第19讲导数中的极值点偏移问题（学生版）

导数中的极值点偏移问题【基础回顾】知识点1、极值点偏移的相关概念图1极值点不偏移图2极值点偏移知识点2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效知识点3、应用对数平均不等式①由题中等式中产生对数；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.知识点4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.例题精讲及课时精练1．已知函数f（x）=x2a−2lnx（a∈（1）当a＝1时，求f（x）的极小值点与极小值．（2）讨论函数f（x）的单调性．（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且a＝e2，证明：x1+x2＞2e．2．已知函数f（x）＝xex，g（x）＝lnx+x．（1）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；（2）若h（x）＝f（x）﹣ag（x），（i）当a＝1时，求函数h（x）的最小值；（ii）若h（x）＝0有两个实根x1，x2，且x1≠x2，证明：ex3．已知函数f（x）＝x（ex﹣a），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣alnx有2个不同的零点x1，x2，（i）求a的取值范围；（ii）证明：ex4．已知函数f（x）＝ex﹣lna﹣sinx，x∈（0，+∞）．（1）当a＝e时，求y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥0恒成立，求a的范围；（3）若f（x）在（0，π）内有两个不同零点x1，x2，求证：π25．已知函数f（x）＝ln（1+ax）﹣x，其中a＞0．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）当a＞1时，设f（x）的两个零点为x1，x2，求证：x16．已知函数f(x)=ax（1）当a＝1，b＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0，b＞0时，若f（x）有两个极值点x1，x2，①证明：0＜a＜8b②证明：x17．已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣xlna+b．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）已知f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（i）证明：b＜alna；（ii）证明：x18．已知函数f（x）＝lnx﹣x+b有两个不同的零点x1，x2．（1）证明：b＞1；（2）当x1＜x2≤3x1时，求x1+3x2的最大值；9．已知函数f(x)=ax−lnxx，（1）若f（x）存在零点，求a的取值范围；（2）若x1，x2为f（x）的零点，且x1＜x2，证明：a(10．