专题10 直线和圆的方程（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题10直线和圆的方程

易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问

题）

距离问题

技巧总结

①两点间的距离：已知则22

P1(x1,y1),P2(x2,y2)P1P2(x2x1)(y2y1)

AxByC

②点到直线的距离:d00

A2B2

③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式

l1:AxByC10l2:AxByC20

CC

d12．

A2B2

易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线x,y前的系数统一，然后代入公式求算.

例．已知直线l1:4x3y30，l2:(m2)x(m1)ym0(mR)，则（）

A．直线l2过定点(1,2)B．当m2时，l1//l2

1

C．当m1时，l1l2D．当l1//l2时，l1,l2之间的距离为

5

xy10x1

【详解】由l2:mx2xmyymm(xy1)2xy0，令，可得，所以l2过定

2xy0y2

点(1,2)，A对

m2时，l2:4x3y20，而l1:4x3y30，即l1//l2，B对

m1时，l2:x10，而l1:4x3y30，显然不垂直，C错

321

l1//l2，则3(m2)4(m1)，可得m2，由上知，l1,l2之间的距离为

42325

D对.故选：ABD

变式1．曲线ye2xcos3x在点0,1处的切线与其平行直线l的距离为5，则直线l的方程可能为（）

A．y2x6B．y2x4

C．y=3x+1D．y3x4

2x2x2x

【详解】y2ecos3xe3sin3xe2cos3x3sin3x，y|x02

所以曲线ye2xcos3x在点0,1处的切线方程为y12(x0)，即2xy10

|t1|

设直线l:2xyt0（t1），依题意得5，解得t6或t4

2212

所以直线l的方程为y2x6或y2x4故选：AB

22

变式2．已知直线l1：ykx1，l2：ymx2，圆C：x1y26，下列说法正确的是（）

A．若l1经过圆心C，则k1

B．直线l2与圆C相离

5

C．若l1∥l2，且它们之间的距离为，则k2

5

D．若k1，l1与圆C相交于M，N，则MN2

【详解】对于A，因为圆心C1,2在直线ykx1上，所以2k1，解得k1，A正确,对于B，因为直线

22

l2:ymx2恒过点0,2，且01226

∥

即点0,2在圆C内，所以l2与圆C相交，B错误,对于C，因为l1l2，则mk

15

故kxy10与kxy20之间的距离d，所以k2，C正确

k215

对于D，k1时，直线l1：yx1，即xy10

22

因为圆心C1,2到直线xy10的距离d22,所以MN2624，D错误,故选：AC

11

变式3．已知直线l1:4x3y40,l2:(m2)x(m1)y2m50(mR)，则（）

A．直线l2过定点(2,1)

B．当m1时，l1l2

C．当m2时，l1//l2

D．当l1//l2时，两直线l1,l2之间的距离为1

xy20x3

【详解】依题意，直线l2:(xy2)m(2xy5)0，由解得：,

2xy50y1

因此直线l2恒过定点(3,1)，A不正确

当m1时，直线l2:3x2y70，而直线l1:4x3y40，显然34(2)(3)0

，即直线l1,l2不垂直，B不正确

434

当m2时，直线l:4x3y90，而直线l:4x3y40，显然，即l//l

2143912

，C正确

m2(m1)2m5

当l//l时，有，解得m2，即直线l:4x3y90,因此直线l,l之间的距离

12434212

|94|

d1，D正确故选：CD

42(3)2

1．若直线2xy30与4x2ya0之间的距离为5，则a的值为（）

A．4B．56C．4或16D．8或16

【答案】C

【分析】将直线2xy30化为4x2y60，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.

【详解】将直线2xy30化为4x2y60，

|a(6)||a6|

则直线2xy30与直线4x2ya0之间的距离d，

16425

|a6|

根据题意可得：5，即|a6|10，解得a4或a16，

25

所以a的值为a4或a16.

故选：C

22

2．若两条直线l1:y2xm，l2:y2xn与圆xy4x0的四个交点能构成正方形，则mn（）

A．45B．210C．22D．4

【答案】B

【分析】由直线方程知l1//l2，由题意正方形的边长等于直线l1、l2的距离d，又d2r，结合两线距离公

式即可求mn的值.

【详解】由题设知：l1//l2，要使A，B，C，D四点且构成正方形ABCD，

|mn|

∴正方形的边长等于直线l、l的距离d，则d，

125

2

若圆的半径为r，x2y24x0，即x2y24，则r2，

由正方形的性质知：d2r22，

|mn|

∴22，即有mn210.

5

故选：B.

3．两条平行直线2xy30和ax3y40间的距离为d，则a，d分别为（）

66

A．a6，dB．a6，d

33

55

C．a6，dD．a6，d

33

【答案】D

【分析】根据两直线平行的性质可得参数a，再利用平行线间距离公式可得d.

【详解】由直线2xy30与直线ax3y40平行，

得231a0，解得a6，

所以两直线分别为2xy30和6x3y40，即6x3y90和6x3y40，

945

所以两直线间距离d，

62323

故选：D.

4．两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离（）

23237

A．B．C．D．7

5102

【答案】C

【分析】首先根据两条直线平行求出参数a的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.

34

【详解】由已知两条直线平行，得，所以a6，

a8

所以直线3x4y120可化为6x8y240，

24117

则两平行线间的距离d

2.

6282

故选：C

5．已知直线l1:xmy0和l2:xmy2(m1)0(mR)与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）

A．2B．4C．8D．16

【答案】A

【分析】易得l1,l2互相平行，故圆C的直径为l1,l2间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆C的直径最大

值，进而得到面积最大值

2m1m1

【详解】由题，互相平行，且，故圆的直径为间的距离d2，

l1,l22m10Cl1,l2222

12m1m

t22

d211

令tm1，则，22222，故当0，即t2,m1

mt11t11111

22t2

ttt22

2

d

时d取得最大值d22，此时圆C的面积为S2

2

故选：A

6．若直线l1:xay60与l2:(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为（）

82

A．2B．

3

83

C．3D．

3

【答案】B

2

【分析】由两直线平行的判定有3a(a2)0且2a180求参数a，应用平行线距离公式求l1与l2间的距

离.

【详解】∵直线l1:xay60与l2:(a2)x3y2a0平行，

22

∴3a(a2)0且2a180，解得a1,l2:3x3y20,xy0．

3

2

6

∴直线l与间的距离382．

1l2d

12(1)23

故选：B．

7．已知直线l1：32x4y220（R），l2：xy20，若l1//l2，则l1与l2间的距离

为（）

2

A．B．2C．2D．22

2

【答案】B

【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.

32422

【详解】由l//l得，解得1，

12112

所以直线l1：5x5y0，即xy0，

2

所以l1与l2间的距离为d2，

2

故选B．

8．已知直线l1:mx3y60，l2:4x3my120，若l1//l2，则l1,l2之间的距离为（）

1213813913

A．B．C．D．13

131313

【答案】A

【分析】由m(3m)(3)40，解得m2，m2时舍去，可得m2，再利用平行线之间的距离公式

即可得出．

【详解】由于两条直线平行，得m(3m)(3)40，解得m2，

当m2时，两直线方程都是2x3y60故两直线重合，不符合题意.

当m2时，l1:2x3y60，l2:2x3y60，

|6(6)|1212

故两平行直线的距离为.

223213

故选A.

【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．若两条平行直线l1:x2ym0m0与l2:2xny60之间的距离是5，则m+n=

A．0B．1C．-2D．-1

【答案】C

【分析】根据直线平行得到n4，根据两直线的距离公式得到m2，得到答案.

12

【详解】由ll，得，解得n4，即直线l:x2y30，

122n2

m3

d5

两直线之间的距离为2，解得m2(m8舍去)，

122

所以mn2

故答案选C.

【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.

，

10．已知直线l1:3x4y50l2:6x8y150，则两条直线之间的距离为

5

A．4B．2C．D．5

2

【答案】C

【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.

15

155

【详解】因为l:3x4y0，则25，故选C.

22d

32422

【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程

的x,y系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解，

属于基础题.

易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的

考点）

直线方程的五种形式的比较如下表：

名称方程的形式常数的几何意义适用范围

-=-是直线上一定点，是斜率

点斜式yy1k(xx1)(x1,y1)k不垂直于x轴

斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴

y-yx-x

两点式1=1(x,y)，(x,y)是直线上两定点不垂直于轴和轴

--1122xy

y2y1x2x1

xy

截距式+=1a是直线在x轴上的非零截距，b是直不垂直于x轴和y轴，

ab

线在y轴上的非零截距且不过原点

Ax+By+C=（0A2+B2¹0）

一般式A、B、C为系数任何位置的直线

给定一般式求截距相等时，具体方案如下：

C

令

x0yCC

形如：第一种情况AxByC0BAB

C

令y0xAB

A

第二种情况：AxByC0C0时，横纵截距皆为0

截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型

易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

例．已知直线l过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等

（1）求直线l的一般方程；

（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点Pa,b在直线l上，求3a3b的最小值．

xy

【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到x2y0；当截距不为0时设直线方程为1，代入点

tt

坐标即可得方程．（2）由第一问可得l的方程为xy30，ab3，

由不等式得到结果.

1

⑴①截距为0时，l:yx即x2y0

2

xy

②截距不为0时，设直线方程为1，代入P2,1，计算得t3，则直线方程为xy30，综上，

tt

直线方程为x2y0或xy30

⑵由题意得l的方程为xy30ab3,3a3b23a3b23ab63

3

3a3b的最小值是63，当ab时等号成立．

2

变式1．已知直线l过点1,2且在x，y轴上的截距相等

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a,b)在直线l上，求3a3b的最小值．

【详解】（1）因为直线l过点1,2且在x，y轴上的截距相等，当截距为0时，则l:y2x

xy12

当截距不为0时，可设l:1，则1，即a3，∴l:xy30

aaaa

综上，l的一般方程：2xy0或xy30

（2）由题意得l:xy30，ab3

3

3a3b23a3b23ab63，当且仅当ab时，等号成立

2

3a3b的最小值为63

变式2．已知直线l1：ax2y40，直线l2：bx2y10，其中a，b均不为0.

(1)若l1l2，且l1过点1,1，求a，b；

(2)若l1//l2，且l1在两坐标轴上的截距相等，求l1与l2之间的距离.

【详解】（1）当l1过点1,1时，a240，所以a2，

ab

因为ll，所以1，即ab4，于是b2

1222

4

（2）由l：ax2y40，令x0，则y2，令y0，则x

1a

4ab

因为l在两坐标轴上的截距相等，所以2，故a2，又l//l，所以，所以b2

1a1222

145252

则l1：2x2y40与l2：2x2y10之间的距离d，所以l1与l2之间的距离为.

222244

22

变式3．已知直线l1:ax2y2a40，直线l2:ax4y4a80

(1)若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；

(2)若l1l2，求直线l2的方程.

2a442a2a442a

【详解】（1）由题意可知，a0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，则，

1a2a2

解得：a2

22

（2）若l1//l2，则4a2a且24a844，解得：a2

此时直线l2的方程为xy60

22

1．已知圆O:xy4,Mx0,y0为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截

距相等时，l的方程为（）

2

A．xy220B．xy0

2

C．xy420D．xy220

【答案】A

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OMl，利用点Mx0,y0表示出切线方程，结合l的横纵截距相

等，即得解

【详解】由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；

Mx,y

点00在圆上，故OMl，即kOMkl1

y0x0

kOMkl

x0y0

x022

故直线l的方程为：yy0(xx0)x0xy0yx0y04

y0

44

令x0,y;令y0,x;

x0y0

44

当l的横纵截距相等时，x0y0

x0y0

22

又x0y04,x00,y00

解得：x02,y02

即2x2y4，即xy220

故选：A

2．“直线l:ykx2k1在坐标轴上截距相等”是“k1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

1

【分析】由直线l:ykx2k1在坐标轴上截距相等得k或k1，再根据充分条件和必要条件的定义

2

判断即可.

12k

【详解】解：由题知：k0，由x0得y2k1；由y0得，x.

k

12k1

因为在坐标轴上的截距相等，所以2k1，解得k或k1.

k2

所以直线l:ykx2k1在坐标轴上截距相等”是“k1”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.

3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝0

【答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

20

【详解】当直线过原点时，其斜率为2，故直线方程为y＝2x；

10

xy12

当直线不过原点时，设直线方程为1，代入点（1，2）可得1，解得a＝－1，故直线方程

aaaa

为x-y+1＝0.

综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线

方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

4．下列说法正确的是（）

A．若直线a2xy10与直线xay20互相垂直，则a1

B．已知P(1,1)，Q(2,3)，点P，Q到直线l的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是2

yyxx

11

C．过x1,y1，x2,y2两点的所有直线的方程为

y2y1x2x1

D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy20

【答案】B

【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判

断；对于C，利用两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断

【详解】解：对于A，若直线a2xy10与直线xay20互相垂直，则a2a0，解得a0或a1，

所以A错误；

对于B，因为P(1,1)，Q(2,3)，所以PQ(12)2(13)25，分别以点P，Q为圆心，2，4为半径作

圆，因为24542，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线l的条数是2，所

以B正确；

yyxx

x,yx,y11

对于C，当x1x2且y1y2时，过11，22两点的直线方程为，所以C错误；

y2y1x2x1

对于D，当截距为零时，设直线方程为ykx，则k1，所以直线为yx，当截距不为零时，设直线方程

xy11

为1，则1，得a2，所以直线方程为xy20，综上，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截

aaaa

距都相等的直线方程为xy20或yx，所以D错误

故选：B

5．过点P3,4，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是

A．xy10B．xy10或4x3y0

C．xy70D．xy70或4x3y0

【答案】D

4

【详解】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x﹣3y=0；

3

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．

则3+4=a，得a=7．

∴直线方程为x+y﹣7=0．

∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．

故选：D

6．下列命题中错．误．的是（）

22

A．命题“x0R,x011”的否定是“xR,x11”

B．命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”

C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件

D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及pq的真假进行判

断.

22

【详解】对于A，命题“x0R,x011”的否定是“xR,x11”，故A正确；

对于B，命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”，故B正确；

对于C，若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；

对于D，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，故D正确.

故选：C.

7．与圆x2(y1)21相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）

A．2条B．3条C．4条D．6条

【答案】A

【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为xym0，根

据圆心到直线的距离等于半径可得m有两解，综合可得结果.

【详解】圆x2(y1)21的圆心为0,1，半径为1，

由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；

当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为xym0，

1m

圆心到直线的距离d1，解得m21，此时满足条件的直线有两条，

11

综上可得：满足条件的直线有两条，

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.

8．已知直线l过点M2,3，且与x轴、y轴分别交于A，B点，则（）

A．若直线l的斜率为1，则直线l的方程为yx5

B．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为xy1

C．若M为AB的中点，则l的方程为3x2y120

D．直线l的方程可能为y3

【答案】AC

【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，

由直线与坐标轴有交点判断D.

【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为y-3=x+2，即yx5，故A正确；

3

对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为yx，故B错误；

2

xy

对于C，因为中点M2,3，且A，B在x轴、y轴上，所以A4,0，B0,6，故AB的方程为1，

46

即3x2y120，故C正确；

对于D，直线y3与x轴无交点，与题意不符，故D错误．

故选：AC．

9．已知直线l1：xym0，l2：2xmy10，则下列结论正确的有（）

A．若l1//l2，则m2

B．若l1l2，则m2

C．若l1，l2在x轴上的截距相等则m1

D．l2的倾斜角不可能是l1倾斜角的2倍

【答案】AB

【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确

性.

2m1

【详解】若l//l，则，得m2，选项A正确；

1211m

若l1l2，则12m0，得m2，选项B正确；

11

若l，l在x轴上的截距相等，则m，解得m，选项C错误；

1222

ππ

当m0时，l的倾斜角恰好是l的倾斜角的2倍，选项D错误．

2214

故选：AB

【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其

次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在

性.

10．直线l与圆(x2)2y22相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程可能是

A．xy0B．xy2220

C．xy0D．xy40

【答案】ACD

【解析】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：xya0或ykx，利用圆心到直线的距离

为半径，即得解

【详解】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：xya0或ykx

由于直线l与圆(x2)2y22相切，

故圆心(2,0)到直线的距离等于半径r2

|2a|

d2a0,4

2

|2k|

或d2k1

k21

故直线的方程为：xy0,xy40,xy0

故选：ACD

易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）

技巧总结

第一类：求过圆上一点的圆的切线方程的方法

x0,y0

正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k

1

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为

k

第三步：利用点斜式求出切线方程

yy0kxx0

注意：若则切线方程为，若不存在时，切线方程为

k0xx0kyy0

秒杀方法：

①经过圆222上一点的切线方程为2

xyrPx0,y0x0xy0yr

②经过圆222上一点的切线方程为2

xaybrPx0,y0x0axay0bybr

③经过圆22上一点的切线方程为

xyDxEyF0Px0,y0

xxyy

xxyyD0E0F0

0022

第二类：求过圆外一点的圆的切线方程的方法

x0,y0

方法一：几何法

第一步：设切线方程为，即，

yy0kxx0kxykx0y00

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出

方法二:代数法

第一步：设切线方程为，即，

yy0kxx0ykxkx0y0

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0可求得k，切线方程即可求出

注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的k只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，

可得数形结合求出.

第三类：求斜率为k且与圆相切的切线方程的方法

方法一：几何法

第一步：设切线方程为ykxm，即kxym0

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m，切线方程即可求出.

方法二:代数法

第一步：设切线方程为ykxm，

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0可求得m，切线方程即可求出

方法三：秒杀方法

已知圆x2y2r2的切线的斜率为k，则圆的切线方程为ykxrk21

已知圆xa2yb2r2的切线的斜率为k，则圆的切线方程为ykxrk21bka

工具：点与圆的位置关系判断

圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)

一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0).

22222

①点在圆上：(x0a)(y0b)rx0y0Dx0Ey0F0

点在圆外：22222

②(x0a)(y0b)rx0y0Dx0Ey0F0

点在圆内：22222

③(x0a)(y0b)rx0y0Dx0Ey0F0

易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理

13

例、圆的方程为22，过点，的切线方程

xy1

22

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k

3

k23

1

2

1

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为

k

13

k

k3

第三步：利用点斜式求出切线方程

yy0kxx0

331

yx

232

秒杀方法：

13

经过圆22上一点13的切线方程为

xy1P,xy1

2222

33

变形、圆的方程为22，过点，的切线方程

1xy4x2y401

22

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k

3

圆的一般式转化为标准形式为x22y121k23

1

2

1

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为

k

13

k

33

第三步：利用点斜式求出切线方程

yy0kx