2025年上海市嘉定区中考数学二模试卷

第39页（共39页）2025年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的1．（4分）（2025•嘉定区二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．2 C．0.2 D．2．（4分）（2025•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2﹣x+2＝0 B．x2+1＝0 C．2x-2=xx-2 D．x2﹣3．（4分）（2025•嘉定区二模）已知正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＜﹣24．（4分）（2025•嘉定区二模）下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．≌ B．∽ C．∑ D．∞5．（4分）（2025•嘉定区二模）某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：9.2、9.3、8.8、9.3、9.1．如果每位评委的打分都提高0.1，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（）A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数6．（4分）（2025•嘉定区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2＝3，⊙O1的半径长是5，那么⊙O2的半径长r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．2＜r＜8 C．0＜r＜2或r＞8 D．r＞8二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）（2025•嘉定区二模）14的倒数是8．（4分）（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝．9．（4分）（2025•嘉定区二模）不等式组x-3＞51310．（4分）（1997•辽宁）方程2x+3=x的解为11．（4分）（2025•嘉定区二模）如果反比例函数y=k+1x的图象在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，那么k的取值范围是12．（4分）（2025•嘉定区二模）如果一次函数的图象经过点（﹣1，3），且与直线y＝2x+1平行，那么这个一次函数的解析式是．13．（4分）（2025•嘉定区二模）如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正边形．14．（4分）（2025•嘉定区二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是．15．（4分）（2025•嘉定区二模）为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了200名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有800人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有人．类别跳绳次数xAx≥200B180≤x＜200C160≤x＜180D140≤x＜160Ex＜14016．（4分）（2025•嘉定区二模）某二次函数一部分自变量x和函数值y的对应情况如表所示．如果将这个二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后，图象经过原点，那么m的值是．x…0123…y…3430…17．（4分）（2025•嘉定区二模）如图，已知点G是△ABC的重心，如果向量AB→=a→，AC→=b→，那么向量18．（4分）（2025•嘉定区二模）如图，在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B′E的位置，B′E与AB交于点P，那么APPB的值是三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2025•嘉定区二模）计算：(220．（10分）（2025•嘉定区二模）已知分式方程1x解：（第①步）去分母，得：x+2﹣4＝1，（第②步）解这个整式方程，得：x＝3，（第③步）检验：当x＝3时，x2﹣4≠0，（第④步）所以，原方程的根是x＝3．（1）甲同学的解答过程是从第步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：；（2）请写出正确且完整的解答过程．21．（10分）（2025•嘉定区二模）如图，已知AD是半圆O的直径，半径OB垂直于弦AC，垂足为点E，联结AB，CD=2AB（1）求∠AOB的度数；（2）求tan∠BAC的值．22．（10分）（2025•嘉定区二模）已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）．【初步感知】如图1，请直接写出∠ABE的度数；【实践探究】请在图1中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论；【拓展延伸】请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明）23．（12分）（2025•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB，M是边AD的中点，联结MC．CE⊥AB，垂足E在边AB上，联结EM并延长，交CD延长线于点F．（1）求证：∠EMC＝2∠DMC；（2）求证：CM2＝AB•CF．24．（12分）（2025•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点，且点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求线段AB的长；（2）把抛物线C1向右平移3个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为点E．如果点A、D、E在同一直线上，求抛物线C1的表达式；（3）当四边形ABCD的面积为9时，若点P是x轴上一点（点P不与点B重合），且△ACP与△ABC相似，求点P的坐标．25．（14分）（2025•嘉定区二模）△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC．联结BO并延长，交AC于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F（点F不与点A重合）．（1）如图1，如果∠CBF＝20°，求∠DBF的大小；（2）如图2，联结OC，如果sin∠ACB＝x，S△ABFS△OBC（3）如果点D是线段OE的黄金分割点，求cos∠BAC的值．

2025年上海市嘉定区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案BDADCC一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的1．（4分）（2025•嘉定区二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．2 C．0.2 D．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．【解答】解：A、12=2B、2是最简二次根式，符合题意；C、0.2=55D、12=23，原根式不是最故选：B．【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．2．（4分）（2025•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2﹣x+2＝0 B．x2+1＝0 C．2x-2=xx-2 D．x2﹣【考点】根的判别式；分式方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】分别计算四个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据Δ的意义进行判断即可．【解答】解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝2，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程没有实数根，不符合题意；B、∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，不符合题意；C、当x﹣2＝0，即x＝2时，方程没有实数根，不符合题意；D、∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．3．（4分）（2025•嘉定区二模）已知正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【答案】A【分析】正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，则得到a﹣2＞0，解不等式即可．【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，∴a﹣2＞0，∴a＞2．故选：A．【点评】本题主要考查了正比例函数的增减性，利用了解不等式，是一道难度中等的题目．4．（4分）（2025•嘉定区二模）下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．≌ B．∽ C．∑ D．∞【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则B不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则C不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．5．（4分）（2025•嘉定区二模）某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：9.2、9.3、8.8、9.3、9.1．如果每位评委的打分都提高0.1，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（）A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】C【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．【解答】解：如果每位评委的打分都提高0.1，那么比较前后两组数据，数据的波动幅度保持不变，即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变．故选：C．【点评】本题考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解方差、中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键．6．（4分）（2025•嘉定区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2＝3，⊙O1的半径长是5，那么⊙O2的半径长r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．2＜r＜8 C．0＜r＜2或r＞8 D．r＞8【考点】圆与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】C【分析】首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．【解答】解：根据题意两圆内含，故知r﹣5＞3或者5﹣r＞3，解得0＜r＜2或r＞8．故选：C．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）（2025•嘉定区二模）14的倒数是4【考点】倒数．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】根据倒数的定义即可求解．【解答】解：14的倒数是4故答案为：4．【点评】考查了倒数，关键是熟悉乘积是1的两数互为倒数．8．（4分）（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式．【专题】计算题；因式分解．【答案】（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．（4分）（2025•嘉定区二模）不等式组x-3＞513x【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＞8．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：x-解不等式①得：x＞8，解不等式②得：x＞6，∴原不等式组的解集为：x＞8．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．10．（4分）（1997•辽宁）方程2x+3=x的解为【考点】无理方程．【答案】见试题解答内容【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．11．（4分）（2025•嘉定区二模）如果反比例函数y=k+1x的图象在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，那么k的取值范围是k＜﹣【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】k＜﹣1．【分析】根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，解得即可．【解答】解：∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1．故答案为：k＜﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．12．（4分）（2025•嘉定区二模）如果一次函数的图象经过点（﹣1，3），且与直线y＝2x+1平行，那么这个一次函数的解析式是y＝2x+5．【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】y＝2x+5．【分析】根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是y＝2x+b，再根据一次函数的图象经过点（﹣1，3），求得b＝3．【解答】解：设直线解析式是y＝kx+b．∵它与直线y＝2x+1平行，∴k＝2．∵一次函数的图象经过点（﹣1，3），∴b＝5．∴这个一次函数的解析式是y＝2x+5．故答案为：y＝2x+5．【点评】本题考查两直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象平行时，k值相等，通过代入经过的点来求出函数表达式．13．（4分）（2025•嘉定区二模）如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正6边形．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；应用意识．【答案】6．【分析】先求出这个正多边形的内角和，进而得出答案．【解答】解：∵一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，∴这个正多边形的内角和为360°×2＝720°，720°÷180°+2＝4+2＝6（条）．故答案为：6．【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，求出这个正多边形的内角和是解题的关键．14．（4分）（2025•嘉定区二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是16【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】16【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：虎兔龙蛇虎（虎，兔）（虎，龙）（虎，蛇）兔（兔，虎）（兔，龙）（兔，蛇）龙（龙，虎）（龙，兔）（龙，蛇）蛇（蛇，虎）（蛇，兔）（蛇，龙）共有12种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有：（虎，龙），（龙，虎），共2种，∴乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率为212故答案为：16【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．15．（4分）（2025•嘉定区二模）为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了200名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有800人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有240人．类别跳绳次数xAx≥200B180≤x＜200C160≤x＜180D140≤x＜160Ex＜140【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】统计的应用；应用意识．【答案】240．【分析】先求出不低于180的部分所占的百分比，再乘总人数即可．【解答】解：由题意，1﹣10%﹣15%﹣45%＝30%，则800×30%＝240（人）．估计一分钟跳绳次数不低于180个的学生有240人．故答案为：240．【点评】本题考查了扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．16．（4分）（2025•嘉定区二模）某二次函数一部分自变量x和函数值y的对应情况如表所示．如果将这个二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后，图象经过原点，那么m的值是1．x…0123…y…3430…【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】1．【分析】利用待定系数法求得函数的解析式，然后求出这个二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．【解答】解：设该二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，由题意得：c=3解得a=-1∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴y＝﹣（x﹣1）2+4，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象向右平移m（m＞0）个单位后的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+4，∵经过原点，∴﹣（﹣1﹣m）2+4＝0，解得m＝1（负数舍去）．故答案为：1．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．17．（4分）（2025•嘉定区二模）如图，已知点G是△ABC的重心，如果向量AB→=a→，AC→=b→，那么向量【考点】三角形的重心；*平面向量．【专题】三角形；推理能力．【答案】13【分析】先求出向量BC→，进而求出向量BD→，可得向量AD→，然后求出AG【解答】解：∵AB→∴BA→∴BC→∵点G是△ABC的重心，∴点D是BC中点，AG=23∴BD→∴AD→∴AG→∴向量BG→故答案为：13【点评】本题主要考查了平面向量和三角形的重心等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（4分）（2025•嘉定区二模）如图，在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B′E的位置，B′E与AB交于点P，那么APPB的值是2【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】2．【分析】设DE＝m，因为四边形ABCD是正方形，点E是边AD的中点，所以AE＝DE＝m，AB＝CD＝AD＝2m，由翻折得∠B′EF＝∠BCF＝90°，EF＝CF＝2m﹣DF，可证明∠AEP＝∠DFE，由勾股定理得m2+DF2＝（2m﹣DF）2，求得DF=34m，则APAE=tan∠AEP＝tan∠DFE=DEDF=43，求得AP=【解答】解：设DE＝m，∵四边形ABCD是正方形，点E是边AD的中点，∴∠A＝∠BCD＝∠D＝90°，AE＝DE＝m，AB＝CD＝AD＝2m，由翻折得∠B′EF＝∠BCF＝90°，EF＝CF＝2m﹣DF，∴∠AEP＝∠DFE＝90°﹣∠DEF，∵DE2+DF2＝EF2，∴m2+DF2＝（2m﹣DF）2，∴DF=34∵APAE=tan∠AEP＝tan∠DFE∴AP=43AE=∴PB＝AB﹣AP＝2m-43m=∴APPB=故答案为：2．【点评】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出APAE三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2025•嘉定区二模）计算：(2【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】32-【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算，再根据特殊角的三角函数值计算，然后合并即可．【解答】解：原式=12+1+4=2-1+22+＝32-【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、特殊角的三角函数值和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．20．（10分）（2025•嘉定区二模）已知分式方程1x解：（第①步）去分母，得：x+2﹣4＝1，（第②步）解这个整式方程，得：x＝3，（第③步）检验：当x＝3时，x2﹣4≠0，（第④步）所以，原方程的根是x＝3．（1）甲同学的解答过程是从第①步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：去分母时，1没有乘最简公分母；（2）请写出正确且完整的解答过程．【考点】解分式方程；解一元二次方程﹣公式法．【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）①；去分母时，1没有乘最简公分母；（2）见解析．【分析】（1）根据解方程的步骤进行判断即可；（2）利用去分母将原分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：（1）甲同学的解答过程是从第①步开始出现错误的，原因是去分母时，1没有乘最简公分母，故答案为：①；去分母时，1没有乘最简公分母；（2）原方程去分母得：x+2﹣4＝x2﹣4，整理得：x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x+1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，检验：当x＝﹣1时，x2﹣4≠0，当x＝2时，x2﹣4＝0，故原分式方程的解为x＝﹣1．【点评】本题考查解分式方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．21．（10分）（2025•嘉定区二模）如图，已知AD是半圆O的直径，半径OB垂直于弦AC，垂足为点E，联结AB，CD=2AB（1）求∠AOB的度数；（2）求tan∠BAC的值．【考点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】（1）45°；（2）2-1【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得：AC=2AB=2BC，从而可得CD=AC，进而可得∠AOC＝∠COD＝90°，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠AOB＝∠（2）设AE＝x，在Rt△AEO中，利用锐角三角函数的定义求出OE和OA的长，从而求出BE的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接OC，∵半径OB垂直于弦AC，∴AC=2AB=2∵CD=2AB∴CD=∴∠AOC＝∠COD＝90°，∵AB=∴∠AOB＝∠BOC=12∠AOC＝（2）设AE＝x，∵OB⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝45°，∴EO=AEtan45°=x，OB＝∴BE＝OB﹣OE＝（2-1）x在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．22．（10分）（2025•嘉定区二模）已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）．【初步感知】如图1，请直接写出∠ABE的度数；【实践探究】请在图1中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论；【拓展延伸】请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明）【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】【初步感知】36°；【实践探究】【拓展延伸】见解析．【分析】【初步感知】利用正五边形与等腰三角形的性质求解；【实践探究】连接BD，CE交于点M，四边形ABME即为所求；【拓展延伸】各边延长线的交组成的五边形A1B1C1D1E1即为所求．【解答】解：【初步感知】∵AB＝AE，∠A＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝36°；【实践探究】如图，四边形ABME即为所求．【拓展延伸】如图2中，正五边形A1B1C1D1E1即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（12分）（2025•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB，M是边AD的中点，联结MC．CE⊥AB，垂足E在边AB上，联结EM并延长，交CD延长线于点F．（1）求证：∠EMC＝2∠DMC；（2）求证：CM2＝AB•CF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用平行四边形的性质，垂直的定义，平行线的性质得到∠ECF＝90°，利用全等三角形的判定与性质得到EM＝FM，利用等腰三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AEM＝∠F．∵CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴∠ECF＝90°，∵AD＝2AB，M是边AD的中点，∴AM＝MD＝AB，∴DM＝DC，∴∠DMC＝∠DCM．在△AEM和△DFM中，∠AEM∴△AEM≌△DFM（AAS），∴EM＝FM，∵∠ECF＝90°，∴CM＝EM＝FM=12∴∠MCF＝∠F，∴∠DMC＝∠F＝∠MCF．∵∠EMC＝∠F+∠MCF，∴∠EMC＝2∠DMC；（2）由（1）知：∠DMC＝∠F，∵∠MCD＝∠FCM，∴△MCD∽△FCM，∴MCCD∴CM2＝CD•CF，∵AB＝CD，∴CM2＝AB•CF．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．24．（12分）（2025•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点，且点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求线段AB的长；（2）把抛物线C1向右平移3个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为点E．如果点A、D、E在同一直线上，求抛物线C1的表达式；（3）当四边形ABCD的面积为9时，若点P是x轴上一点（点P不与点B重合），且△ACP与△ABC相似，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；图形的相似；推理能力．【答案】（1）4；（2）y=-27x2-4（3）P（32，0【分析】（1）令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，则x＝﹣3或1，即可求解；（2）由（1）知，点D（﹣1，﹣4a），则平移后的抛物线表达式为：y＝a[（x﹣2）2+4]+4，则点E（2，﹣4a+4），由点D、A的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2a（x+3），将点E的坐标代入上式，即可求解；（3）点P不与点B重合且△ACP与△ABC相似，则存在△ABC∽△ACP，即AP：AC＝AC：AB，即可求解．【解答】解：（1）令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，则x＝﹣3或1，即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则AB＝4；（2）由（1）知，点D（﹣1，﹣4a），则平移后的抛物线表达式为：y＝a[（x﹣2）2+4]+4，则点E（2，﹣4a+4），由点D、A的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2a（x+3），将点E的坐标代入上式得：﹣4a+4＝﹣2a×7，则a=-2则函数的表达式为：y=-23[（x﹣2）2+4]+4=-23x2（3）直线AC的表达式为：y＝﹣a（x+3），由抛物线的表达式知，点D（﹣1，﹣4a），作DH∥y轴交AC于点H，则H（﹣1，﹣2a），则四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD=12×AO•DH+12×则a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；则点C（0，3）、D（﹣1，4），则AB＝4，AC＝32，∵点P不与点B重合且△ACP与△ABC相似，则存在△ABC∽△ACP，即AP：AC＝AC：AB，即AP：32=32：4，则AP＝4.5则点P（32，0【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25．（14分）（2025•嘉定区二模）△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC．联结BO并延长，交AC于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F（点F不与点A重合）．（1）如图1，如果∠CBF＝20°，求∠DBF的大小；（2）如图2，联结OC，如果sin∠ACB＝x，S△ABFS△OBC（3）如果点D是线段OE的黄金分割点，求cos∠BAC的值．【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）30°；（2）y＝2x2；（3）5-14【分析】（1）连接OA，求出∠BAO＝∠CAO＝20°，得出∠AOB＝20°，则可得出答案；（2）联结AO并延长交BC于G，则∠AGB＝∠AGC＝90°，证明△ABF∽△OBG，得出S△（3）联结AO并延长交BC于G，联结EC，则AG∥EC，分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：（1）连接OA，∵AB＝AC，BF⊥AC，∠CBF＝20°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠BAC＝40°，∴∠BAO＝∠CAO＝20°，∴∠AOB＝20°，∴∠DBF＝30°；（2）联结AO并延长交BC于G，则∠AGB＝∠AGC＝90°，∵sin∠ACB＝x，∴sin∠∵∠BOG＝2∠BAO，∠BAF＝2∠BAO，∴∠BOG＝∠BAF，∠BGO＝∠BFA＝90°，∴△ABF∽△OBG，∴S△∴y=（3）如图，联结AO并延长交BC于G，联结EC，则AG∥EC，点D是线段OE的黄金分割点，有两种情况：①ODDE∴cos∠BAC＝cos∠E=CE②ODDE∴CEOA=5综上所述，cos∠BAC的值为5-14【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

考点卡片1．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．2．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．3．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．4．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．5．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．7．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．10．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．11．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．13．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．14．两条直线相交或平行问题直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．15．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．16．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．17．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|418．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x19．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．21．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）22．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．24．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．25．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．26．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．27．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形28．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．29．*平面向量平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．30．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．31．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．32．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．33．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．34．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．35．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．36．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．37．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．38．相似三角形的