2025年上海市徐汇区中考数学二模试卷

第39页（共39页）2025年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）（2025•徐汇区二模）下列运算中，计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b22．（4分）（2025•徐汇区二模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣33．（4分）（2025•徐汇区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y=1x的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是（1，1A．B（﹣1，﹣1） B．B（﹣1，1） C．B（1，﹣1） D．B（1，1）4．（4分）（2025•徐汇区二模）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（）A．对全国初中学生视力状况的调查 B．对某科学通讯卫星上一种零部件的调查 C．对一批节能灯管使用寿命的调查 D．对动画电影《哪吒2》的观影情况的调查5．（4分）（2025•徐汇区二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C处（如图所示），那么A、CA．10003米 B．1500米 C．5006米 D．6．（4分）（2025•徐汇区二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（）A．2千米/小时 B．3千米/小时 C．4千米/小时 D．5千米/小时二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2025•徐汇区二模）方程x+1=3的根是8．（4分）（2025•徐汇区二模）函数y=-2x+3的定义域是9．（4分）（2025•徐汇区二模）方程组x2-y2=0x10．（4分）（2025•徐汇区二模）如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值范围是．12．（4分）（2025•徐汇区二模）如果抛物线y＝x2﹣3x+2上的点A（﹣1，6）和B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是．13．（4分）（2025•徐汇区二模）已知三张外观完全相同的卡片正面分别标有数字1、2、3，从反面朝上的三种卡片中随机抽出两张，那么这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是．14．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，甲、乙两楼的楼间距AC为10米，小杰在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶B的仰角为60°，在乙楼楼底C处测得甲楼楼顶D的仰角为45°，那么乙楼比甲楼高米（结果保留根号）．15．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，正六边形ABCDEF中，BC→=a→，BE→=b→，那么16．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3，那么sin∠BDA的值是．17．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE＝2BE，AE和BD交于点O，那么△BOE和四边形OECD的面积比是．18．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得矩形A′B′CD′，B′C恰好落在对角线AC上，联结A′A，如果A′C与边AD相交，且∠A′CB＝∠A′AC，那么AC的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）（2025•徐汇区二模）先化简，再求值：(1+2x20．（10分）（2025•徐汇区二模）解不等式组：2(x21．（10分）（2025•徐汇区二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．（1）根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量；（2）求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整；（3）该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器x个、B型计算器y个，求y关于x的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如表：A型B型C型进价（单位：元/个）50302022．（10分）（2025•徐汇区二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M是矩形ABCD内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于AM、BM、CM、DM，并且两条对角线互相垂直．小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M作MN∥AB并截取MN＝AB；2．分别联结BN、CN．那么四边形MBNC就是所求作的四边形．（1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由；（2）如图2，点N是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）．23．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD，延长CB到G，且BG＝BC，联结GF、CE．（1）求证：GF＝CE；（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2＝GH•GF．24．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，与直线y=-34x+52交于点A（﹣2，n（1）求抛物线的表达式；（2）已知点D在y轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点D到直线AC的距离；（3）设直线y=-34x+52与x轴交于点E，已知点P、Q在直线CE上且在直线AB的下方（点P在点Q25．（14分）（2025•博山区二模）如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O1是边BC上的动点，以点O1为圆心、O1C为半径的圆交边AC于点E．设O1C＝r．（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；（2）已知点O2是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O2也与点A重合），以点O2为圆心、O1O2为半径作⊙O2．①当⊙O2与边AD有公共点时，求r的取值范围；②如果⊙O2经过边AD的中点，求此时⊙O2与⊙O1的公共弦长．

2025年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案DCABDB一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）（2025•徐汇区二模）下列运算中，计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘法法则逐项判断即可．【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意，a2•a3＝a5，则B不符合题意，（a2）3＝a6，则C不符合题意，（ab）2＝a2b2，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．（4分）（2025•徐汇区二模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】C【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题．【解答】解：由题知，将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣1，再向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2+1．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．3．（4分）（2025•徐汇区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y=1x的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是（1，1A．B（﹣1，﹣1） B．B（﹣1，1） C．B（1，﹣1） D．B（1，1）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．【答案】A【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，正比例函数与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称，即可得出答案．【解答】解：根据题意知：点A（1，1）与B关于原点对称，所以B点的坐标为（﹣1，﹣1）．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则与正比例函数的两个交点一定关于原点对称．4．（4分）（2025•徐汇区二模）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（）A．对全国初中学生视力状况的调查 B．对某科学通讯卫星上一种零部件的调查 C．对一批节能灯管使用寿命的调查 D．对动画电影《哪吒2》的观影情况的调查【考点】全面调查与抽样调查．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】B【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度，据此进行判断即可．【解答】解：对全国初中学生视力状况的调查，最适宜采用抽样调查的方式，则A不符合题意，对某科学通讯卫星上一种零部件的调查，最适宜采用普查方式，则B符合题意，对一批节能灯管使用寿命的调查，最适宜采用抽样调查的方式，则C不符合题意，对动画电影《哪吒2》的观影情况的调查，最适宜采用抽样调查的方式，则D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握其优缺点是解题的关键．5．（4分）（2025•徐汇区二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C处（如图所示），那么A、CA．10003米 B．1500米 C．5006米 D．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】D【分析】求出∠FBC，根据平角的定义求出∠CBA，根据勾股定理求出AC即可；【解答】解：∵SN∥AD，∴∠EBA＝∠DAB＝60°，∵∠FBC＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠FBC﹣∠EBA＝90°，∵AB＝5003米，BC＝500米，由勾股定理得：AC=AB答：A、C两点之间的距离是1000米．故选：D．【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是能熟练地根据性质进行推理和计算，题型较好，难度适中．6．（4分）（2025•徐汇区二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（）A．2千米/小时 B．3千米/小时 C．4千米/小时 D．5千米/小时【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，依题意，得：6x整理，得：x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4，经检验，x1＝3，x2＝﹣4是原方程的解，x1＝3符合题意，x2＝﹣4不符合题意，舍去．所以学生返回时步行的速度为3千米/小时，故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2025•徐汇区二模）方程x+1=3的根是x＝8【考点】无理方程．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x＝8．【分析】根据平方根的意义求解．【解答】解：方程两边分别平方得：x+1＝9，∴x＝8，当x＝8时，左边=8+1=∴x﹣8是原方程的解，故答案为：x＝8．【点评】本题考查了无理方程，掌握平方根的意义是解题的关键．8．（4分）（2025•徐汇区二模）函数y=-2x+3的定义域是x≠﹣【考点】函数自变量的取值范围．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】x≠﹣3．【分析】根据分母不为零列出不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，∴函数的定义域是x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零是解题的关键．9．（4分）（2025•徐汇区二模）方程组x2-y2=0x-2【考点】高次方程．【专题】方程与不等式；运算能力．【答案】x=2y=-2【分析】因为x2﹣y2＝0，所以（x+y）（x﹣y）＝0，原来的方程组可以转化成x+y=0x-2y【解答】解：因为x2﹣y2＝0，所以（x+y）（x﹣y）＝0，由x2x+y=0解得：x=2y=-2故答案为：x=2y=-2【点评】本题考查了高次方程，解决本题的关键是将二元二次方程组转化成二元一次方程组计算．10．（4分）（2025•徐汇区二模）如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是m≥-14【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】m≥-1【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m≥0，解得：m≥-1故答案为：m≥-1【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．11．（4分）（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值范围是m＜0．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】m＜0．【分析】求得抛物线的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质即可判断m＜0．【解答】解：抛物线y＝mx2﹣4mx+1的对称轴为直线x=--4∵抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，∴抛物线开口向下，∴m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（4分）（2025•徐汇区二模）如果抛物线y＝x2﹣3x+2上的点A（﹣1，6）和B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是（4，6）．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（4，6）．【分析】根据抛物线的对称性，将y＝6代入抛物线的解析式进行计算即可．【解答】解：由题知，因为点A（﹣1，6）和B关于抛物线y＝x2﹣3x+2的对称轴对称，则将y＝6代入抛物线的解析式得，x2﹣3x+2＝6，解得x1＝﹣1，x2＝4，所以点B的坐标是（4，6）．故答案为：（4，6）．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．13．（4分）（2025•徐汇区二模）已知三张外观完全相同的卡片正面分别标有数字1、2、3，从反面朝上的三种卡片中随机抽出两张，那么这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是13【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】13【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片上的数字恰好都小于3的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：1231（1，2）（1，3）2（2，1）（2，3）3（3，1）（3，2）共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字恰好都小于3的结果有：（1，2），（2，1），共2种，∴这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率为26故答案为：13【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，甲、乙两楼的楼间距AC为10米，小杰在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶B的仰角为60°，在乙楼楼底C处测得甲楼楼顶D的仰角为45°，那么乙楼比甲楼高（103-10）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（103-10【分析】在Rt△ADC和Rt△ABC中，利用45°、60°角的正切值，分别求出AD和BC，即可找出差距．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝10m，∴BC＝ACtan60°＝103，在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，∴AD＝ACtan45°＝10，∴BC﹣AD＝103-10答：乙楼比甲楼高（103-10故答案为：（103-10【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．15．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，正六边形ABCDEF中，BC→=a→，BE→=b→，那么【考点】正多边形和圆；*平面向量．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】b→【分析】根据正多边形的性质和向量的和差进行计算求解．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，有：BC→∵BF→+FE→=BE【点评】本题考查了正多形和圆，掌握正多边形的性质和向量的和差是解题的关键．16．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3，那么sin∠BDA的值是45【考点】梯形；解直角三角形．【专题】梯形；推理能力．【答案】45【分析】过点C作CE∥BD，交AD的延长线于E，根据平行四边形的性质求出CE，根据勾股定理求出AE，再根据正弦的定义计算即可．【解答】解：如图，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于E，则∠BDA＝∠CEA，∵AC⊥BD，CE∥BD，∴AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∵BC∥AD，CE∥BD，∴四边形BDEC为平行四边形，∴CE＝BD＝3，由勾股定理得：AE=AC∴sin∠CEA=AC∴sin∠BDA=AC故答案为：45【点评】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形，掌握梯形的性质、正弦的定义、正确作出辅助线是解题的关键．17．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE＝2BE，AE和BD交于点O，那么△BOE和四边形OECD的面积比是1：5．【考点】三角形的面积．【专题】三角形；运算能力．【答案】1：5．【分析】连接OC，设S△BOE＝S，S△COD＝S1，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出△BOE和四边形OECD的面积比即可．【解答】解：如图，连接OC．设S△BOE＝S，S△COD＝S1，∵CE＝2BE，点D是边AC的中点，∴S△COE＝2S，S△AOD＝S1，∵S△ABD＝S△BCD，∴S△AOB+S1＝3S+S1，∴S△AOB＝3S，∵S△ABE：S△ACE＝1：2，即（3S+S）：（2S1+2S）＝1：2，∴S1＝3S，∴S四边形OECD＝2S+S1＝2S+3S＝5S，∴S△BOE：S四边形OECD＝S：5S＝1：5．故答案为：1：5．【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．18．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得矩形A′B′CD′，B′C恰好落在对角线AC上，联结A′A，如果A′C与边AD相交，且∠A′CB＝∠A′AC，那么AC的长是25-2【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】25【分析】先证明△CMD≌△A'AB'，推出AB'＝DM，设AB'＝DM＝x，由勾股定理得AB2＝（2+x）2﹣22，CD2＝（2﹣x）2﹣x2，根据AB＝CD，列式计算即可求解．【解答】解：设∠ACB＝α，记AC和AD相交于点M，∵矩形ABCD，∴AD＝BC＝2，AB＝CD，AD∥CB，∴∠DAC＝∠ACB＝α，由旋转的性质得∠A'CB'＝∠ACB＝α，A'B'＝CD，∴∠MAC＝∠MCA＝α，∴AM＝CM，∠CMD＝2α，∵∠A'CB＝∠A'AC，∴∠A'CB＝∠A'AC＝2α，∴∠CMD＝∠A'AB'＝2α，∵∠CDM＝∠A'B'A＝90°，∴△CMD≌△A'AB'，∴AB'＝DM，设AB'＝DM＝x，∴AM＝CM＝2﹣x，AC＝AB'+B'C＝2+x，由勾股定理得AB2＝AC2﹣BC2＝（2+x）2﹣22，CD2＝CM2﹣DM2＝（2﹣x）2﹣x2，∵AB＝CD，∴（2+x）2﹣22＝（2﹣x）2﹣x2，解得b=-4±2∴AC=2-4+2故答案为：25【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，掌握旋转的性质是解题的关键．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）（2025•徐汇区二模）先化简，再求值：(1+2x-【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】x﹣1，2．【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝x+1，然后分母有理化得到x的值，最后把x的值代入计算即可．【解答】解：原式=x-=x+1x＝x﹣1，当x=12-1=2+1【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．20．（10分）（2025•徐汇区二模）解不等式组：2(x【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【答案】见试题解答内容【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．【解答】解：原不等式组可化为：2x-6+解得：x≤3∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3．在数轴上表示为：【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x同时小于某一个数，那么解集为x小于较小的那个数．21．（10分）（2025•徐汇区二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．（1）根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量；（2）求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整；（3）该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器x个、B型计算器y个，求y关于x的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如表：A型B型C型进价（单位：元/个）503020【考点】条形统计图；一次函数的应用；扇形统计图．【专题】一次函数及其应用；统计的应用；应用意识．【答案】（1）3月份各种型号计算器的销售总量为300个；（2）A型计算器销售量为120个；（3）y关于x的函数关系式为y＝220﹣3x．【分析】（1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量；（2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图；（3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为（300﹣x﹣y）只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到50x+30y+20（300﹣x﹣y）＝8200，整理即可．【解答】解：（1）60÷20%＝300（个），∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个；（2）A型计算器销售量为：300×40%＝120（个），条形统计图如图：（3）∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只，∴C型计算器为（300﹣x﹣y）只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，∴50x+30y+20（300﹣x﹣y）＝8200，整理得：y＝220﹣3x，∴y关于x的函数关系式为y＝220﹣3x．【点评】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题．22．（10分）（2025•徐汇区二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M是矩形ABCD内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于AM、BM、CM、DM，并且两条对角线互相垂直．小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M作MN∥AB并截取MN＝AB；2．分别联结BN、CN．那么四边形MBNC就是所求作的四边形．（1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由；（2）如图2，点N是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）．【考点】作图—复杂作图；菱形的性质；矩形的性质．【专题】作图题；矩形菱形正方形；几何直观．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）分别证明四边形ABNM，四边形MNCD是平行四边形即可；（2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于DN、AN、BN、CN，并且两条对角线的夹角等于∠DAB．【解答】解：（1）作法正确．理由：∵MN＝AB，MN∥AB，∴四边形ABNM是平行四边形，∴BN＝AM，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AB∥MN，∴MN⊥BC，∵MN＝CD，MN∥CD，∴四边形MNCD是平行四边形，∴CN＝DM；（2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于DN、AN、BN、CN，并且两条对角线的夹角等于∠DAB．方法：1．过点N作MN∥AD并截取MN＝AD；2．分别联结AM、BM．那么四边形AMBN就是所求作的四边形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD，延长CB到G，且BG＝BC，联结GF、CE．（1）求证：GF＝CE；（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2＝GH•GF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）由正方形的性质得∠ABC＝∠CDA＝90°，AB＝AD，则∠GBF＝∠CDE＝90°，∠ABD＝∠ADB，由EF∥BD，推导出∠AFE＝∠AEF，则AF＝AE，可证明BF＝DE，BG＝DC，即可根据“SAS”证明△GBF≌△CDE，则GF＝CE；（2）延长GF交CE于点H，联结BH，由BC∥AD，得∠GCH＝∠CED，而∠G＝∠DCE，所以∠G+∠GCH＝∠DCE+∠CED＝90°，则∠GHC＝90°，所以BH＝GB=12GC，则GC•GB＝2BH2，再证明△GBF∽△GHC，得GFGC=GBGH，所以GC•GB＝GH•GF，则2BH【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠CDA＝90°，AB＝AD，∴∠GBF＝∠CDE＝90°，∠ABD＝∠ADB，∵EF∥BD，∴∠AFE＝∠ABD，∠AEF＝∠ADB，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∴AB﹣AF＝AD﹣AE，∴BF＝DE，∵BG＝BC，DC＝BC，∴BG＝DC，在△GBF和△CDE中，BG=∴△GBF≌△CDE（SAS），∴GF＝CE．（2）延长GF交CE于点H，联结BH，∵BC∥AD，∴∠GCH＝∠CED，由（1）得△GBF≌△CDE，∴∠G＝∠DCE，∴∠G+∠GCH＝∠DCE+∠CED＝90°，∴∠GHC＝180°﹣（∠G+∠GCH）＝90°，∴BH＝GB=12∴GC＝2BH，∴GC•GB＝2BH•BH＝2BH2，∵∠GBF＝∠GHC＝90°，∠G＝∠G，∴△GBF∽△GHC，∴GFGC∴GC•GB＝GH•GF，∴2BH2＝GH•GF．【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△GBF≌△CDE及△GBF∽△GHC是解题的关键．24．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，与直线y=-34x+52交于点A（﹣2，n（1）求抛物线的表达式；（2）已知点D在y轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点D到直线AC的距离；（3）设直线y=-34x+52与x轴交于点E，已知点P、Q在直线CE上且在直线AB的下方（点P在点Q【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【答案】（1）y=98x2-34（2）710（3）P（52，-12），Q（-【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可；（2）利用矩形对角线相等求出OD＝AB＝5，所以D（0，5），再求出C点坐标，进而利用△ACD的面积建立方程求解即可；（3）先求出直线CE的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出PQ、BQ、AP，建立方程求解即可．【解答】解：（1）将A（﹣2，n）代入y=-34x+52得，将B（m，1）代入y=-34x+52得，∴A（﹣2，4），B（2，1），将A、B代入抛物线y＝ax2+bx﹣2得，4a-2∴抛物线表达式为y=98x2-34（2）如图，由A，B坐标可知AB被y轴平分，∴AB为对角线，∴OD＝AB=(-2-2)∴D（0，5），由y=98x2-34x﹣2可知，当x＝0时，∴C（0，﹣2），∴AC=(-2-0)2+(4+2)2=设点D到AC的距离为h，则S△ACD=12CD•|xA|=12∴h=CD即点D到AC的距离为710（3）∵直线y=-34x+∴当y＝0时，x=103，即E（103设直线CE的表达式为y＝kx+b′，∴103k+∴直线CE的表达式为y=35x﹣设P（m，35m﹣2），Q（n，35n﹣2），且m＞∵PQ=34∴PQ2＝（m﹣n）2+（35m﹣2-35n+2）2整理得3425（m﹣n）2＝34∴（m﹣n）2＝25，∵m＞n，∴m﹣n＝5，即m＝5+n，∵BQ＝AP，∴BQ2＝AP2，即（n﹣2）2+（35n﹣2﹣1）2＝（m+2）2+（35m﹣6）将m＝5+n代入上式得n=-5∴m=5∴P（52，-12），Q（-【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．（14分）（2025•博山区二模）如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O1是边BC上的动点，以点O1为圆心、O1C为半径的圆交边AC于点E．设O1C＝r．（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；（2）已知点O2是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O2也与点A重合），以点O2为圆心、O1O2为半径作⊙O2．①当⊙O2与边AD有公共点时，求r的取值范围；②如果⊙O2经过边AD的中点，求此时⊙O2与⊙O1的公共弦长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）52（2）①0＜r≤5；②53．【分析】（1）过O1作O1H⊥AC于点H，由垂径定理可得CH＝EH=14AC＝（2）①当点E与A重合时可知r＝5，再根据O1O2＞O2M，O1O2＜O2D可知在点O1运动过程中，⊙O2与边AD始终有公共点，进而即可得出r的范围；②利用O2F＝O1O2建立方程求解，得到r＝5，即此时O2与A重合，进而即可得解．【解答】解：（1）如图，过O1作O1H⊥AC于点H，则EH＝CH，∵AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，∴AC=BC∵E为AC中点，∴CE=12∴CH=12∴cos∠ACB=CH即2r解得r=5（2）①当点E与点A重合时，此时O2与A重合，CH＝EH=12∴O1∴O1C＝5，即此时r＝5，∵O1O2＞O2E，O2E＝O2A，∴O1O2＞O2A，过O2作O2M⊥AD于点M，∵sin∠MAO2＝sin∠ACB，∴O2∴O2M=35O2又∵O1O2＞O2M，O1O2＜O2D，∴在点O1运动过程中，⊙O2与边AD始终有公共点，∴0＜r≤5；②如图，记AD中点为F，过F作FN⊥AC，过O1作O1H⊥AC于点H，则FN=12∵cos∠ACB=AC∴810∴CH=45r，O1H=∴O2A=12（AC﹣CE）＝4-∴O2N＝AN﹣O2A＝4﹣（4-45r）=在Rt△O2FN中，O2F＝9+（45r）2∵O2H=12∴在Rt△O1O2H中，O1O22=16+（35∵O2F＝O1O2，∴9+（45r）2＝16+（35r）解得r＝5（负值舍去），∴此时E和A重合，即O2与A重合，如图所示，PQ为公共弦，∵O1O2＝O1P＝O2P，∴△O1O2P是等边三角形，∴PL=5∴PQ＝53，即⊙O2与⊙O1的公共弦长为53．【点评】本题主要考查了解直角三角形、垂径定理、圆的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．

考点卡片1．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．2．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．3．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．4．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．5．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．7．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．8．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．9．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．10．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．13．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x14．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|415．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．16．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x17．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．18．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．19．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．20．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．22．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、23．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．24．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．25．梯形（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．26．*平面向量平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．27．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．28．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．29．作图—复杂作图复杂