2025年江苏省徐州市中考数学试卷

第44页（共44页）2025年江苏省徐州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项对应的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（3分）（2025•徐州）-1A．12 B．-12 C．2 2．（3分）（2025•徐州）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球4．（3分）（2025•徐州）下列运算正确的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．（a2）3＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a2•a4＝a65．（3分）（2025•徐州）使x-1有意义的A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥06．（3分）（2025•徐州）下列计算错误的是（）A．2+3=5 B．2×3=67．（3分）（2025•徐州）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（）A． B． C． D．8．（3分）（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（）A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．（3分）（2025•徐州）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为．10．（3分）（2025•徐州）小明家1～5月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是．11．（3分）（2025•徐州）若二元一次方程组3x+y=32x-y=2的解为x=12．（3分）（2025•徐州）分式方程3x=2x-313．（3分）（2025•徐州）若点A（6，y1），B（5，y2）都在函数y=-2x的图象上，则y1y2（填“＞”“＝”或14．（3分）（2025•徐州）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为．15．（3分）（2025•徐州）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE．若△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，则BD：DC＝．16．（3分）（2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为．17．（3分）（2025•徐州）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为（用含n的代数式表示）．18．（3分）（2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是（写出所有正确结果的序号）．①a；②2a+b；③c；④b2﹣4ac；⑤a﹣b+c．三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文学说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（2025•徐州）计算：（1）(-1)（2）(1+120．（10分）（2025•徐州）（1）解方程：x2+2x﹣4＝0；（2）解不等式组：2x21．（7分）（2025•徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为；（2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．22．（7分）（2025•徐州）为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如图统计图（不完整）：根据图中信息，解答下列问题．（1）小桐共调查了辆车，“豫”对应扇形的圆心角为°；（2）补全条形统计图；（3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？23．（8分）（2025•徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：（1）△AGF≌△CGE；（2）四边形AECF是菱形．24．（8分）（2025•徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．25．（8分）（2025•徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）26．（8分）（2025•徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“连弧纹镜”；（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）27．（8分）（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m．（1）若骑行速度为26km/h，则d1＝m，d2＝m；（2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式；（3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，28．（12分）（2025•徐州）如图1，将Rt△AOB绕直角顶点O旋转至△COD，点A，B的对应点分别为C，D．连接AD，BC，AC，BD，直线AC与BD交于点E．（1）△AOD与△BOC的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，连接OE，若AB，CD，OE的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；（3）已知AB＝5，随着OA，OB及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为．

2025年江苏省徐州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ABCDBABC一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项对应的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（3分）（2025•徐州）-1A．12 B．-12 C．2 【考点】相反数．【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：-12的相反数是故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）（2025•徐州）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合是解题的关键．3．（3分）（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球【考点】随机事件．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】C【分析】分析可能出现的情况，得出必然事件．【解答】解：摸出3个球，可能为3个红球，或2个红球1个黑球，或1个红球2个黑球，∴至少有1个球是红球，故选：C．【点评】本题考查了随机事件，掌握必然事件的定义是解题的关键．4．（3分）（2025•徐州）下列运算正确的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．（a2）3＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a2•a4＝a6【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【答案】D【分析】根据同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法计算即可．【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a2，错误；B、（a2）3＝a6，错误；C、（3a）2＝9a2，错误；D、a2•a4＝a6，正确；故选：D．【点评】此题考查同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，关键是根据法则进行计算．5．（3分）（2025•徐州）使x-1有意义的A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0【考点】二次根式有意义的条件．【答案】B【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵x-∴x﹣1≥0，即x≥1．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．6．（3分）（2025•徐州）下列计算错误的是（）A．2+3=5 B．2×3=6【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题；二次根式．【答案】A【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A、2、3不能合并，此选项计算错误，符合题意；B、2×C、8÷D、(-3故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．7．（3分）（2025•徐州）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（）A． B． C． D．【考点】展开图折叠成几何体．【专题】展开与折叠；空间观念．【答案】B【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：根据正方体表面展开图的特征以及各个面上“线”以及方向可知，选项B中几何体符合题意，故选：B．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．8．（3分）（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（）A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】C【分析】观察函数图象得到即可．【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，所以解集为x＜2，故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．（3分）（2025•徐州）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为1.662×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】见试题解答内容【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：166200＝1.662×105．故答案为：1.662×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）（2025•徐州）小明家1～5月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是137．【考点】中位数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】137．【分析】将数据从小到大排列之后，得出中位数．【解答】解：将数据从小到大排列为：104，117，137，140，140，∴中位数为137，故答案为：137．【点评】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．11．（3分）（2025•徐州）若二元一次方程组3x+y=32x-y=2的解为x=【考点】二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】1．【分析】由题意可知3a【解答】解：∵二元一次方程组3x+y∴3a①+②得5a＝5，解得a＝1，将a＝1代入①得b＝0，∴a+b＝1+0＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．12．（3分）（2025•徐州）分式方程3x=2x-3的解为【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝9．【分析】根据分式方程的步骤进行计算．【解答】解：3x3（x﹣3）＝2x，3x﹣9＝2x，x＝9，经检验，x＝9是原方程的解，故答案为：x＝9．【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．13．（3分）（2025•徐州）若点A（6，y1），B（5，y2）都在函数y=-2x的图象上，则y1＞y2（填“＞”“＝”或【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】＞．【分析】根据反比例函数的性质即可解决问题．【解答】解：由题知，因为反比例函数的解析式为y=所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．又因为点A（6，y1），B（5，y2）都在该反比例函数的图象上，且6＞5＞0，所以y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．14．（3分）（2025•徐州）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为10．【考点】中点四边形；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】10．【分析】由勾股定理可求AC的长，由三角形中位线定理可求EH＝FG=12BD=52，EF＝HG【解答】解：如图，连接AC，BD，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=AB∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝5，∵E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点，∴EH＝FG=12BD=52，EF＝HG∴四边形EFGH的周长＝4×52故答案为：10．【点评】本题考查了矩形的性质，中点四边形，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．15．（3分）（2025•徐州）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE．若△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，则BD：DC＝2：3．【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】2：3．【分析】由折叠的性质可得S△DEC＝S△AEC＝3，由面积关系可求解．【解答】解：∵△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，∴△ACE的面积为3，∵将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，∴S△DEC＝S△AEC＝3，∴△BDE的面积为2，∴BD：DC＝S△BDE：S△DEC＝2：3；故答案为：2：3．【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是解题的关键．16．（3分）（2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为34【考点】二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】34【分析】先将二次函数解析式配成顶点式，再得出最小值．【解答】解：∵y＝x2+x+1=(x∴最小值为34故答案为：34【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握顶点式是解题的关键．17．（3分）（2025•徐州）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为3n+1（用含n的代数式表示）．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】规律型；应用意识．【答案】3n+1．【分析】根所给图形，依次求出图形中黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1个图形中黑色棋子的个数为：4＝1×3+1；第2个图形中黑色棋子的个数为：7＝2×3+1；第3个图形中黑色棋子的个数为：10＝3×3+1；…，所以第n个图形中黑色棋子的个数为3n+1．故答案为：3n+1．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色棋子的个数依次增加3是解题的关键．18．（3分）（2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是①②⑤（写出所有正确结果的序号）．①a；②2a+b；③c；④b2﹣4ac；⑤a﹣b+c．【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念；推理能力．【答案】①②⑤．【分析】根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号．【解答】解：由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0；由图示知，对称轴x=-b2a＜1，故2a+由图示知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0；由图示知，抛物线与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0．由图示知，当x＝﹣1时，抛物线在x轴的下方，∴y＝a﹣b+c＜0，综上所述，代数式的值为负数的是①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象与坐标轴的交点，开口方向，对称轴，顶点坐标，特殊点的函数值进行判断．三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文学说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（2025•徐州）计算：（1）(-1)（2）(1+1【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）0；（2）x+1．【分析】（1）先化简，再计算即可；（2）根据分式的化简方式进行计算即可．【解答】解：（1）(-1＝﹣1+1﹣3+3＝0；（2）(1+=x=x＝x+1．【点评】本题考查了实数的运算，分式的运算，掌握运算法则是解题的关键．20．（10分）（2025•徐州）（1）解方程：x2+2x﹣4＝0；（2）解不等式组：2x【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元一次不等式组．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x=5-1或x=-（2）﹣4＜x＜2．【分析】（1）用配方法解方程即可；（2）分别求每一个一元一次不等式，再求不等式组的解集即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，（x+1）2＝5，∴x+1=5或x+1=-解得x=5-1或x=-（2）2x由①得x＜2，由②得x＞﹣4，∴不等式组的解集为﹣4＜x＜2．【点评】本题考查解一元一次方程组，解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．21．（7分）（2025•徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为14（2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）14（2）16【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为14故答案为：14（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种，∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为212【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（7分）（2025•徐州）为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如图统计图（不完整）：根据图中信息，解答下列问题．（1）小桐共调查了150辆车，“豫”对应扇形的圆心角为36°；（2）补全条形统计图；（3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】统计的应用；应用意识．【答案】（1）150，36；（2）补全条形统计图如图所示；（3）其中车牌号归属地为“皖”的车辆有63辆．【分析】（1）利用车牌号归属地为“苏”车辆数除以对应的百分比即可得本次抽样调查的样本容量，利用360°×“豫”对应百分比求解即可；（2）先求出“鲁”的车辆数即可补全条形统计图；（3）利用“皖”的车辆ד皖”对应的百分比求解即可．【解答】解：（1）小桐共调查了75÷50%＝150（辆）车，“豫”对应扇形的圆心角为360°×15150故答案为：150，36；（2）车牌号归属地为“鲁”的车辆有150×18%＝27，补全条形统计图如图所示；（3）450×21150答：其中车牌号归属地为“皖”的车辆有63辆．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（8分）（2025•徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：（1）△AGF≌△CGE；（2）四边形AECF是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点，∴AE＝BE＝EC，∵EF⊥AC，∴EF垂直平分AC，∴AG＝GC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，又∵∠AGF＝∠CGE，∴△AGF≌△CGE（ASA）；（2）∵△AGF≌△CGE，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴▱AECF是菱形．【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝BE＝EC，由等腰三角形的性质可得AG＝GC，由ASA可证△AGF≌△CGE；（2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，可证四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，可证▱AECF是菱形．【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点，∴AE＝BE＝EC，∵EF⊥AC，∴EF垂直平分AC，∴AG＝GC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，又∵∠AGF＝∠CGE，∴△AGF≌△CGE（ASA）；（2）∵△AGF≌△CGE，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴▱AECF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△AGF≌△CGE是解题的关键．24．（8分）（2025•徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；等边三角形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）CD与⊙O相切，理由如下：如图，连接OB，OC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∴∠OCD＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴OC⊥CD，又∵OC是半径，∴CD与⊙O相切；（2）4π【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，由等腰三角形的性质可求∠OCB＝30°，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝60°，即可求解；（2）由扇形的面积公式和三角形的面积公式可求解．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由如下：如图，连接OB，OC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∴∠OCD＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴OC⊥CD，又∵OC是半径，∴CD与⊙O相切；（2）如图，过点O作OH⊥BC于H，∵OB＝OC＝2，∠OCB＝30°，∴OH＝1，BH＝CH=3∴BC＝23，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△BOC=120×π×22【点评】本题考查了直线与圆的位置的关系，等边三角形的性质，扇形面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．（8分）（2025•徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】17.9m．【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，设BD＝x，可得CD＝（22.2﹣x）m，再进一步利用三角函数求解即可．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，设BD＝xm，而BC＝22.2m，∴CD＝（22.2﹣x）m，在Rt△ABD中，∠B＝34.2°，∴tanB=∴AD＝0.68x，在Rt△ACD中，∠C＝9.8°，∴tanC=∴3.774﹣0.17x＝0.68x，解得：x＝4.44，∴cosC=∴AC=∴AC的长度约为17.9m．【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握其性质是解题的关键．26．（8分）（2025•徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”；（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题．【答案】（1）七；（2）【分析】（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案；（2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧．【解答】解：（1）如图，连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦即可；若将图中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”，故答案为：七；（2）如图所示，先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心即可，【点评】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识，掌握以上知识点是解题的关键．27．（8分）（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m．（1）若骑行速度为26km/h，则d1＝5.2m，d2＝4m；（2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式；（3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）5.2，4；（2）y=（3）停车距离约为5.7m．【分析】（1）设d1＝k1xd_{2}＝k_{2}x^{2}结合题意可得d1＝0.2x，d2（2）结合（1）可得：y=（3）当刹车距离为2m时，可得2=1169x【解答】解：（1）d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．骑行速度为xkm/h，d1＝k1x，d2＝k2x2，∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，∴13k1＝2.6，解得：k1＝0.2，d1＝0.2x，当x＝26时，d1＝0.2×26＝5.2（m），∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为lm，∴1＝132×k2，解得：k2=1当x＝26时，d2（2）设骑行速度为xkm/h，而d1=0.2x∴y关于x的函数表达式为y=（3）∵当刹车距离为2m时，∴2=1解得：x=132（∴y=1∴停车距离约为5.7m．【点评】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握相关知识的灵活运用．28．（12分）（2025•徐州）如图1，将Rt△AOB绕直角顶点O旋转至△COD，点A，B的对应点分别为C，D．连接AD，BC，AC，BD，直线AC与BD交于点E．（1）△AOD与△BOC的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，连接OE，若AB，CD，OE的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；（3）已知AB＝5，随着OA，OB及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为25．【考点】四边形综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）△AOD与△BOC的面积相等，理由如下：作DF⊥OA于F，作BG⊥OC，交CO的延长线于G，∴∠DFO＝∠G＝90°，由旋转可得，∠COD＝∠AOB＝90°，OD＝OB，OC＝OA，∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠COD+∠AOB）＝180°，∵∠BOG+∠BOC＝180°，∴∠BOG＝∠AOD，∴△DOF≌△BOG（AAS），∴DF＝BG，∴S△AOD=1∵S△BOC=1∴△AOD与△BOC的面积相等；（2）连接OQ，OP，PE，QE，设OA和BD交于I，∵∠AOB＝∠COD＝90°，点P是AB的中点，Q是CD的中点，∴OQ=1∴AB＝CD，∴OP＝OQ，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，∵OCOA∴△AOC∽△BOD，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AIE＝∠BIO，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∴EP=1同理可得，EQ=12∴OP＝OQ＝EQ＝EP，∴四边形OQEP是菱形，∴OE和PQ互相平分，∵点R是OE的中点，∴P，Q，R三点共线；（3）25．【分析】（1）作DF⊥OA于F，作BG⊥OC，交CO的延长线于G，可证得△DOF≌△BOG，从而DF＝BG，进而得出结果；（2）连接OQ，OP，PE，QE，设OA和BD交于I，根据直角三角形的性质得出OQ=12CD，OP=12AB，可证得△AOC∽△BOD，进而得出∠AEB＝∠AOB＝（3）由（2）可知，BD⊥AC，从而S四边形ABCD=12AC⋅BD，进而得出当C、O、A共线时，S四边形ABCD最大，此时∠AOD＝∠BOC＝∠COD＝∠AOB，△AOD≌△OCD≌△AOB≌△COB，从而得出S四边形ABCD＝4S△AOB，作OW⊥AB于W，因为OW≤OP，当OW＝OP=12AB=5【解答】（1）解：如图1，△AOD与△BOC的面积相等，理由如下：作DF⊥OA于F，作BG⊥OC，交CO的延长线于G，∴∠DFO＝∠G＝90°，由旋转可得，∠COD＝∠AOB＝90°，OD＝OB，OC＝OA，∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠COD+∠AOB）＝180°，∵∠BOG+∠BOC＝180°，∴∠BOG＝∠AOD，∴△DOF≌△BOG（AAS），∴DF＝BG，∴S△AOD=1∵S△BOC=1∴△AOD与△BOC的面积相等；（2）解：如图2，连接OQ，OP，PE，QE，设OA和BD交于I，∵∠AOB＝∠COD＝90°，点P是AB的中点，Q是CD的中点，∴OQ=1∴AB＝CD，∴OP＝OQ，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，∵OCOA∴△AOC∽△BOD，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AIE＝∠BIO，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∴EP=1同理可得，EQ=12∴OP＝OQ＝EQ＝EP，∴四边形OQEP是菱形，∴OE和PQ互相平分，∵点R是OE的中点，∴P，Q，R三点共线；（3）解：如图2，由（2）可知，BD⊥AC，∴S四边形ABCD=1∵AC≤OA+OC，BD≤OB+OD，∴当C、O、A共线时，S四边形ABCD最大，如图3，此时∠AOD＝∠BOC＝∠COD＝∠AOB，△AOD≌△OCD≌△AOB≌△COB，∴S四边形ABCD＝4S△AOB，作OW⊥AB于W，S△AOB=12∵OW≤OP，∴当OW＝OP=12AB=52时，S△∴S的最大值为：25，故答案为：25．【点评】本题考查了全等三角形的额判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．5．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．6．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．7．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．8．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．9．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．10．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．11．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．12．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．13．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．14．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．16．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（-bk，当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞-bk，不等式kx+b＜0的解为：当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜-bk，不等式kx+b＜0的解为：17．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．18．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．20．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．21．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．22．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．23．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．24．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．25．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．26．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．27．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．28．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形29．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．30．中点四边形瓦里尼翁平行四边形（Varignonparallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．31．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．32．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．33．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．34．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对