2025年河南省郑州市中考数学二模试卷

第46页（共46页）2025年河南省郑州市中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）（2025•新疆三模）课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中气温最低的是（）A．乌鲁木齐﹣4℃ B．郑州6℃ C．呼和浩特﹣3℃ D．成都10℃2．（3分）（2025•郑州二模）2024年河南粮食总产量达1343.9亿斤，同比增长1.4%，连续8年稳定在1300亿斤以上，产量占全国的四分之一，数据“1343.9亿”用科学记数法表示为（）A．0.13439×1011 B．1.3439×1012 C．1.3439×1011 D．13.439×10103．（3分）（2025•郑州二模）一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）（2025•郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣65．（3分）（2025•郑州二模）从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若AD∥BC，BE∥DC，BF平分∠EBC，交AD于点G．若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°6．（3分）（2025•怀宁县二模）化简1xA．x﹣1 B．1x+1 C．x+1 D7．（3分）（2025•郑州二模）小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，然后两人各转动一次转盘（如图），谁事先选择的数等于两人转得的数字之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于转得的数字之和就再做一次上述游戏，直至决出胜负，如果你是游戏者，你获胜选择的数是（）A．5 B．6 C．7 D．88．（3分）（2025•郑州二模）如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形OABC为菱形，点D在优弧ADC上，则∠D的度数为（）A．45° B．50° C．60° D．70°9．（3分）（2025•郑州二模）将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m（m＞0）个单位后，与x轴交于A，B两点，若AB＝4，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）（2025•郑州二模）如图，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（6，0），点A在第一象限内，点C在边OB上且BC＝2，点D为边AB上一动点（不与点B重合），连接CD，将△BCD沿CD折叠得到△ECD，当△AOE的面积最小时，点E的坐标为（）A．(3，3) BC．(4-3，1) 二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）（2025•郑州二模）一次函数y＝kx﹣2（k是常数，且k≠0），y随x的增大而减小，则k的值可以是．（写出一个值即可）12．（3分）（2025•郑州二模）某公司2023﹣2024年的总支出情况如图所示，该公司2023年的工资支出占总支出的60%，2024年与2023年相比在工资方面的支出金额的变化情况是．（填“变多”“变少”或“不变”）13．（3分）（2025•郑州二模）若x＝4是一元一次不等式组x＞3x＞m的一个整数解，则m的取值范围是14．（3分）（2025•郑州二模）如图，已知点P在直线l外，利用如下方法可以作出过点P与直线l平行的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以PA长为半径作弧；以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线PC，则PC∥l．接BP，AC，若直线PC与l之间的距离为2，PA＝2，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）（2025•凉州区二模）已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的直角顶点A重合，AB=AC=32，AD＝AE＝2．连接BE，CD，将△ADE绕点A在平面内旋转，旋转后的三角形为AE′D′，若点M是BE的中点，当E′，D′，C三点共线时，线段AM的长为三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（10分）（2025•怀宁县二模）（1）计算：6sin（2）（a+2b）2﹣b（4a﹣b）．17．（9分）（2025•郑州二模）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结合AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量（单位：g）、糖度（单位：Brix）进行测评，并对数据进行整理、描述和分析：甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表编号12345678910质量24.125.322.523.926.021.224.725.820.723.4糖度9.510.38.89.710.68.911.010.29.110.4乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表编号12345678910质量19.521.018.320.622.117.820.219.121.518.4糖度11.710.912.011.310.612.211.510.812.111.2甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差质量甲23.7623.653.0204乙19.8519.31.9185糖度甲9.859.60.5225乙11.4311.250.2881（1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？（2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．18．（9分）（2025•郑州二模）如图，已知一次函数y1=32x与反比例函数y2=kx（1）m的值为，k的值为；（2）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；（3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点B是否落在反比例函数y219．（9分）（2025•郑州二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12．（1）如图（1），点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积平分，并说明理由；（2）如图（2），若点E为对角线AC上一点，且AE=14AC，点F为边AB上一点，作直线EF交边AD于点G20．（9分）（2025•郑州二模）在“体育与心率”综合实践活动课上，研究小组选取九年级部分男同学，通过佩戴同一品牌的运动手环进行运动中即时速度、心率和摄氧量的测量，收集到如下15组数据，并给出有氧运动的控制阈值：组别跑步速度（m/s）心率（bpm）摄氧量（ml/kg/min）运动强度第1组3.011532低强度有氧第2组3.212235有氧区间第3组3.412838有氧区间第4组3.613542有氧区间第5组3.814246有氧区间第6组4.014849有氧阈值第7组4.215552有氧峰值第8组4.316253混合代谢第9组4.416853无氧过渡第10组4.517553无氧运动第11组4.617853无氧运动第12组4.718253无氧运动第13组4.818553无氧运动第14组4.918853无氧运动第15组5.019253无氧运动用x表示跑步速度，用y表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，发现速度在3～4.2m/s时可用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系：（1）不妨取表中第1组和第6组数据代入函数模型，求出y关于x的函数表达式；（2）某位同学跑完1000米用时4分4秒，请通过计算判断该同学的运动强度；（3）1000米跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间时身体从有氧向无氧代谢过渡．研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标准需兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级定男生1000米跑的满分标准，并解释其合理性．21．（9分）（2025•郑州二模）在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线AM，在AM上截取AD＝BC，连接CD交⊙O于点F．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）连接AF，若⊙O的半径为5，AB＝45，求AF的长．22．（10分）（2025•郑州二模）郑州市某公园计划要建造一个直径为20m的圆形喷水池，在喷水池的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．如图，以水平方向为x轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多高？（3）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0），若（1）中抛物线表达式为y＝a1x2+b1x+c1（a≠0），则a2a1，b2b1，c2c1（填“＞”“＜”或“＝”）．23．（10分）（2025•郑州二模）如图（1），点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究AF+BD+CE与△ABC周长的关系．记l＝AF+BD+CE，c＝△ABC的周长．（1）从特殊情形入手：①若点P在△ABC的中心，如图（2），此时l与c的关系为；②若点P在△ABC的一条高AG上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由．（2）若点P不在△ABC的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请写出解决过程．

2025年河南省郑州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AC．DBBBBCBC一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）（2025•新疆三模）课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中气温最低的是（）A．乌鲁木齐﹣4℃ B．郑州6℃ C．呼和浩特﹣3℃ D．成都10℃【考点】有理数大小比较．【专题】实数；数感．【答案】A【分析】比较所给的四个数，选出最小的即为所求．【解答】解：所给的数的大小顺序为﹣4＜﹣3＜6＜10，∴乌鲁木齐的气温最低，故选：A．【点评】本题考查有理数的大小比较；能够对负数进行正确的大小比较是解题的关键．2．（3分）（2025•郑州二模）2024年河南粮食总产量达1343.9亿斤，同比增长1.4%，连续8年稳定在1300亿斤以上，产量占全国的四分之一，数据“1343.9亿”用科学记数法表示为（）A．0.13439×1011 B．1.3439×1012 C．1.3439×1011 D．13.439×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1343.9亿＝134390000000＝1.3439×1011．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2025•郑州二模）一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（）A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】D【分析】由俯视图想象几何体的前面的形状即可得．【解答】解：从俯视图可知，直四棱柱的底面是下底比上底短的梯形，所以从正面看得到的长方形里应表示出后面2条看到但实际存在的棱，所以应有2条实线，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体和简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．（3分）（2025•郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6【考点】根与系数的关系．【专题】常规题型；一元二次方程及应用．【答案】B【分析】设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案．【解答】解：设方程的另一根为x，∵方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，∴3x＝﹣3，解得x＝﹣1，即方程的另一根为﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于ca5．（3分）（2025•郑州二模）从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若AD∥BC，BE∥DC，BF平分∠EBC，交AD于点G．若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠1＝70°，∠2＝∠CBG，由角平分线定义求出∠CBG=12∠EBC＝35°，即可得到【解答】解：∵BE∥DC，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵BF平分∠EBC，∴∠CBG=12∠EBC＝∵AD∥BC，∴∠2＝∠CBG＝35°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠1，∠2＝∠CBG．6．（3分）（2025•怀宁县二模）化简1xA．x﹣1 B．1x+1 C．x+1 D【考点】分式的加减法．【专题】计算题；分式．【答案】B【分析】原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=x故选：B．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3分）（2025•郑州二模）小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，然后两人各转动一次转盘（如图），谁事先选择的数等于两人转得的数字之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于转得的数字之和就再做一次上述游戏，直至决出胜负，如果你是游戏者，你获胜选择的数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】利用列表法或者树状图列出所有可能性，再找到符合题意的事件，进而得解．【解答】解：列表可得：小新和小颖123451234562345673456784567895678910由表格可得，共有25种等可能出现的结果，其中6出现的次数最多，为5次，即选择6获胜的概率最大，故如果你是游戏者，你获胜选择的数是6，故选：B．【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即可得解．8．（3分）（2025•郑州二模）如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形OABC为菱形，点D在优弧ADC上，则∠D的度数为（）A．45° B．50° C．60° D．70°【考点】圆内接四边形的性质；菱形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】C【分析】先根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，再由圆周角定理得出∠AOC＝2∠D，故可得出∠B＝2∠D，再由圆内接四边形的性质可得出∠B+∠D＝180°，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∵AC=∴∠AOC＝2∠D，∴∠B＝2∠D，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，即2∠D+∠D＝180°，解得∠D＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质及圆周角定理，熟知以上知识是解题的关键．9．（3分）（2025•郑州二模）将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m（m＞0）个单位后，与x轴交于A，B两点，若AB＝4，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出平移后新抛物线的函数解析式，再由求出新抛物线与x轴的交点的横坐标，依据AB＝4，即可求解．【解答】解：新抛物线的解析式为y＝﹣x2+m+1，当y＝0时，﹣x2+m+1＝0，解得x1=m∵AB＝4，∴m+1解得m＝3．故选：B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、抛物线的平移等知识，熟练掌握该知识点是关键．10．（3分）（2025•郑州二模）如图，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（6，0），点A在第一象限内，点C在边OB上且BC＝2，点D为边AB上一动点（不与点B重合），连接CD，将△BCD沿CD折叠得到△ECD，当△AOE的面积最小时，点E的坐标为（）A．(3，3) BC．(4-3，1) 【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】由等边三角形的性质可得OB＝6，∠AOB＝60°，求出OC＝4，由折叠的性质可得CE＝CB＝2，推出点E在以C为圆心，2为半径的圆上，作CF⊥AO交AO于F，交⊙C于E'，此时E'F最小，得出△AOE的面积最小，据此求解即可．【解答】解：∵等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（6，0），∴OB＝6，∠AOB＝60°，∵BC＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4，由折叠的性质可知，CE＝CB＝2，∴点E在以C为圆心，2为半径的圆上，作CF⊥AO交AO于F，交⊙C于E'，如图，此时E'F最小，即此时△AOE的面积最小，∵∠AOB＝60°，∴∠OCF＝30°，∴E'G=12CE'=1，CG=∴OG＝OC﹣CG＝4-3∴点E的坐标为(4-3故选：C．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）（2025•郑州二模）一次函数y＝kx﹣2（k是常数，且k≠0），y随x的增大而减小，则k的值可以是﹣1（答案不唯一，负值均可）．（写出一个值即可）【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】﹣1（答案不唯一，负值均可）【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，取值即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2（k是常数，且k≠0），y随x的增大而减小，∴k＜0，不妨设k＝﹣1，故答案为：﹣1（答案不唯一，负值均可）．【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．12．（3分）（2025•郑州二模）某公司2023﹣2024年的总支出情况如图所示，该公司2023年的工资支出占总支出的60%，2024年与2023年相比在工资方面的支出金额的变化情况是变多．（填“变多”“变少”或“不变”）【考点】扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；应用意识．【答案】变多．【分析】用2024年的总支出金额×工资支出所占比例即可得出工资的支出金额；用2023年的总支出金额×60%，得出2023年工资的支出金额，再比较解答即可．【解答】解：2024年工资的支出金额是200×50%＝100（万元）；2023年该公司的工资支出占总支出150×60%＝90（万元），∴2024年与2023年相比，工资支出的金额增多了．故答案为：变多．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．13．（3分）（2025•郑州二模）若x＝4是一元一次不等式组x＞3x＞m的一个整数解，则m的取值范围是m【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】m＜4．【分析】先求出不等式组的解集，再根据x＝4是一元一次不等式组的一个整数解即可得出答案．【解答】解：∵x＝4是一元一次不等式组x＞∴m的取值范围是m＜4．故答案为：m＜4．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于m的取值范围是解题的关键．14．（3分）（2025•郑州二模）如图，已知点P在直线l外，利用如下方法可以作出过点P与直线l平行的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以PA长为半径作弧；以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线PC，则PC∥l．接BP，AC，若直线PC与l之间的距离为2，PA＝2，则图中阴影部分的面积为π-22【考点】扇形面积的计算．【专题】运算能力．【答案】π-【分析】过点P作直线l的垂线，结合∠PAB的正弦值求出∠PAB的度数，再用扇形面积减去三角形的面积可得出阴影部分的面积．【解答】解：过点P作PH⊥l于点H，∵直线PC与l之间的距离为2，∴PH=2在Rt△PAH中，sin∠PAB=PH∴∠PAB＝45°．∵PC＝BA，且PC∥AB，∴四边形ABPC是平行四边形，∴S△APB＝S△APC，S扇形APB＝S扇形PAC，∴S阴影＝2（S扇形APB﹣S△APB）＝2×（45⋅π⋅2故答案为：π-【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．15．（3分）（2025•凉州区二模）已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的直角顶点A重合，AB=AC=32，AD＝AE＝2．连接BE，CD，将△ADE绕点A在平面内旋转，旋转后的三角形为AE′D′，若点M是BE的中点，当E′，D′，C三点共线时，线段AM的长为4-2【考点】等腰直角三角形；旋转的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】4-22或【分析】依题意有以下两种情况：①当点E'在CD'的延长线上时，延长AM到N，使MN＝MA，连接BN，E'N，设MD的延长线交D'E'于点H，则四边形ABNE'是平行四边形，证明△ABN和△CAD'全等得∠BAN＝∠ACD'，AN＝CD'，由此可证明∠AHC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理分别求出AH＝D'H＝E'H=2，CH＝4，进而得CD'＝CH﹣D'H=4-2，据此可得出AM②当点E'在线段CD'上时，在EA的延长线上上取一点G，使AG＝AE'，连接BG，过点A作AH⊥D'E'于点H，同①得AH＝D'H＝E'H=2，CH＝4，则CD'＝CH+D'H=4+2，证明△BAG和△CAD'全等得BG＝CD'＝4+√2，再证明AM是△ABG的中位线，则AM=1【解答】解：依题意有以下两种情况：①当点E'在CD'的延长线上时，延长AM到N，使MN＝MA，连接BN，E'N，设MD的延长线交D'E'于点H，如图1所示：∴AM=12∵点M是BE'的中点，∴四边形ABNE'是平行四边形，∴BN＝AE'，BN∥AE'，∴∠ABN+∠BAE'＝180°，由旋转的性质得：△AD'E'是等腰直角三角形，A'D'＝A'E'＝2，∠D'AE'＝90°，由勾股定理得：D'E'=AD∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC=32∴∠BAC＝90°，∴∠CAD'+∠BAE'＝180°，∴∠ABN＝∠CAD'，BN＝AD'，在△ABN和△CAD'中，AB=∴△ABN≌△CAD'（SAS），∴∠BAN＝∠ACD'，AN＝CD'，∵∠BAC＝90°，∴∠BAN+∠CAH＝90°，∴∠ACD'+∠CAH＝90°，∴∠AHC＝180°﹣（∠ACD'+∠CAH）＝90°，∴AH＝D'H＝E'H=12D'E'在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH=AC∴CD'＝CH﹣D'H=4-2∴AM=12AN②当点E'在线段CD'上时，在EA的延长线上上取一点G，使AG＝AE'，连接BG，过点A作AH⊥D'E'于点H，如图2所示：同①得：AH＝D'H＝E'H'=2，CH＝4则CD'＝CH+D'H=4+2∴∠D'AE'＝90°，∠BAC＝90°，∴∠GAD'＝∠BAC＝90°，∴∠GAD'+∠BAD'＝∠BAC+∠BAD'，即∠BAG＝∠CAD'，∴AG＝AE'，A'D'＝A'E'＝2，∴AG＝AD'，在△BAG和△CAD'中，AG=∴△BAG≌△CAD'（SAS），∴BG＝CD'=4+2∵AG＝AE'，点M是BE'的中点，∴AM是△ABG的中位线，∴AM=12BG综上所述：当E′，D′，C三点共线时，线段AM的长为4-22或故答案为：4-22或【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，正确地添加辅助线，构造平行四边形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（10分）（2025•怀宁县二模）（1）计算：6sin（2）（a+2b）2﹣b（4a﹣b）．【考点】实数的运算；单项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）1；（2）a2+5b2．【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加减即可．（2）利用完全平方式，乘法分配律计算后合并同类项即可．【解答】解：（1）原式=6×＝1．（2）（a+2b）2﹣b（4a﹣b）＝a2+4ab+4b2﹣4ab+b2＝a2+5b2．【点评】本题主要考查实数运算的综合能力，涉及三角函数、二次根式化简、负整数指数幂、零指数幂的运算，以及整式的乘法与合并同类项．熟练掌握以上知识点是关键．17．（9分）（2025•郑州二模）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结合AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量（单位：g）、糖度（单位：Brix）进行测评，并对数据进行整理、描述和分析：甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表编号12345678910质量24.125.322.523.926.021.224.725.820.723.4糖度9.510.38.89.710.68.911.010.29.110.4乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表编号12345678910质量19.521.018.320.622.117.820.219.121.518.4糖度11.710.912.011.310.612.211.510.812.111.2甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差质量甲23.7623.653.0204乙19.8519.31.9185糖度甲9.859.60.5225乙11.4311.250.2881（1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？（2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．【考点】方差；算术平均数；中位数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】见解答．（答案不唯一）．【分析】（1）根据平均数、中位数的意义求解即可；（2）根据统计表数据解答即可．【解答】解：（1）选择甲种草莓，因为甲种草莓质量的平均数和中位数均比乙种草莓高；（2）甲种草莓需要提高糖度，并提高产量的稳定性，乙种草莓需要提高产量．【点评】本题考查频数分布表，中位数，算术平均数，方差，理解中位数、方差的意义是正确解答的前提．18．（9分）（2025•郑州二模）如图，已知一次函数y1=32x与反比例函数y2=kx（1）m的值为2，k的值为6；（2）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；（3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点B是否落在反比例函数y2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）2，6；（2）x＞2或﹣2＜x＜0；（3）点B（5，1）不在反比例函数图象上．【分析】（1）待定系数法求出m、k值即可；（2）利用数形结合直接写出不等式的解集即可；（3）如图，利用一线三直角证明△OMA≌△ANB（AAS），得到OM＝AN＝3，AM＝NB＝2，继而可得B（5，1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征验证是否在反比例函数图象上即可．【解答】解：（1）∵点A（m，3）在一次函数y1=∴3=32m，解得m＝∴A（2，3），∵点A（2，3）在反比例函数y=kx∴k＝6．故答案为：2，6；（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y=6联立方程组得：y=6xy=∴两个函数的交点坐标为A（2，3），D（﹣2，﹣3），由图象可知，当y1＞y2时自变量x的取值范围为：x＞2或﹣2＜x＜0．（3）如图，作AM⊥y轴，垂足为M，BN⊥AM交MA的延长线于点N，在△OMA和△ANB中，∠OMA∴△OMA≌△ANB（AAS），∴OM＝AN＝3，AM＝NB＝2，∴B（5，1），在反比例函数y=6x中，当x＝5时，y=∴点B（5，1）不在反比例函数图象上．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．19．（9分）（2025•郑州二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12．（1）如图（1），点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积平分，并说明理由；（2）如图（2），若点E为对角线AC上一点，且AE=14AC，点F为边AB上一点，作直线EF交边AD于点G【考点】矩形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）图形见解答过程；（2）9．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，过点O，E作直线交AD于点M，交BC于点N，则直线MN将矩形ABCD分成面积相等的两部分，分别证明△OAB和△OCD全等，△MAO和△NCO全等，△NBO和△MDO全等，则S△OAB＝S△OCD，S△MAO＝S△NCO，S△NBO＝S△MDO，由此可得出直线MN将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）过点E作EH∥AD交AB于点H，设AF＝x，△AFG面积为y，AE＝a，则AC＝4a，证明△AEH和△ACB相似得AH=32，EH＝3，则HF=x-32，再证明△FHE和△FAG相似得AG=6x22x-3，则△AFG面积y=12AG•AF=3x22x-3，整理得3x2﹣2xy+3y＝0，根据点F在AB上，AF＝x得关于x和一元二次方程3x2﹣2xy+3y＝0一定有实数根，则该一元二次方程根的判别式（﹣2y）2﹣36y【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，过点O，E作直线交AD于点M，交BC于点N，如图1所示：则直线MN将矩形ABCD分成面积相等的两部分，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，OA＝OB＝OC＝OD，∴∠MAO＝∠NCO，在△OAB和△OCD中，OA=∴△OAB≌△OCD（SSS），∴S△OAB＝S△OCD，在△MAO和△NCO中，∠MAO∴△MAO≌△NCO（ASA），∴S△MAO＝S△NCO，同理可证明：△NBO≌△MDO（ASA），∴S△NBO＝S△MDO，∴S△OAB+S△OAB+S△NBO＝S△OCD+S△NCO+S△MDO，即S四边形ABNM＝S四边形CDMN，∴直线MN将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）过点E作EH∥AD交AB于点H，如图2所示：设AF＝x，△AFG面积为y，AE＝a，∵AE=1∴AC＝4a，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝12，∴AD∥BC，∠BAD＝90°，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ACB，∴AHAB∴AH6∴AH=32，EH＝∴HF＝AF﹣AH=x∵EH∥AD，∴△FHE∽△FAG，∴HEAG∴AG•HF＝EH•AF，∴AG×(x-3∴AG=6∴△AFG面积y=12AG•AF整理得：3x2﹣2xy+3y＝0，∵点F在AB上，AF＝x，∴关于x和一元二次方程3x2﹣2xy+3y＝0一定有实数根，∴根的判别式：（﹣2y）2﹣4×3×3y≥0，整理得：y（y﹣9）≥0，∴y＞0，∴y﹣9≥0，∴y≥9，∴y的最小值为9，∴△AFG面积的最小值是9．【点评】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．20．（9分）（2025•郑州二模）在“体育与心率”综合实践活动课上，研究小组选取九年级部分男同学，通过佩戴同一品牌的运动手环进行运动中即时速度、心率和摄氧量的测量，收集到如下15组数据，并给出有氧运动的控制阈值：组别跑步速度（m/s）心率（bpm）摄氧量（ml/kg/min）运动强度第1组3.011532低强度有氧第2组3.212235有氧区间第3组3.412838有氧区间第4组3.613542有氧区间第5组3.814246有氧区间第6组4.014849有氧阈值第7组4.215552有氧峰值第8组4.316253混合代谢第9组4.416853无氧过渡第10组4.517553无氧运动第11组4.617853无氧运动第12组4.718253无氧运动第13组4.818553无氧运动第14组4.918853无氧运动第15组5.019253无氧运动用x表示跑步速度，用y表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，发现速度在3～4.2m/s时可用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系：（1）不妨取表中第1组和第6组数据代入函数模型，求出y关于x的函数表达式；（2）某位同学跑完1000米用时4分4秒，请通过计算判断该同学的运动强度；（3）1000米跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间时身体从有氧向无氧代谢过渡．研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标准需兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级定男生1000米跑的满分标准，并解释其合理性．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝33x+16；（2）该同学处于有氧阈值与有氧峰值之间；（3）满分标准定在3分42秒和4分10秒之间是合理的．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）由y的值计算x的值，再判定求解；（3）根据要求求出时间，再写结论．【解答】解：（1）设y＝kx+b，则3k解得：k=33∴y＝33x+16；（2）由题意得：跑步的速度为：1000244≈4.1（m/∴该同学处于有氧阈值与有氧峰值之间；（3）当运动强度达到有氧阈值的跑步时间为：10004=250（秒）＝4分当运动强度达到无氧运动的时间为：10004.5≈222（秒）＝3分∴满分标准定在3分42秒和4分10秒之间是合理的．【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和理解题意是解题的关键．21．（9分）（2025•郑州二模）在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线AM，在AM上截取AD＝BC，连接CD交⊙O于点F．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）连接AF，若⊙O的半径为5，AB＝45，求AF的长．【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）AF的长为8．【分析】（1）连接并且延长AO交⊙O于点E，交BC于点L，由AB＝AC，得AB=AC，所以AE垂直平分BC，BC⊥AE，由切线的性质得AD⊥AE，所以AD∥BC，因为AD＝BC，所以四边形（2）连接BE，因为AE是⊙O的直径，所以∠ABE＝∠ALB＝90°，而⊙O的半径为5，AB＝45，则AE＝10，求得BE=AE2-AB2=25，由sin∠BAE=BLAB=BEAE，求得CL＝BL=AB⋅BEAE=4，则BC＝2BL＝8，可证明∠AFD＝【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由：连接并且延长AO交⊙O于点E，交BC于点L，∵AB＝AC，∴AB=∴AE垂直平分BC，∴BC⊥AE，∵AD与⊙O相切于点A，∴AD⊥AE，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）解：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝∠ALB＝90°，∵⊙O的半径为5，AB＝45，∴AE＝10，∴BE=AE2∵sin∠BAE=BL∴CL＝BL=AB⋅∴BC＝2BL＝8，∵∠AFD+∠AFC＝180°，∠ABC+∠AFC＝180°，∴∠AFD＝∠ABC＝∠ADC，∴AF＝AD＝BC＝8，∴AF的长为8．【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．22．（10分）（2025•郑州二模）郑州市某公园计划要建造一个直径为20m的圆形喷水池，在喷水池的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．如图，以水平方向为x轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多高？（3）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0），若（1）中抛物线表达式为y＝a1x2+b1x+c1（a≠0），则a2＜a1，b2＞b1，c2＜c1（填“＞”“＜”或“＝”）．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）抛物线的表达式为y=-16x2+4【分析】（1）利用抛物线的顶点式，结合已知顶点坐标和抛物线经过的点，求出参数；（2）通过抛物线的对称性，确定水柱在中心处的高度；（3）分析喷水池直径变化对抛物线开口方向的影响，结合顶点位置不变的条件，判断参数变化．【解答】解：（1）由题意，抛物线顶点为（4，6），且经过点（10，0），∴可设y＝a（x﹣4）2+6．又∵抛物线过（10，0），∴0＝a（10﹣4）2+6．∴0＝36a+6．∴a=-1∴y=-∴抛物线表达式为：y=-（2）由题意，∵抛物线关于直线x＝4对称，∴左侧x＝﹣6处的高度与右侧x＝14处相同，均为0．∴在中心x＝0处，水柱高度为：y=-（3）由题意，喷水池直径减小：半径r减小，但顶点（4，6）不变．又∵抛物线开口方向由a的符号决定，开口大小由|a|决定，且当r减小时，抛物线需在更短的距离内达到相同高度，∴开口更陡峭，即|a2|＞|a1|，故a2＜a1（均为负数）．又∵顶点不变：b和c由顶点坐标决定，∴b2＞b1，c2＜c1．故答案为：＜，＞，＜．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．23．（10分）（2025•郑州二模）如图（1），点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究AF+BD+CE与△ABC周长的关系．记l＝AF+BD+CE，c＝△ABC的周长．（1）从特殊情形入手：①若点P在△ABC的中心，如图（2），此时l与c的关系为c＝2l；②若点P在△ABC的一条高AG上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由．（2）若点P不在△ABC的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请写出解决过程．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）①c＝2l；②①中的结论还成立，理由见解答；（2）见解答．【分析】（1）①根据等边三角形的中心是高线的交点，也是中线的交点，由此可解答；②如图（3），根据等腰三角形的三线合一的性质得：∠PAE＝∠PAF＝30°，BD＝CD=12BC，由角平分线的性质得：PF＝PE，证明Rt△APF≌Rt△APE（HL），可得AF＝（2）如图（4），作辅助线构建矩形，证明四边形PDGN是矩形，四边形PFKM是矩形，并根据（1）中的结论：c＝2（AK+CE+BG），即可解答．【解答】解：（1）①∵点P在△ABC的中心，△ABC是等边三角形，∴AF＝BF＝BD＝CD＝AE＝CE=12AB，AB＝BC＝∵l＝AF+BD+CE=32AB，c＝3∴c＝2l，故答案为：c＝2l；②如图（3），①中的结论仍成立，理由如下：∵点P在等边△ABC的一条高AG上，∴∠PAE＝∠PAF＝30°，BD＝CD=12∵PE⊥AC，PF⊥AB，∴PF＝PE，∵AP＝AP，∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），∴AF＝AE，∵AB＝AC，∴BF＝CE，∴l＝AF+BD+CE＝AF+BF+BD＝AB+12AB=∵c＝3AB，∴c＝2l；（2）如图（4），过点A作AG⊥BC于点G，交PE于H，过点H作HK⊥AB于K，过点P作PM⊥HK于点M，作PN⊥AG于点N，∵∠AGD＝∠PDG＝∠PNG＝90°，∴四边形PDGN是矩形，∴PN＝DG，同理得四边形PFKM是矩形，∴PM＝FK，∵∠AHK＝∠AHE＝∠PHN＝90°﹣30°＝60°，∴∠PHM＝60°＝∠PHN，∴PM＝PN，∴FK＝DG，由（1）可得：c＝2（AK+CE+BG），∴c＝2（AK+CE+BD+DG）＝2（AK+FK+CE+BD）＝2（AF+CE+BD），∴c＝2l．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，矩形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建全等三角形和矩形是解本题的关键．

考点卡片1．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．5．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．6．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．7．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．8．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．9．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．10．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．11．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．12．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．13．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x14．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．15．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．16．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．17．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．18．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．19．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．20．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：221．三角形综合题涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．22．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、23．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．24．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．25．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．26．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．27．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构