上海市市北中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

市北2025-2026学年第一学期高三年级数学期中2025.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则．

2．复数的共轭复数的模是．

3．．

4．向量在方向上的投影向量为．

5．函数在点处的切线方程为．

6．已知函数，则函数的值域为．

7．的展开式中的常数项为．

8．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于（用数字作答）．

9．已知函数在上单调递增，则的取值范围为．

10．已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是．

11．某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位，物体的温度冷却到，单位：需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是．

（1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型；

（2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟；

（3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短.

12．已知函数，正三角形边长为2，若正三角形所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是．

二．选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．＂＂是＂＂的（）条件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

14．若函数无极值，则的取值范围为

A．B．C．D．

15．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）.

A．B． C．函数是奇函数 D．

16．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．关于命题：

①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；

②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.

下列判断正确的是（）.

A．①和②都为真命题B．①和②都为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共5题，共分）

17．在正四棱柱中，为的中点．

（1）取中点中点，求证：平面．

（2）求点到平面的距离．

18．已知函数．

（1）求的最小正周期与单调增区间；

（2）若，求函数的最值．

19．已知函数，与函数关于点原点对称

（1）求函数的解析式

（2）已知，求的最大值及取最大值时的值．

20．如图所示的折纸又称＂工艺折纸＂，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4圆形纸片按如下步骤折纸：

步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕。

这些折痕围成的一个图形.（1）以所在的直线为程，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形的标准方程；

（2）求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积．（3）设为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线交于点，求证在定直线上，并求出定直线方程.21．已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）设，若函数在区间有极值，求的取值范围；

（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

市北2025-2026学年第一学期高三年级数学期中2025.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则．

【答案】

2．复数的共轭复数的模是．

【答案】

3．．

【答案】

4．向量在方向上的投影向量为．

【答案】

5．函数在点处的切线方程为．

【答案】

6．已知函数，则函数的值域为．

【答案】

7．的展开式中的常数项为．

【答案】【解析】展开式通项为：，令，得，则常数项为，故答案为.

8．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于（用数字作答）．

【答案】【解析】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，

2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：

第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；

第二步：相邻女生排在一起有种；

第三步：4名男生排在剩下的位置有种.

因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法，

则2名女生相邻且农场主站在中间的概率．故答案为：．

9．已知函数在上单调递增，则的取值范围为．

【答案】

10．已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是．

【答案】

11．某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位，物体的温度冷却到，单位：需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是．

（1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型；

（2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟；

（3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短.

【答案】（2）（3）

【解析】对于（1），由于，得，整理得，所以（1）错误

对于（2），时，所以（2）正确

对于（3），设壶水从到所需时间为，则

设壶水从到所需时间为，则，，所以，故（3）正确

12．已知函数，正三角形边长为2，若正三角形所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是．

【答案】【解析】当时，点分别在以为直径的圆上，

而这三个圆不会交于同一点，故此时不存在；

所以不妨设，

则点分别在以为直径的圆上、圆外、圆内，即如图所示加粗的部分圆弧，不包含端点，

设正三角形的重心为，则，故，

设中点为中点为，则，

由于正三角形边长为2，则可求得，

则，则，

故．故答案为：．

二．选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．＂＂是＂＂的（）条件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

【答案】A

14．若函数无极值，则的取值范围为

A．B．C．D．【答案】A

15．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）.

A．B． C．函数是奇函数 D．

【答案】A

【解析】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称图形，则有，令，可得选项正确．因为函数是偶函数，所以，但仅由此不能得出选项错误.由函数的图象关于点成中心对称图形，不能直接推出函数是奇函数，选项错误．因为函数的图象关于点成中心对称图形，所以，,选项错误.

16．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．关于命题：

①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；

②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.

下列判断正确的是（）.

A．①和②都为真命题B．①和②都为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题

【答案】A【解析】对于①：设等差数列的公差为，则，所以，即为公差为的等差数列，

若为和谐数列，则，即，则，

所以关于的二次函数，开口向上，

所以在上一定存在最小值，所以①正确；

对于②：取，则，且，

由于，可得为和谐数列等价于，即有，即，即，

当，上式左边为负数，显然成立；

当时，即，即

设，

则在上单调递增，可得，即（＊）式成立，所以②正确.故选：.

三、解答题（本大题共5题，共分）

17．在正四棱柱中，为的中点．

（1）取中点中点，求证：平面．

（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】方法一：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以．

设平面的法向量为，则，令，解得．

又∵，所以平面．

（2）平面的法向量，∴点到平面的距离．

方法二：第（1）问用三垂线定理，第（2）问等积变形

18．已知函数．

（1）求的最小正周期与单调增区间；

（2）若，求函数的最值．

【答案】（1）；（2），，

【解析】（1），周期，

所以单调递增区间是

（2）因为，所以，所以，，，

19．已知函数，与函数关于点原点对称

（1）求函数的解析式

（2）已知，求的最大值及取最大值时的值．

【答案】（1）；（2）当时，函数取得最大值13

【解析】（1）

（2）

∵函数的定义域为要使函数有意义，∴,

当，即时，.∴当时，函数取得最大值13.

20．如图所示的折纸又称＂工艺折纸＂，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4圆形纸片按如下步骤折纸：

步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕。

这些折痕围成的一个图形.（1）以所在的直线为程，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形的标准方程；

（2）求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积．（3）设为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线交于点，求证在定直线上，并求出定直线方程.【答案】（1）（2）（3）点在定直线上

【解析】（1）这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．

设为椭圆上一点，由题意可知且，

所以点是以为椭圆的左、右焦点，长轴长的椭圆，

即，所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）经过且与直线夹角为的直线的倾斜角为或，

由椭圆的对称性，不妨设直线的倾斜角为，即直线的斜率，

又，则直线．

设，联立，消去得．

方法一：解得，不妨取，

将的值分别代入，得，

所以，

所以．

点到直线的距离，

故的面积．

方法二：，则，

所以

点到直线的距离，

故的面积．

方法三：设，联立方程组得（3）证明：设直线的方程为，

联立此时

由韦达定理得，所以，又，所以直线的方程为（1）

所以直线的方程为（2）

联立（1）（2），可得，解得

所以点在定直线上.

21．已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）设，若函数在区间有极值，求的取值范围；

（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

【答案】（1）极大值为；极小值为（2）