椭圆的简单几何性质2+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程

人教2019A版选择性必修第一册3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质2标准方程图象F₁

0F₂

x范围|x|≤a,

|yl≤b|x|≤b,

|yl≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标(a,0)、(-a,0)(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)(0,a)、(0,-a)焦点坐标(c,0)、(-c,0)(0,c)、(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b.焦距焦距为2c;a,b,c关系离心率eJ新课导入新课讲解椭圆的弦：椭圆上任意两点连接的线段。椭圆的长轴是最长的弦XxD24椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的弦，其长为椭圆的焦点弦：

椭圆中过焦点的弦椭圆的通径是焦点弦中最短的?焦点三角形

△F₁PF定义式的平方余弦定理面积公式焦点三角形：椭圆上任意一点P(x,y)

(真的吗?)与两焦点F₁,F₂构成的△PF₁F₂

称为焦点三角形，其周长为2(a+c).椭圆内三角形问题椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形.新课讲解XX与椭圆有关的实际应用问题解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解.新课讲解例1

.如图一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴

旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口

BAC

是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F₁上，片门位于另一个焦点F₂上.

由椭圆一

个焦点F₁

上，片门位于另一个焦点F₂上.由椭圆一个焦点F₁发出的光线，

经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F₂

.已知

BC⊥F₁F₂,|F₁B|=2.8cm,|F₁F₂|=4.5cm.

试建立适当的平面直角坐标系，求截口

BAC所在椭圆的方程(精确到0.

1cm).解：建立图示的直角坐标系，设所求椭圆方程为在

Rt△BF₁F₂中

，|F₂B|=√

|F₁B|²+|F₁F₂I²=√2.8²+4.52.由椭圆的性质知，|F₁B|+|F₂B|=2a,所以b=√a²

c²=√4.1²-2.25²≈3.4.所以，所求的椭圆方程为例题解析解：如图，设d是点M到直线l:的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合由此得例题解析例2.动点M(x,y)

与定点F(4,0)

的距离和M到定直线l:的距离的比是常数求动点M的轨迹.所以，点M

的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.将上式两边平方，并化简，得9x²+25y²=225,即例3.已知F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长

则椭圆的标准方程为

或例题解析课堂练习解：由

知：a=3,b=

√2,c=

√7,则|PF₂

|=2a-|PF|=2,在

△F₁PF₂

中

|FE₂|=2c=2√7

,所

以

,

则

∠F₁PF₂

=120°

,所以1.椭圆

的焦点为

,F₂'

点p

在椭圆上，若

二

4,

则

∠F₁

PF₂的大小为120°△F₁PF₂

的面积为2课堂练习2.已知F

是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面

积的最大值为_123.P

为椭圆

上任意

一

点，F₁

、F₂

是焦点，则∠F₁PF₂的最大值是

.因

为AB⊥F₁F₂,且△ABF₂为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中

，

∠AF₂F₁=30°令|AF₁|=x,

则|AF₂|=2x,∴F₁F₂I=√

|AF₂l²-|AF₁I²=√3x=2c.再由椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a=3x,所以即椭圆的离心率为课堂练习4.已

知F₁,F₂是椭圆的两个焦点，过点F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上.课堂小结椭圆的弦：椭圆上任意两点连接的线段.

椭圆的长轴是最长的弦.椭圆的焦点弦：椭圆中过焦点的弦椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的弦，其长为椭圆的通径是焦点弦