC为⊙O的切线；（2）作DF⊥BC于点F，则BF＝CF，DF∥AB，由∠ABD＝∠AED，AB=10，得ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED=1010，求得AD＝1，则BD=AB2-AD2=3，由∠BDF＝∠ABD，得BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD=1010，则BF=【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠C＝∠BAD，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，∴BC为⊙O的切线．（2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，∴DF∥AB，∵∠ABD＝∠AED，AB=10∴ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED∴AD=1010AB=∴BD=AB∵∠BDF＝∠ABD，∴BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD∴BF=1010BD=10∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝2BF＝2×3∴BE的长是310【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．26．（10分）（2025•苏州）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）机器人乙运动的路线长为55m；（2）求t2﹣t1的值；（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值．【考点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】（1）55；（2）116；（3）t=24【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得BD＝CD＝AD＝25，得到∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，推出sin∠ABD=sin∠BAC=35，sin∠DBC=sinC=45（3）根据题意求得d1＝24﹣3t，分当点Q在BC上和点Q在CD上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，∴AC=302∵D为AC中点，∴CD=12AC∵BC+CD＝30+25＝55m，∴机器人乙运动的路线长为55m，故答案为：55；（2）根据题意，得v2=555.5∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，∴BD＝CD＝AD＝25，∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠BAC=35，当点Q在BC上时，d2∴8t1＝16，解得t1＝2，当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H（如图），则AH=∵∠CDB＝∠ADH，∴sin∠CDB＝sin∠ADH=24∴d2∴2645解得t2∴t2（3）当t＝5.5时，d1＝7.5，此时，BP=∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5，∴v1∴d1当点Q在BC上时，由d1＝d2，得24﹣3t＝8t，解得t=当点Q在CD上时，由d1＝d2，得24-3t解得t=∴t=2411【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．（10分）（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点．（1）求直线BC对应函数的表达式；（2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．（3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3；（2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由见解析；（3）m=1+5【分析】（1）由解析式可知C（0，3），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0．解得x＝﹣1，或x＝3．点B的坐标为（3，0），最后由待定系数法可求直线BC的表达式；（2）方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入y＝﹣x2+2x+3中，可得y1+2y2=-3(m+13)2+913，求出此函数的最大值，即可判断；方法二：由方法一，得y1+2y2（3）作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′，当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4），点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．从而可知NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．故∠PNQ＝∠BN′H＝45°．证明△MDE∽△MNP，由面积比可推得MD=12MN，即MD＝ND．再证明△MM′D′∽△NN′D，由MM'NN'=MD【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）．令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．故点B的坐标为（3，0），设直线BC的表达式为y＝kx+b，故b=3，3∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3．（2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下：方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中，可得y1=-m∴y1配方得y1故当m=-13时，y1+2y2的最大值为故不存在实数m使得y1+2y2＝10；方法二：由方法一得y1当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0．∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0，∴方程没有实数根．∴不存在实数m使得y1+2y2＝10；（3）m=1+5如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′，当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）．∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°．∴PN∥BC，∴△MDE∽△MNP．∴(MD∴MD=12MN，即∵MM′∥NN′，∴△MM′D∽△NN′D．∴MM'NN'=MDND=∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）．∴m2﹣3m＝|﹣m2﹣m+2|，即m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2，解得m=1+52或m=1-52故m=1+5【点评】本题考查了待定系数求函数解析式，二次函数的最值，根的判别式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键．

考点卡片1．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．2．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．5．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．6．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．7．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．8．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．9．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．10．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．11．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．12．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．13．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．14．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．15．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．16．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．17．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．18．点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．19．方向角方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方向角以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．20．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．21．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．22．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE24．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．25．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．26．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．27．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．28．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．29．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足